федеральное агенство по образованию

Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

Уравнения прямой на плоскости Практикум

Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей

Владивосток 2011

Одобрено методическим советом университета

УДК 519

Уравнения прямой на плоскости.: метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2011. – 20с.

В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел аналитической геометрии: уравнения прямых на плоскости, взаимное расположение прямых, определение расстояния и угла между прямыми. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий и список дополнительных задач.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного автором

©Н.Е.Дегтярева

©Изд.-во ДВГТУ, 2011

1 Способы задания прямой на плоскости

1. Уравнение прямой проходящей через точку и вектор нормали. Общее уравнение.

Всякий вектор ортогональный прямойназываютнормалью к этой прямой (рис.1.1).

Рис.1.1

Уравнение (1.1)

называют уравнением прямой проходящей через заданную точку в направлении заданного вектора нормали . Раскроем в уравнении (1.1) скобки и введем обозначение , тогда

(1.2)

общее уравнением прямой. Коэффициент определяет расстояние от начала

координат до заданной прямой. Если в уравнении прямой (1.2) , то уравнение называетсяполным. К неполным уравнениям прямой относятся:

1) ,- прямая проходит через начало координат;

2), - прямая параллельна оси ;

3) ,- прямая параллельно оси.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть - полное уравнение. Преобразуем его к видуи поделим на коэффициент. Получим уравнение в отрезках :(1.3)

где отрезки, которые прямая отсекает на координатных осяхисоответственно (рис.1.2).

Рис. 1.2

3. Каноническое уравнение прямой

Всякий вектор параллельный заданной прямой называется ее направляющим вектором (рис.1.4). Из условия параллельности векторови вектора, лежащего на прямой (рис.1.3.) получим:

(1.4)

-каноническое уравнение прямой..

Рис.1.3. Рис.1.4.

4. Уравнение прямой через точки и.

Пользуясь условием параллельности векторов и(рис.1.4), получаем:(1.5)

5. Параметрическое уравнение прямой.

Приравнивая уравнение (1.4.) к параметру :

получим параметрическое уравнение прямой

(1.6)

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выражая в уравнении (1.2) переменную получим уравнение с заданным угловым коэффициентом

(1.7)

Где .

Аналогично, выражая из уравнения (1.4) , получим уравнение прямой проходящей через точкус заданным угловым коэффициентом:(1.8)

7. Нормированное уравнение прямой.

Пусть - единичная нормаль к данной прямой, т.е.. Выразим уравнение прямойчерез уголи радиус вектор точки:(рис.1.5). Т.к., то. Точкатогда и только тогда, когда, т.е..

Откуда получаем:

(1.9)

- нормированное уравнение прямой.

Рис.1.5