3. Решение типового задания

1. Для данных матриц ,,вычислить:

Решение:

Прежде чем производить линейные действия над матрицами, необходимо убедится в том, что их размерности совпадают. Все три матрицы имеют размерности по количеству строк и столбцов соответственно. Действия выполняем согласно формулам (1.1) и (1.2).

.

.

Для данных матриц ,,,,

.

а) проставить размерность; б) протранспонировать матрицы;

в) перемножить, если это возможно.

Решение:

а) Размерность матрицы определяется количеством её строк и столбцов. Матрица имеет две строки и два столбца, матрица- две строки и один столбец, и т.д. Поэтому:

, ,,,.

б) Протранспонируем заданные матрицы. Для этого соответствующие строки матриц запишем столбцами: ,,;

, .

в) Рассмотрим операцию перемножения. Перемножить можно лишь те матрицы в которых количество строк первой матрицы совпадает с количеством столбцов второй матрицы.

Матрица А имеет размерность , а матрица – размерность , поэтому матрицы перемножить можно и в результате перемножения мы получаем матрицу-столбец размерности соответствующей крайним индексам матрици:.

.

Рассмотрим подробно вычисление элементов матрицы . Данная матрица в символьном виде записывается так:. Она состоит из двух элементов обозначенных индексами:и.

1) Для первого элемента и, тогда формула (1.4) примет вид:. Индекс суммирования, изменяется отдот.е. суммирование элементов производится по внутренним индексам (они подчеркнуты). Распишем сумму:

.

Для следующего элемента поступаем аналогично:

.

2) Перемножение матриц можно определить через скалярное произведение вектор-строки матрицы на вектор-столбец матрицы. Для нахождения элементавозьмем первую вектор-строку матрицыи умножим её скалярно на первый вектор-столбец матрицы:

;

.

Т.е. матрицы умножаются -ая строка на-ый столбец.

В обратном порядке эти матрицы перемножать нельзя. Произведение не определено, т.к. внутренние индексы (они подчеркнуты) различны и мы не можем произвести по ним суммирование.

Перемножим теперь матрицы и. Внутренние индексы совпадают, следовательно, произведение данных матриц определено и в результате получится матрица размерности.

Матрица в символьном виде записывается так:

.

Необходимо определить шесть элементов , для этого возьмем соответствующую-ую строку матрицыи умножить её на-ый столбец матрицы.

Поясним, как вычисляется, например элемент . Для этого мы взяли вторую вектор-строку матрицыи умножили ее скалярно на второй вектор-столбец матрицы:. Или для вычисления элемента.

4. Определитель матрицы. Обратная матрица

Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆,) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами.

1. Детерминантом матрицы порядка 1 называется единственный элемент этой матрицы:

(2.1)

2. Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу:

(2.2)

из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали.

3. Для определителя третьего порядка применяют следующее правило:

1) Правило параллельного переноса.

(2.3)

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2) Правило треугольника.

(2.4)

4. Детерминантом матрицы

порядка , при, называется число, определяемое формулой:

(2.5)

или

(2.6)

где - определитель матрицыА, порядка , полученный вычеркиванием из начальной матрицыi–ой строки и j–го столбца, и называемый минором элемента матрицыА. Формула (2.5) называется разложением определителя по строке, формула (2.6) – разложением по столбцу.

Алгебраическим дополнением элементаматрицыА, называется произведение числа на минор данного элемента и обозначается

. (2.7)

Свойства определителя:

1)(равноправность строк и столбцов) Определитель не изменится, если поменять местами строки со столбцами (т.е. ).

2) Перестановка двух строк определителя (или двух столбцов) равносильна умножению определителя на . Четное количество перестановок не меняет знака определителя.

3)Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

4)Умножение всех элементов некоторой строки на число равносильно умножению определителя на число.

5) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю.

6) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя пропорциональны какой-нибудь другой строке (столбцу), то определитель равен нулю. (Следует из свойств 3 и 4).

7)(Линейное свойство определителя) Если в определителе -го порядка некоторая-ая строка является линейной комбинацией двух других строк ис коэффициентамии, то

,

где - определитель у которого-ая строка равна, а- определитель у которого-ая строка равна, а все остальные строки те же, что и у основного определителя.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбца) другую строку (столбец);

3) перестановка строк(столбцов).

8) Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

9.)Треугольный определитель равен произведению диагональных элементов

=.

нижний треугольный верхний треугольный

определитель определитель

Матрица - называется невырожденной (неособенной или несингулярной) матрицей если. В противном случае- особенная (вырожденная или сингулярная).

Теорема: Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, вычисляемую по формуле:

. (2.8)

Свойства обратной матрицы:

1. ,

2. ,

3. если- неособенные матрицы одного порядка.