5. Решение слау размерности
Рассмотрим однородную СЛАУ:
(3.1)
Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное .
Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы меньше числаеё неизвестных.
Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю.
Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений:, называемыхфундаментальной системой решений.
Решения являются линейно независимыми, если ранг матрицы составленной из координатных строк этих векторов равенчислу этих решений.
Теорема: (о структуре решений однородных СЛАУ). Пусть произвольная фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:
(3.2)
Здесь общее решение однородной системы,- произвольные постоянные, афундаментальная система решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии, что свободные неизвестныепо очереди приравниваются 1, а остальные при этом равны 0. Неизвестные называются базисныминеизвестными.
Решение неоднородной системы (1.1) в общем случае определяется следующей теоремой:
Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:
(3.3)
где - общее решение соответствующей однородной системы, а- частное решение неоднородной системы.
Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.
6. Варианты заданий
Найти общее решение неоднородной системы уравнений методом Гаусса:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. .
7. Решение типового варианта
1. Найти общее решение неоднородной системы уравнений
.
Решение: Для нахождения решения системы выпишем расширенную матрицу:
.
Приведем ее к нижнему треугольному виду элементарными преобразованиями со строками. Для этого:
умножаем первую строку на и складываем со второй;
умножаем первую строку на и складываем с третьей строкой;
умножаем первую строку на и складываем с четвертой строкой.
1) , 2);
3) .
Полученные результаты записываем в матрицу эквивалентную исходной:
~
В данной приведенной матрице если все элементы третьей строки поделить на три, а элементы четвертой строки умножить на минус один, то они совпадут с элементами второй строки. Это означает, что три последние строки являются линейно зависимыми (выражаются одна через другую) и, следовательно, две из них можно обнулить.
.
Количество ненулевых строк (хотя бы один элемент не равен нулю) в основной (до вертикальной черты), и в расширенной матрицах, равно двум, следовательно, , поэтому согласно теореме Кронеккера-Капелли система совместна т.е. имеет решение.
По приведенной матрице запишем неоднородную систему эквивалентную исходной системе:
.
Определим количество базисных и свободных переменных. Общее число переменных системы равно четырем а. Следовательно, число базисных переменных равно двум (), а число свободных переменных определим соотношением.
Согласно теореме о фундаментальном решении неоднородной системы: .
Найдем общее решение однородной системы, которое зависит от значения двух свободных неизвестных: .
По исходной приведенной системе запишем однородную: .
В качестве базисных неизвестных выберем , т.к. минор, полученный на пересечении первых двух столбцов и строк,отличен от нуля. Свободными являются оставшиеся неизвестные.
Перенесем свободные неизвестные вправо:
.
Для определения частных решений выберем свободные неизвестные произвольными константами.
Для определения , например, возьмем. Получим систему
, .
Откуда ,.
Получили первое частное решение системы: .
Для определения возьмем. Получим систему
. Откуда ,.
Получили второе частное решение системы: .
Запишем общее решение однородной системы:
.
Найдем - некоторое частное решение неоднородной системы.
Для этого выберем свободные переменные в виде и подставим в систему. Получим:
. Откуда ,.
Частное решение имеет вид:
Убедимся в правильности вычислений, сделаем проверку
.
Вычислено верно. Окончательно имеем:
.