Практическое занятие №1 Организация учебно-познавательной деятельности учащихся при работе с теоремой

Цели

1. Сформировать представление у студентов о методике изучения теорем школьного курса математики.

2. Тренировать способность у студентов к применению полученных знаний в будущей профессиональной деятельности.

В результате изучения темы студент должен знать:

• определение понятия «теорема»;

• основные части теоремы;

• виды теорем;

• методические подходы к процессу организации работы с теоремой.

Студент должен уметь:

• осуществлять логико-математический анализ теорем;

• применять полученные знания в будущей профессиональной деятельности.

Литература

1. Груденов, Я.И. Изучение определений, аксиом и теорем / Я.И. Груденов. – М., 1981. – 95 с.

2. Далингер, В.А. Методика работы над формулировкой доказательством и закреплением теоремы / В.А. Далингер. – Омск, 1995. – 198 с.

3. Далингер, В.А. Обучение учащихся доказательству теорем / В.А. Далингер. – Омск, 2002. – 420 с.

4. Далингер, В.А. Теорема, её виды и методы доказательства. / В.А. Далингер. – Омск, 1996. – 76 с.

5. Дразнин, И.Е. О применении обратных и противоположных теорем в курсе геометрии / И.Е. Дразнин // Математика в школе, 1994. – №6.

6. Новосельцева, З.И. Некоторые примеры мотивации изучения теорем / З.И. Новосельцева // Математика в школе, 1985. – №5.

7. Петриченко, Щ. достаточно или необходимо / Щ. Петриченко // Математика: приложение к 1 сентября. – №23.

8. Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе / Г.И. Саранцев. – М., 2000. – 173 с.

9. Тимофеева, И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного / И.Л. Тимофеев // Математика в школе, 1994. – №3.

10. Шумихина, В.В. Использование «разрезных» теорем на уроках геометрии / В.В. Шумихина // Математика в школе, 1994. – №3.

Задания для размышления и контроля

1. Охарактеризуйте понятия «теорема», «аксиома» через понятие «доказательство»

2. Перечислите возможные варианты логической структуры формулировки теорем, приведите примеры теорем школьного курса математики разных структур.

3. Выделите основные элементы теорем, рассмотрите формулировки с различными структурами.

4. Охарактеризуйте основные виды доказательств теорем.

5. Перечислите достоинства и недостатки аналитического и синтетического методов доказательства теорем.

6. Укажите различия методов доказательства восходящего анализа и нисходящего анализа.

7. Выполните логико-математический анализ одной из теорем.

8. Разработайте систему заданий на применение данной теоремы.

9. Предложите и обоснуйте методику изучения выбранной теоремы, через описание:

• способа знакомства учащихся с фактом, описанном в теореме;

• способа введения формулировки теоремы;

• способа краткой записи (а при необходимости и чертежа) для усвоения ее содержания;

• способа ознакомления с доказательством теоремы;

• способа записи доказательства.

Лекция №1. Теоремы в школьном курсе математики

План

1. Теоремы и доказательства (сведения из логики).

2. Методические основы обучения доказательствам.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства, называют теоремой.

Структура доказательства

1. тезис – суждение, истинность которого доказывается.

2. аргументы доказательства – суждения, истинность которых установлена и из которых необходимо следует истинность доказываемого тезиса (определения понятий, аксиомы, постулаты, теоремы, общие законы науки).

3. демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, при котором осуществляется переход от аргументов к тезису.

Виды формулировок теорем

1. категорическая

• пример 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

• пример 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной .

условная (импликативная)

• пример 1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

• пример 2. Если на некотором промежутке, то на этом промежутке, где с – постоянная.

раздельная

• пример 1. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

• пример 2. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Структура формулировки теоремы

1. условие;

2. заключение;

3. разъяснительная часть.

Логическая структура условия и заключения:

1. конъюнктивная;

2. дизъюнктивная.

Виды теорем

1. PQ – прямое утверждение (теорема);

2. Q P – обратное утверждение (теорема);

3. –противоположное утверждение (теорема);

4. –контрапозитивное утверждение (теорема).

PQ и ; Q P и – пары равносильных утверждений (теорем).

Пример.

Прямая теорема: «Если два угла треугольника равны, то и стороны, лежащие против этих углов, равны».

Обратная теорема: «Если две стороны треугольника равны, то и углы, лежащие против этих сторон, равны».

Противоположная теорема: «Если два угла треугольника не равны, то и стороны, лежащие против этих углов, не равны».

Контрапозитивная теорема: «Если две стороны треугольника не равны, то и углы, лежащие против этих сторон, не равны».

Методы доказательства теорем

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению.

Рис. 4

Логико-математический анализ теоремы

Логико-математический анализ – раскрытие логической структуры предложения, вида суждения и способа его конструирования. Он предполагает:

1. установление формы формулировки;

2. определение вида суждения;

3. перевод формулировки, если необходимо, в импликативную форму;

4. запись структуры теоремы, т.е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний и логических связок;

5. формулирование обратного утверждения и определение его истинности.

Математический анализ – раскрытие математического содержания выделенных элементов структуры.

Этапы изучения теоремы учащимися (по Г.И. Саранцеву)

1. мотивация изучения;

2. ознакомление с фактом, отраженным в теореме;

3. формулировка теоремы;

4. усвоение содержания теоремы, ее структуры;

5. ознакомление со способом доказательства;

6. доказательство теоремы;

7. применение теоремы;

8. установление связи с другими теоремами.

Методы введения теоремы

1. конкретно- индуктивный метод;

2. абстрактно – дедуктивный метод.

Обучение учащихся доказательству

Обучение доказательству – обучение мыслительным процессам поиска, нахождения и построения доказательства, а не воспроизведению и заучиванию готовых доказательств.

Приемы поиска прямого доказательства