10.3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра

Наложим плоский параллельный оси ox однородный поток со скоростью и комплексным потенциалом ( рис. 63 )

на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом

,

Рис. 63

.

Для определения функции тока отделим мнимую часть

.

Нулевая линия тока

представляет собой две кривые :

1) окружность ,

2) ось ox y = 0.

Выберем произвольную до сих пор величину момента диполя равной

.

Получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности радиуса а с центром в начале координат и оси ox.

Остальные линии тока

.

Движение происходит в двух областях - вне и внутри круга.

Течение вне круга можем рассматривать как обтекание круглого цилиндра, с радиусом основания равным а плоскопараллельным потоком, имеющим на бесконечности скорость .

Такому потоку соответствует комплексный потенциал

Остановимся подробнее на внешнем течении. Найдём распределение скоростей в области .

Найдём распределение скоростей на поверхности цилиндра

,

.

Определим модуль скорости на контуре круга

.

Отсюда следует, что при плоском безвихревом обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью скорость распределена по закону синуса.

Максимальная скорость при

.

Используя уравнение Бернулли, можно найти распределение давления

,

,

где C_p - коэффициент давления.

На рис. 64 показано распределение коэффициента давления по поверхности цилиндра.

а б

Рис. 64

10.4. Циркуляционное обтекание цилиндра

Циркуляционное обтекание цилиндра можно получить, если наложить на рассмотренное выше течение чисто циркуляционный поток от плоского вихря, расположенного в начале координат с направлением вращения по часовой стрелке. Сложив комплексные потенциалы указанных потоков, получим

.

Наложение циркуляционного потока нарушает симметрию линий тока, так как на верхней поверхности скорость от чисто циркуляционного потока направлена в ту же сторону, что и скорость бесциркуляционного потока, а внизу скорость чисто циркуляционного потока направлена в обратную сторону. Вследствие сложения скоростей над цилиндром образуется область повышенных скоростей, а под цилиндром - пониженных.

Суммарная скорость потока на поверхности цилиндра

.

Положение критических точек А и В можно найти приравняв нулю скорость потока. Тогда

.

Для имеем две критические точки А и В ( рис. ) . При увеличении G критические точки смещаются вниз. В случае, когда , получаем , то есть критические точки сливаются в одну точку. При дальнейшем увеличении Г , то есть , критическая точка сходит с цилиндра.

Найдем распределение давления по поверхности цилиндра. Используя уравнение Бернулли, соотношение для коэффициента давления и распределение скорости на поверхности цилиндра, имеем

.

Из соотношения следует, что распределение коэффициента давления симметрично относительно оси у. Поэтому при циркуляционном обтекании цилиндра, так же как при Г = 0, сопротивление равно нулю : Х_а = 0 ( парадокс Даламбера ). При этом подъемная сила не равна нулю. Она определяется по формуле Жуковского.

10.5. Формула Жуковского

Классическая теория крыла основывается на теореме Жуковского о результирующей силе давления потока на обтекаемое им тело. Н.Е. Жуковский на основе модели идеальной жидкости предложил искать источник силового воздействия потока на тело в образовании циркуляции.

Рассмотрим обтекание круглого цилиндра. Как показано выше, при бесциркуляционном обтекании цилиндра скорости и давления распределяются симметрично, что приводит к отсутствию результирующей силы давления. Если цилиндр обтекается с циркуляцией, то симметрия в распределении скоростей и давлений относительно оси х нарушается, в результате чего появляется подъемная сила. Образование циркуляции можно представить как результат воздействия на поток вихря, расположенного вдоль оси цилиндра.

Вычислим значение подъемной силы, возникающей при обтекании цилиндра. Найдем подъемную силу, действующую на элементарную площадку l ds ( здесь l - длина участка цилиндра вдоль его оси ) в направлении оси у, то есть в направлении перпендикуляра к вектору скорости невозмущенного потока V_¥ . Она равна . Введем коэффициент давления с_р . Тогда

,

.

Здесь ds=adq . Тогда, интегрируя по углу q от 0 до 2p и имея в виду, что интеграл от второго члена равен нулю, получим суммарную подъемную силу :

.

Подставляя сюда выражение с_р и учитывая, что

,

получаем формулу Жуковского:

.

При безотрывном обтекании цилиндра установившимся потоком идеальной жидкости результирующая сила давления перпендикулярна вектору скорости набегающего потока. Значение ее не равно нулю только при циркуляции : Г ¹ 0.