Metodichki / Плоскость и прямая в пространстве2

3.	L :				x 2																y 3																z					,			L :				x 2												y 1									z 1					;
																																																													4
	1	4										1																					5												2				3																									1
4.	L :				x											y 3																		z 6										,	L :				x 1									y 2												z 1					;
	1				1							5																					1												2	2															3					1
5.	L :			x 4																y											z 3										,				L :				x 5											y 2														z 1			;
	1	2										2																					4												2	3															4					2
6.	L :			x 1														y 1																	z			,							L :				x 2												y 1									z 1					;
	1	2																			1												5												2	3															1													1
7.	L :			x							y 6																					z 1								,					L :				x 1									y 2											z 3									;
	1	5										8																					2												2	1															3					2
8.	L :			x 5															y												z 1								,						L :				x 2												y 2													z 4						;
	1	1										3																					4												2	3															1					5
9.	L :			x 1													y 2																			z				,					L :				x 2											y 3												z 1				;
	1	4																			1												3												2	7															4													2
10.	L :		x									y 4																			z 5												,		L	:			x 3												y 4											z 2							.
												1																					2																												1
	1	3																																											2	2																				3
5. Вычислить угол между прямой																																													L и плоскостью . Составить
уравнение проекцим прямой на заданную плоскость.
1.		x 2y 3 0,																																											: 2x 3y z 1 0;
	L:
		4x z 2 0.
2.		2x y 1 0,																																											: x 4y 2z 3 0;
	L :
		y 2z 3 0.
3.		y 5z 2 0,																																											:3x 2y z 4 0;
	L:
		x 4y 3 0.
4.		2x 3z 1 0,																																											: x y 5z 7 0;
	L:
		y 2z 5 0.
5.		4y 5z 1 0,																																											: x y 5z 7 0;
	L:
		2x 3y 1 0.
6.		x 3y 4 0,																																											: x 2y z 5 0;
	L:
		5x 2z 1 0.
7.		2x 4z 7 0,																																											: 2x 3y z 2 0;
	L:
		x z 2 0.

11

8.	3x y 5 0,
	L :	: x 4y 3z 7 0;
		6y z 1 0.
9.	3y z 5 0,
	L :	: x 3y z 1 0;
	x 2z 4 0.
10.	x 7y 5 0,
	L:	: 2x 5y z 2 0.
	2y 4z 3 0.

6.Записать в общем виде уравнение плоскости проходящей через заданные точки A, B, C . Вычислить вектор нормали и отрезки,

отсекаемые плоскостью на осях координат.

1.		A(7, 8, 0),	B( 4, 3, 5),			C(1, 2, 3)		;
2.	A(3, 5, 7),			B(4,1, 2), C( 2, 0, 1);
3.		A( 3, 5,1),		B(6, 5, 3),		C(4, 1, 2);
4.		A(5, 3, 1),			B(2, 4, 7),		C(0, 1,1);
5.		A(5, 8, 3),			B(4,1, 6),	C(1, 2, 3)		;
6.		A(7, 0, 4),	B(2, 5, 3),			C( 2, 6,		1);
7.		A(5, 3, 2),			B(1, 9, 4),		C( 4, 0, 5);
8.		A( 3,1, 8),		B(1, 2, 4),		C(0, 3, 1);
9.		A(6, 1, 3),			B(2, 0, 5),		C(7, 2, 4);
10.		A(7, 2, 1),			B(3, 5, 4),		C(5,1, 0).

7.Записать уравнение плоскости проходящей через точку M0 в

направлении векторов p и q. Вычислить вектор нормали к данной плоскости

1.	M0(1, 1, 0),			p			(0, 7, 4),				q			( 1, 2, 6);
2.	M0( 3, 5,1),				p		(4, 2, 1),						q		(6, 5, 3);
3.	M0(3,1, 2),					p	(5, 3, 8),						q		(1, 4, 6) ;
4.	M0(1, 1, 0),				p		(2, 7, 4)			,	q			(5, 3, 1);
5.	M0(0, 2, 1),							p	(3, 7,	5),						q	(4, 2, 1);
6.	M0	(7, 8, 0),		p		( 4, 3, 5)				,		q		(1, 2, 3);
7.	M0	(5,1, 0),	p			(7, 2,1),					q			(3, 4, 5);
8.	M0	( 5, 2, 0),				p	(6, 3, 1)				,			q	(7, 4, 2);
9.	M0	(1, 3, 8),				p	(2, 4,1)				,			q	( 1, 0, 3);

12

10. M0(4, 9,1), p (5; 3; 2), q ( 4, 0, 5).

6.Решение типового варианта

1.Плоскость проходит через точку M0(1; 1; 2) в направлении вектор нормали n (2;1; 3):

а) записать общее уравнение плоскости в пространстве; б) найти отрезки отсекаемые плоскостью на соответствующих осях; в) найти расстояние от плоскости до начала координат.

Решение:

а) Искомая плоскость проходит через точку M0(1; 1; 2) и имеет нормальный вектор n (2;1; 3)(рис.1.1), воспользуемся формулой (1.1):

2(x 1) 1(y ( 1)) 3(z 2) 0;

раскрывая скобки и приводя подобные, получим

2x y 3z 7 0 общее

уравнение плоскости;

б)

В полученном общем уравнении перенесем свободный член 7

вправо

2x y 3z 7 и разделим все на

7:

2x

y

3z

1. Перепишем

x

y

z

7

7

7

уравнение в виде (1.3):

1.

Выражения, стоящие в

7

7

7

2

3

знаменателях и есть искомые отрезки отсекаемые плоскостью на

соответствующих координатных осях.

Для

определения

отрезков можно воспользоваться

и формулами

a

D

( 7)

7

-

отрезок

отсекаемый

плоскостью

на

оси

Ox;

A

2

2

b

D

( 7)

7

-

отрезок

отсекаемый

плоскостью

на

оси

Oy;

B

1

c

D

( 7)

7

- отрезок отсекаемый плоскостью на осиOz.

C

3

3

B, C, D - коэффициенты

в)

Воспользуемся формулой (2.4), где A,

взятые из уравнения плоскости (см. пункт а)), x0, y0,z0 - координаты точки начала координат O(0;0;0), получим:

d		2 0 1 0 3 0 ( 7)						7			1,9.
			22 12	32					14

13

2.

Записать

уравнение

плоскости, проходящей через прямую

L :

x 1

y

3

z 1

,

ортогонально

плоскости

2

5

1

: x 4y 3z 7 0.

Решении 1:

проходит через прямую L и ортогональна

Искомая

плоскость

заданной плоскости

(рис.

6.1). Прямая L задана в каноническом виде

(3.3),

т.е. некоторой

точкой

M1(1; 3; 1) и направляющим

вектором

a (5; 2;1) который в свою очередь коллинеарен искомой плоскости и будет является для нее первым направляющим вектором.

n

L

a

Рис.6.1

Уравнение плоскости задано в общем виде (1.2), т.е. вектором нормали n (1; 4; 3), который также коллинеарен искомой плоскости и является для нее вторым направляющим вектором.

Используя формулу (1.5) запишем уравнение искомой плоскости

проходящей через точку M1(1; 3; 1)																в направлении векторов						a	(5; 2;1)
и	n	(1; 4; 3):
			x 1		y 3			z ( 1)
			5			2		1				0.
			1			4		3
		Раскрывая определитель по первой строке и приводя подобные,
получим искомое уравнение
			(x 1)		2	1		(y 3)				5	1		(z 1)			5	2
					4	3						1	3					1	4
			10(
					x 1) 16(y 3) 18(z 1) 0;
		Или окончательно:									5x 8y 9z 10 0.

14

Решение 2: В качестве вектора нормали искомой плоскости можно взять вектор, полученный как векторное произведение векторов a (5; 2;1)

и

n

(1;

4;

3):

k

i

j

n1

5

2

1

6i

j 20k 2k 4i 15j 4i 10i 16j 18k

1

4

3

или в координатной форме

n1 ( 10;16;18).

M0 можно

Воспользуемся формулой (1.1). Координаты точки

взять

из

уравнения прямой L :

x 1

y 3

z 1

.

1

5

2

10(x 1) 16(y 3) 18(z 1) 0, преобразуем его и получим:

5x 8y 9z 10 0.

3. Найти

проекцию

точки

A(1; 2; 3)

на

плоскость

: x 2y 3z 3 0.

Решение:

A на плоскость . Обозначим его

Опустим перпендикуляр из точки

L, а точку пересечения прямой L и плоскости

обозначим точкой

B.

Точка B и будет искомой проекцией (рис.6.2) .

A

n

B

Рис.6.2

Запишем уравнение прямой L используя формулу (3.3), x0, y0, z0 -

координаты точки					A, в качестве направляющего вектора прямой возьмём
коллинеарный ей					вектор нормали		n	(1; 2; 3) плоскости	, тогда
L:	x 1		y 2		z 3	. Чтобы найти координаты точки B,			пересечения
1		2			3

прямой и плоскости, решим систему:

x 2y 3z 3 0
			y 2		z 3 ,
x 1
	1		2
				3

15

Для ее решения необходимо уравнение прямой L записать в параметрическом виде, т.е. приравняем пропорции параметру t:

x 1 y 2 z 3 t, и выразим переменные x, y,z:

1 2 3

x t 1

y 2t 2 ,z 3t 3

Полученные выражения подставим в первое уравнение системы

t 1 2(2t 2) 3(3t 3) 3 0;

выразим			параметр								t:						t 1 4t 4 9t 9 3 0,										14t 11,
t					11			.
		14
Найдём x, y,z, подставляя найденное значение t в систему:
x	11		1						3	;
14		11					14				22				28				6						3
y 2							2																			;
																									7
		14									14				14				14
		11									33				42				9
z 3							3															.
											14
		14													14				14

Это и есть координаты искомой точки B

3

3

9

;

;

.

14

7

14

4.

Проверить, пересекаются ли

прямые

L

:

x 1

y 2

z

и

3

x 1

y 5

z 3

1

1

2

L2 :

. Если нет, найти расстояние между ними.

4

5

1

Решение:

Чтобы проверить пересекаются ли прямые необходимо проверить их на

принадлежность

одной

плоскости

(компланарность).

Условие

компланарности –

это равенство нулю

смешанного произведения

трех

векторов. Два из них –направляющие вектора прямых: a1 (1; 2; 3), a2 (4; 5;1). Еще один вектор мы построим на координатах точек

M1(1; 2; 0) и M2(1; 5;3) также взятых из канонических уравнений прямых

L1 и L2: M1M2 (0;3; 3). Тогда условие компланарности прямых запишется в виде:

16

						0	3	3
M1M2		a	1	a	2	1	2	3	15 36 24 3 6;
						4	5	1

6 0 следовательно, прямые не лежат в одной плоскости не пересекаются и не являются параллельными (в это случае определитель был бы также равен нулю), т.е. они скрещивающиеся и расстояние между ними можно найти как высоту параллелепипеда (рис. 6.3)

l1

a1

M 1

a 2

M 2 l2

Рис. 6.3

Объем параллелепипеда определим как модуль смешанного произведения

векторов M1M2

a1

a

2, получим

M1M2

a1

a

2

6

6. Площадь

основания вычислим как модуль векторного произведения векторов

a1

и

a

2.

k

i

j

a1

a

2

1

2 3

2i

12j 5k 8k j 15i 17i 11j 13k .

4

5

1

a1

a

2 (17;11; 13),

a1

a

172 112 ( 13)2

.

Или

тогда

2

579

Окончательно получим: d

6

0,2.

579

x 4y 2z 5 0

5. Вычислить угол между прямой L: и плоскостью

3x y z 2 0

:2x 3y z 6 0. Составить уравнение проекции прямой на заданную плоскость.

Решение:

Запишем уравнение прямой L в каноническом виде (3.3). Для этого нам необходимо определить координаты точки принадлежащей прямой и

17

направляющий вектор этой прямой. Для определения координат точки

x 4y 2z 5 0

решим систему уравнений	.
3x y z 2 0
Т.к. все три переменные x, y,	z пробегают всю числовую прямую, возьмём
например x 0 и подставим	4y 2z 5 0
	в систему	. Определим
	y z 2 0	2 и сложим с
теперь переменные y и z: умножим второе уравнение на

первым:

4y 2z 5 0

2y 2z 4 0

2y 1 0

откуда y 1. Умножим второе уравнение на 4 и сложим с первым:

2

	4y 2z 5 0
	4y 4z 8 0
	2z 3 0
	откуда z 3.
	2			1	3
	Координаты точки M0		0;				принадлежащей прямой L.
				;	2
				2

Найдём координаты направляющего вектора a прямой L. Вектора нормали к плоскостям будут ортогональны этому вектору и следовательно, можно найти его воспользовавшись свойством векторного произведения: a n1 n2, где n1 (1; 4; 2) и n2 (3;1; 1) по условию. Тогда

i j k

	n1	n		2 1			4				2 4i 6j k 12k j 2i 2i 7 j 13k ;
3							1				1
Координаты							вектора					a	(2; 7;13). Запишем уравнение прямой L в
каноническом виде по формуле (3.3):
					y		1						3
	x 0											z
							2					2			;
						7
2												13

18

	x		2y 1						2z 3								;
4
		14								26
Окончательно:											x					2y 1							2z 3			.
										2
															7									13
			Найдём угол между прямой L и плоскостью по формуле (4.3). Где
	a	(1; 7;13),								n		(2; 3;1) - вектор нормали плоскости .
sin											2 2 7 3 13 1																				38		0,7.
							2						2					2													3108
		2						7							13					2		2		3	3	2
																										1

Определим проекцию прямой L. Плоскость проведенная ортогонально плоскости и содержащая в себе прямую L на пересечении с плоскостьюобразуют искомую проекцию L1 (рис. 6.4).

L a

n

L1

Рис.6.4

Составим уравнение плоскости используя формулу (1.5). Направляющими векторами здесь будут векторы a - направляющий прямой L и n - нормаль к плоскости . Координаты точки определим из канонического уравнения

прямой M0				1		3
				0;		;					. Получим:
				2		2
	x	y 0,5		z 1,5
	2	7		13						0;
	2	3		1

Раскроем определитель по элементам первой строки

32x 24 y 0,5 8 z 1,5 0; 32x 24y 8z 24 0;

окончательно получим 4x 3y z 3 0 - уравнение плоскости .

19

Тогда наша проекция L1 может быть записана в виде пересечения

2x 3y z 6 0

плоскостей и : .

4x 3y z 3 0

6.Записать в общем виде уравнение плоскости проходящей через

заданные точки A(3;1; 4), B( 1; 6;1), C( 1;1; 6) . Вычислить вектор нормали и отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Решение:

Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся формулой (1.4), где

x1, y1, z1		- координаты				точки	A;	x2, y2, z2 -			координаты		точки B;
x3, y3, z3 - координаты точки C соответственно:
	x 3	y 1	z 4							x 3	y 1	z 4
	1 3	6 1	1 4			0	или			4	5	3			0.
	1 3	1 1	6 4							4	0	2

Вычислим определитель разложением по первой строке:

10(x 3) 20(y 1) 20(z 4) 0;

Приводим подобные, полученный результат делим на (10):

10x 20y 20z 130 0;

x 2y 2z 13 0 - уравнение искомой плоскости.

Координаты вектора нормали это коэффициенты уравнения при

неизвестных x, y,

z, то есть

n

(1; 2; 2). Отрезки, отсекаемые плоскостью

на осях координат,

находим приводя уравнение к виду (1.3):

x 2y 2z 13 0,

x 2y 2z 13,

x

2y

2z

1,

13

13

x

y

z

13

1.

13

13

13

2

2

b 6,5 отрезок на оси Oy,

a 13 отрезок на оси Ox,

c 6,5 отрезок на оси Oz.

7.Записать уравнение плоскости проходящей через точку M0(2; 0;1) в

направлении векторов p (6; 2; 3) и q (5; 4; 2). Вычислить вектор нормали к данной плоскости.

Решение:

Используя формулу (1.5) запишем уравнение плоскости:

20