- •25.Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •24.Интегрирование рациональных дробей
- •23.Метод неопределенных коэффициентов
- •22.Интегрирование по частям Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
- •Интегрирование заменой переменной
- •Следствия из метода интегрирования заменой переменной
- •Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
- •Экстремум функции Необходимое условие экстремума
- •Достаточное условие экстремума
- •1) Первое достаточное условие:
- •2) Второе достаточное условие
- •Дифференциал функции
- •Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
- •Теоремы о дифференцируемых функциях
- •Геометрический и механический смысл производной
- •Геометрический смысл производной
- •Понятие производной Пусть задана некоторая функция . Возьмем какое-нибудь значение из области определения этой функции: . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно .
- •Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б.М. Функций
- •Предельные равенства для эквивалентных б.М. Функций
- •Замечательные пределы
- •Основные неопределенности пределов и их раскрытие.
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Примеры исследования последовательностей на монотонность
- •Нестрогая монотонность
- •Основные свойства б.М. И б.Б. Последовательностей
- •Основные понятия и определения
- •Задание последовательности формулой ее общего члена
- •Рекуррентный способ задания последовательности
22.Интегрирование по частям Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения.
Пусть — функции, дифференцируемые на некотором промежутке . Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:
Так как , а ,
то получаем: , откуда .
Поскольку уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства можно опустить и записать равенство в виде
(1) |
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.
При выводе формулы (1) мы предположили, что функции и дифференцируемы. Этой формулой обычно пользуются в тех случаях, когда подынтегральное выражение проще, чем подынтегральное выражение .
Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно различными способами записать в виде . Например,
и т. д. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выражение разбить на части и так, чтобы вид был не сложнее, чем вид , а вид проще, чем вид . В частности, полезно иметь в виду, что для таких функций, как , производные имеют вид более простой, чем сами функции. Поэтому в большинстве случаев эти функции удобно принимать за функцию.
Пример 1. Вычислим по частям неопределенный интеграл .
Решение. Положим . Тогда .
Используя формулу интегрирования по частям (1), получаем:
Замечание. При нахождении не пишут промежуточную произвольную постоянную , так как она не оказывает влияния на окончательный результат.
Интегрирование заменой переменной
Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.
Если в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Задание. Найти интеграл
Решение. Сделаем замену переменной: , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.
Ответ.
Следствия из метода интегрирования заменой переменной
Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:
то есть
Аналогично можно показать, что
Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.
Определение неопределенного интеграла.
Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .
Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).
Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетсянеопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).
Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
, где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.
Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.
Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.
Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:
первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.