3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической или в показательной форме

1. Умножение:

При умножении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули перемножаются, а аргументы складываются: .

(3.1)

(3.2)

2. Деление:

При делении двух комплексных чисел заданных в тригонометрической или показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются: ,.

(3.4)

(3.5)

3. Возведение в степень.

Для возведения комплексного числа в целую положительную степень применяют формулу Муавра:

(3.6)

Данная формула является следствием формулы (3.2).

4. Извлечение корня порядка .

Для извлечения корня используем формулу:

. (3.7)

Где .

Точки, соответствующие являются вершинами правильного– угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом.

Способ построения для (рис.2):

1. Из начала координат описываем окружность радиуса .

2. Если то из начала координат проводим луч под углом

к положительному направлению . Пересечение луча с окружностью дает точку.

3. Вписываем в окружность правильный – угольник, одна из вершин которого найденная точка. Точки пересечения– угольника и окружности есть решения.

Рис. 2

Практикум

I. Нарисовать комплексные числа на комплексной плоскости.

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

II. Возвести комплексное число в квадрат.

1) , 2), 3);

4) , 5), 6);

7) , 8), 9);

10) .

III. Найти аргумент комплексного числа.

1) , 2);

3) , 4);

5) 6);

7) 8);

9) 10).

IV. Выполнить действия:

1) ,, 2),,

3) ,, 4),

5) ,, 6),;

7) ,, 8),;

9) ,, 10),.

V. Перевести комплексное число в показательную форму и возвести в степень. Ответ записать в алгебраической форме.

1) , 2), 3) ;

4) , 5) , 6);

7) , 8) , 9);

10) .

VI. Найти модуль комплексного числа.

1) , 2) ;

3) , 4) ;

5) , 6) ;

7) , 8) ;

9) , 10) .

VII. Для данного комплексного числа найти модуль и записать комплексно-сопряжённое число.

1) ,,;

2) ,,;

3) ,,;

4) ,,;

5) ,,;

6) ,,;

7) ,,;

8) ,,;

9) ,,;

10) ,,.

VIII. Вычислить еслизадано, изобразить найденные решения на комплексной плоскости.

1) , 2), 3), 4), 5);

6) , 7), 8), 9), 10).

IX. Решить квадратное уравнение.

1) , 2) , 3) ;

4) , 5) , 6) ;

7) , 8) , 9) ; 10) .

X. Найти частное и остаток от деления.

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , .

Решение типового задания

1. Нарисовать комплексные числа на комплексной плоскости, если

, .

Решение:

Для каждого комплексного числа выпишем действительную и мнимуючасти согласно формуле (1.1):

, .

На комплексной плоскости отметим две точки с соответствующими координатами:(рис.3).

Рис.3

II. Возвести комплексное число в квадрат, если: .

Решение:

Воспользуемся формулой сокращенного умножения , тогда

применяя формулу (1.2) к последнему слагаемому, окончательно получаем

III. Найти аргумент комплексного числа, если:

Решение:

Для нахождения аргумента комплексного числа воспользуемся формулой (1.6). Определим действительные и мнимыечасти заданных комплексных чисел:.

Для числа , следовательно

.

Для числа , следовательно

.

IV. Выполнить действия: , если известно, что: .

Решение:

Рассматривая комплексные числа как двучлены выполним действия сложения, вычитания и умножения:

;

;

;

Найдем отношение . Домножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое к знаменателю. Согласно формуле (1.10) получим:

.

V. Перевести комплексное число в показательную форму и возвести в степень. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение:

Для того, перевести комплексное число в показательную форму, необходимо найти его модуль и аргумент. Для этого воспользуемся формулами (1.5) и (1.6). определим действительную и комплексную части числа:. Получаем:

;

.

Тогда в показательной форме число имеет вид: .

Возведём данное число в четвёртую степень используя формулу (3.6):

Учитывая, что функция имеет период, окончательно получаем:

.

Для того, чтобы перевести число в алгебраическую форму определимипо формулам (1.3):

, ;

, ;

.

VI. Найти модуль комплексного числа и записать комплексно сопряжённое число.

Решение:

Число задано в алгебраической форме, для нахождения модуля воспользуемся формулой (1.5): следовательно .

Число задано в показательной форме(1.8), откуда следует, что

Число задано в тригонометрической форме(1.5) следовательно

Определим комплексно сопряжённые числа по формулам (1.9). Получаем:

VII. Для данного комплексного числа найти модуль.

Решение:

Выражение представляет из себя произведение двух комплексных чиселивозведенных в степень. Для каждого из них вычислим модуль:

, .

Согласно формуле Муавра (3.6), при возведении комплексного числа в степень, его модуль также возводится в данную степень, т.е. ,;

При перемножении двух комплексных чисел. их модули перемножаются (3.1), (3.2). Следовательно

VIII. Вычислить еслизадано, изобразить найденные решения на комплексной плоскости.

Решение:

Для вычисления переведём комплексное число в тригонометрическую форму, определив модуль и аргумент.

, ;

;

.

В тригонометрической форме получим:

Для извлечения корня порядка воспользуемся формулой (3.7):

где

;

;

.

Построим графическое представление корней:

1. Вычерчиваем окружность радиуса

2. Откладываем угол и на его пересечении с окружностью отмечаем корень.

3. Вписываем в окружность правильный треугольник (рис. 4).

Рис. 4

IX. Решить квадратное уравнение .

Решение: Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

;

.

Используя формулу (1.2), получим: . Тогда

. Или Что подтверждает теорему о том, что если многочлен имеет комплексный корень, то он имеет и комплексно сопряженный корень.

Х. Найти частное и остаток от деления.

, .

Решение: Для определения частного и остатка воспользуемся формой деления в столбик:

		_

При делении получим: - частное,- остаток.

.

можно представить как:

Делим в столбик: Найти частное и остаток от деления.

При делении получили: - частное

- остаток