Полная мощность

(36)

Коэффициент cos в формуле активной мощности называют коэффициентом мощности; он показывает, какую долю полной мощности составляет активная мощность. Коэффициент мощности является важным показателем устройств энергетического обеспечения.

Когда расчет цепи производят методом комплексных амплитуд и найдены, например, комплексные амплитуды и то полную комплексную мощность вычисляют по формуле

(37)

либо

где - сопряженная комплексная амплитуда тока (если то). Активная и реактивная мощности соответственно

(38)

(39)

17.3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В СПЕКТРЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ

Средняя мощность периодического колебания, выделяющаяся на единичном сопротивлении R = 1 Ом, в общем случае равна

(40)

Подставим в (40) ряд Фурье:

Возведя этот ряд в квадрат и проинтегрировав его почленно, с учетом того, что

получим

(41)

Таким образом, средняя мощность периодического колебания равна сумме мощностей всех гармоник и постоянной составляющей. Мощность каждой гармоники пропорциональна квадрату амплитуды этой гармоники; следовательно, средняя мощность в спектре распределена пропорционально квадратам амплитуд гармоник.

Если в (41) бесконечную сумму заменить суммой N ее первых членов:

(42)

то получим мощность (< 1) в полосе частот, соответствующей ширине спектра . Равенство (12) может слу­жить критерием определения ширины спектра колебания. Например, выбрав =0,95, можно найти такое значение N_, для кото­рого правая часть выражения (42) будет иметь значение, не меньшее 0,95Р_A; тогда ширина спектра равна NF.

17.3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ

Энергия колебания s (t), выделяющаяся на единичном сопротив­лении,

(43)

Это равенство можно записать в виде

Изменяя порядок интегрирования, имеем

. (44)

Интеграл

(45)

Подставив (45) в (44), получим следующее выражение для энергии сигнала:

Так как функция S² () является четной, то

(46)

Выражение (46) называют равенством Парсеваля.

Величина 2S²(2f)df показывает, какая часть энергии сигнала приходится на полосу частот шириной df. Если df=l,то величина 2S²(2f) показывает, какая часть энергии сигнала приходится на полосу частот шириной 1Гц при заданной частоте f. Таким образом, квадрат модуля спектра колебания показывает, как энергия колебания распределяется на оси частот, и называется спектральной плотностью энергии сигнала.

Равенство Парсеваля позволяет определить ширину спектра F как полосу частот, в которую попадает основная доля ( < 1) энергии колебания:

(47)

В Рассмотренные спектральные представления непериодических колебаний справедливы только для колебаний с конечной энергией, так как только при этом условии интегралы (17), (43) и (46) ограничены. Этому требованию удовлетворяют все колебания ограниченной амплитуды и конечной длительности, а также колебания неограниченной длительности, мгновенные значения которых ограничены и при уменьшаются не медленнее чем.

17.4. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Математической моделью случайных сигналов и помех является

случайный процесс X(t). В фиксированный момент времени t = t₁ отсчет процесса X(t₁ ) = x₁ — случайная величина, описываемая плотностью распределения вероятностей * W (x₁,t₁). Для описания случайного процесса в п фиксированных моментов времени t₁...., t_n используется n-мерная плотность распределения вероятностей

Каждое наблюдение случайного процесса (например, на экране осциллографа) — различная функция x_i(t), i=l, 2, ... (рис. 5). Функции X_i(t) называют выборочными или реализациями случайного процесса. Достаточно большой набор реализаций дает определенное представление о случайном процессе. По нему находятся вероятностные характеристики процесса.

Рис. 17.5

Многомерные плотности распределения вероятности при больших п достаточно точно описывают случайный процесс. Однако ввиду сложности такое описание используется только в теоретических исследованиях. Экспериментально с разумными затратами можно измерить одномерную (n=1) или двумерную (п=2) плотности распределения вероятностей.

Среди множества различных процессов особое место занимает гауссовский случайный процесс. Его одномерная плотность распределения вероятностей

(48)

где m(t) и (t)—математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Исключительное значение гауссовского случайного процесса в прикладных задачах объясняется тем, что, как следует из центральной предельной теоремы Ляпунова, плотность распределения вероятности суммы независимых или слабозависимых равномерно малых слагаемых при неограниченном увеличении их числа приближается к плотности распределения вероятности гауссовского случайного процесса. Поэтому шумы и помехи, а также сигналы, которые порождаются большим числом независимых источников, имеют плотность распределения вероятностей, близкую к гауссовской.

Кроме плотностей распределения вероятностей для описания свойств случайных процессов используются также моментные функции. Из них наиболее часто используются:

- математическое ожидание

(49)

(50)

- корреляционная функция

(51)

По определению, математическое ожидание представляет среднее значение случайного процесса. Когда рассматриваемый случайный процесс состоит из детерминированного сигнала s(t) и случайного шума n(t) с нулевым средним значением, т. е. x(t)=s(t)+ n(t), то математическое ожидание процесса x(t) равно сигналу s(t). В частном случае, когда s(t) -постоянная составляющая процесса x(t), то и математическое ожидание - постоянная величина.

Дисперсия характеризует рассеяние случайного процесса. По определению, дисперсия — среднее значение квадрата величины, и, таким образом, она пропорциональна средней мощности центрированного процесса = x(t)-m(t). Как видно из (50), среднеквадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сам процесс. Физический смысл величины (t)- действующее значение напряжения или тока центрированного случайного процесса.

Корреляционная функция - мера связи между отсчетами случайного процесса, взятыми в моменты времени t₁ и t_z. Когда t₁ = t₂, то, очевидно, В (t₁, t₂) = D(t₁), поэтому максимальное значение корреляционной функции равно дисперсии. Если моменты времени t₁ и t₂ так удалены друг от друга, что никакой связи между значениями процесса нет, то двумерная плотность распределения вероятностей выражается произведением одномерных плотностей

При этом условии корреляционная функция (51) становится равной нулю.

В качестве математической модели помехи часто используется стационарный случайный процесс, свойства которого не зависят от положения начального отсчета. Математическое ожидание и дисперсия стационарного случайного процесса не зависят от времени: m(t)=m, а корреляционная функция зависит только от расстояния между отсчетами .

Многие случайные процессы, такие, как шумы электронных приборов и каналов связи, обладают свойством эргодичности, заключающейся в том, что средние значения функций случайного процесса, найденные путем усреднения по реализациям, совпадают с соответствующими средними, найденными путем усреднения одной реализации во времени.

Для эргодических случайных процессов математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, представленные выражениями (49), (50) и (51), совпадают соответственно со следующими выражениями:

(52)

Свойство эргодичности особенно ценно при экспериментальных исследованиях случайных процессов. Для нахождения средних характеристик таких процессов не нужно располагать большим числом источников, создающих отдельные реализации процесса, а достаточно одной реализации и, следовательно, одного источника.

Спектральные представления, базирующиеся на преобразовании Фурье, применимы только к отдельным реализа­циям случайного процесса. Средняя спектральная плотность, найденная путем усреднения совокупности спектральных плотностей отдельных реализаций процесса, из-за случайности их фазовых характеристик равна нулю. Поэтому для представления спектральных характеристик случайного процесса вводят понятие спектральной плотности мощности, характеризующее распределение мощ­ности процесса на частотной оси.

Спектральная плотность мощности эргодического процесса находится по одной реализации и определяется выражением

(53)

где - спектральная плотность реализации центрированного процесса (t) = x(t) - m.

Спектральная плотность мощности неэргодического процесса находится путем усреднения по реализациям спектральных плотностей мощности отдельных реализаций, определенных выражением (53). Нужно обратить внимание, что спектральная плотность мощности G(), как и спектральная плотность S (j), определена как при положительных, так и при отрицательных частотах. Физическое содержание этого понятия противоречит его определению на отрицательной полуоси. Поэтому в инженерной практике чаще всего используют спектральную плотность мощности, определенную только на положительной полуоси частот, т. е.

(54)

Средняя мощность процесса через спектральную плотность мощности

выражается интегралом, аналогичным (46):

(55)

В заданной полосе частот f₁ - f₂ мощность случайного процесса

(56)

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса однозначно связана с корреляционной функцией преобразованием Фурье (теорема Хинчина - Винера):

(57)

Так как преобразование Фурье обратимо, то корреляционная функция через спектральную плотность мощности выражается обратным преобразованием Фурье:

(58)

Указанная связь между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией аналогична связи между спектральной плотностью и временной функцией детерминированного сигнала. В частности, свойства преобразования Фурье применимы и к спектральной плотности мощности, и к корреляционной функции.

В качестве модели помехи часто используется «белый шум», характерная особенность которого заключается в том, что его спектральная плотность мощности постоянна во всем диапазоне частот (от 0 до ). Такая модель описывает идеальный шум. Как следует из (54), средняя мощность такого шума должна быть бесконечной.

Для некоторого устройства помеха считается «белым шумом», если ее спектральная плотность мощности постоянна в полосе частот более широкой, чем полоса пропускания устройства. В полосе частот f₁-f₂ в соответствии с (56) мощность «белого шума»

(59)

Эта мощность пропорциональна ширине полосы частот f₂ - f₁.

Таблица 2.1

Колебание		Ряд Фурье	Амплитудный спектр
	sT 1 -T –T/2 0 T/2 T t		Am 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0  3 5 f
	sT f -T 0 T 2T t		Am 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 2 4 6 8 10 12 

Продолжение таблицы 2.1

	sT 1 T T/2 0 T/2 T t		Am 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0  3 5 7 9 11 13 
	sT 1 -T/2 0 T/2 T t		Am 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 2 4 6 

Таблица 2.2

Сигнал		Спектральная плотность
	S 0 t		S 1 0 
	S 1 0 t		S 0 

Продолжение таблицы 2.2

			S 0 
	S 1 0 t		S 0 