Так как комплексная амплитуда

то используя (8) получим формулу для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье:

(15)

Множество коэффициентов комплексного ряда Фурье, рассматриваемое как функция частоты, называют комплексным спектром периодического колебания.

17.1.3. Спектры непериодических колебаний

Непериодическое колебание можно представить как периодическое с бесконечно большим периодом Рассмотрим спектр колебания с периодом, стремящимся к бесконечности. При этом разность соседних частот гармоникстремится к нулю. Гармоники сближаются, и спектр становится сплошным. Комплексную амплитуду гармоники можно записать, заменив в выражении (15) множитель 2/T множителем /:

В полученном выражении при дискретная переменнаяn превращается в непрерывную переменную , частота  - в бесконечно малую величину d, а комплексная амплитуда – в непрерывную функцию частоты :

(16)

Так как d - величина бесконечно малая, то также бесконечно малая. Следовательно, непериодическое колебание можно разложить на бесконечное число гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами. На практике пользоваться бесконечно малыми величинами неудобно, поэтому спектр непериодического колебания описываетсяфункцией спектральной плотности.

(17)

определенной на всей оси частот : от до.

Преобразование колебания по данной формуле называют прямым преобразованием Фурье и иногда записывают в виде

Обратное преобразование Фурье можно осуществить, подставив выражение (15) в (14)

и перейдя к пределу при . В этом случае интеграл (в квадратных скобках) превращается в функцию, а дискретная сумма – в интеграл:

(18)

Последнюю формулу называют обратным преобразованием Фурье, ее можно записать в виде

Функция спектральной плотности

(19)

Модуль этой функции S() называют амплитудной спектральной плотностью или просто амплитудным спектром колебания, а его фазу () – фазовым спектром. Амплитудный спектр – функция четная, а фазовый – нечетная, поэтому графики этих функций достаточно изображать только над положительной полуосью частот. Примеры спектральных плотностей непериодических колебаний приведены в таблице 2.

Преобразование Фурье с математической точки зрения обладает существенным недостатком – вычисление функции спектральной плотности возможно только для колебаний с конечной энергией, для которых (20) гдеС– конечная величина.

Более универсальным является преобразование Лапласа

(21)

формально получаемое из преобразования Фурье отбрасыванием отрицательной части временной оси и заменой мнимого аргумента j на комплексный Иначе говоря, преобразование Лапласа предполагает введение вспомогательного множителяблагодаря чему интеграл (21) становится конечным и для колебаний, не удовлетворяющих равенству (20).

Преобразование Лапласа, как и преобразование Фурье, обратимо. Обратное преобразование Лапласа

(22)

Интегрирование производится на комплексной плоскости параллельно мнимой оси.

Результат преобразования Лапласа – функцию - часто называют изображением функции S(t) [тогда S(t) называют оригиналом]. Математически функция эквивалентна функции спектральной плотности, поэтому ее иногда называютспектральной плотностью комплексной переменной. Из-за меньшей физической наглядности преобразование Лапласа в инженерной практике используют только как математическое средство, удобное при решении задач прохождения колебаний произвольной формы через линейные цепи.

17.2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

Изучение спектров колебаний значительно упрощается, если вос­пользоваться некоторыми свойствами интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Иногда эти свойства называют теоремами о спектрах.

1. Связь между спектрами одиночного импульса и периодической последовательностью таких же импульсов. Рассматривается одиночный импульс s(t) длительности . Такой импульс только в интервале от 0 до ,поэтому спектральную плотность можно определить, используя (17), но интегрируя не в бесконечных пределах, а от 0 до некоторого значения

(23)

Импульс s (t) можно сдвинуть во времени на ±пТ (п= 1, 2, . . .) и все импульсы сложить, тогда получим периодическое колебание: s_T (t) = ...+ s (* + 2T) + s(t + Т) + _S(t) + s(t — T) + s(t — 2T)+ ... .

Коэффициенты ряда Фурье данного периодического колебания определяются формулой (15):

(15а)

где =2/T.

Сравнивая (23) и (15а) и учитывая, что в рассматриваемом интервале от 0 до Т функции s(t) и s_T(t) равны, находим отсюда следует, что коэффициенты ряда Фурье пропорциональны функции спектральной плотности S (j) в точках =n..

На рис. 17.4 изображены сигналы и соответствующие им спектры: одиночный прямоугольный импульс, периодическая последовательность прямоугольных импульсов с периодом T₁, а также последовательность с периодом T₂ > T₁. Из рисунка видно, что форма огибающей составляющих спектра

Рис. 17.4

периодической последовательности определяется формой импульса, а частота — периодом импульсов.В дальнейшем не будем разделять понятия спектра периодического колебания и функции спектральной плотности непериодического колебания и назовем их одинаково - спектром.

Следующие свойства приводятся без доказательств. При этом используется обозначение F[s(t)]=S(j).

2. Преобразование Фурье является линейным, т. е. спектр суммы колебаний равен сумме спектров этих колебаний:

(24)

3. Увеличение амплитуды колебания s (t) в а раз приводит к увеличению в а раз амплитуд составляющих спектра:

(25)

4. Увеличение масштаба времени колебания в а раз приводит к уменьшению в а раз амплитуд составляющих спектра и ширины частотной полосы спектра:

Это очень важное свойство для передачи сигналов по каналам связи, так как показывает, что, например, широкополосные сигналы можно передавать по узкополосным каналам, растянув сигналы во времени (путем записи, к примеру, на магнитную ленту и воспроизведения с пониженной скоростью движения ленты).

5. Задержка колебания на  эквивалентна умножению его спектра на множитель e^-j:

(27)

6. Дифференцирование колебания эквивалентно умножению его спектра на j:

(28)

7. Интегрирование колебания эквивалентно делению его спектра на j:

(29)

Свойства, аналогичные 2-7, справедливы и для преобразования Лапласа:

2a.

3a.

4a.

5a.

6a.

7a.

3. МОЩНОСТЬ КОЛЕБАНИЙ

Когда к цепи подключен источник переменной ЭДС, токи и напряжения в ветвях цепи являются переменными, поэтому мгновенная мощность на некотором элементе цепи, равная произведению мгновенных значений тока и напряжения p(t) = i(t) и (t), также является переменной.

Так как мгновенные значения тока и напряжения могут быть как положительными, так и отрицательными, то и мгновенная мощность также может быть положительной и отрицательной величиной. Когда мгновенная мощность положительная, то цепь получает энергию от источника, а когда отрицательная, то цепь возвращает источнику накопленную энергию.

Энергия, переданная источником элементу цепи за промежуток времени

(30)

Средняя мощность

(31)

Средняя мощность периодического колебания постоянна за период, поэтому ее можно вычислить интегрированием (30) в пределах О, Т, где T = t₂ — t₁.

Для удобства расчета мощности в цепях переменного тока вводят понятия действующих значений напряжения и тока

, (32)

численно равных постоянным напряжению и току, при которых выделяется мощность, равная средней за период мощности переменного колебания.

Действующие значения гармонических напряжений и тока пропорциональны амплитудам:

17. 3.1. МОЩНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Пусть в некоторой ветви цепи течет ток и падает напряжение, соответственно итогда средняя за периодмощность равна

(33)

где—активная мощность. Она максимальна тогда, когда фазы тока и напряжения совпадают (). При этом цепь потребляет максимальную энергию.

Наряду со средней активной мощностью вводится полная мощность, равная произведению действующих значений напряжения и тока:

(34)

и реактивная мощность, равная произведению действующих значений напряжения и тока, умноженных на sin:

(35)

Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником и численно равна максимальной скорости запаса энергии в цепи.