Прием аналитико-синтетического поиска доказательства

• разворачиваются условия: на основе ранее изученных определений и теорем выводятся следствия ( А А₁ А₂ … );

• расширенный список свойств сравнивается с заключением;

• отыскивается совокупности свойств, достаточные для заключения (…В₂ В₁В);

• отбирается одна из совокупностей свойств достаточных для доказательства (определение или признак понятия);

• выводятся следствия из ранее найденных следствий, достаточных по отношению одному из свойств, входящих в совокупность достаточных для заключения свойств;

• замыкание цепочек, идущих от условия и ведущих к заключению;

• схема рассуждений: АА₁А₂ …А_nВ_n…В₂ В₁В.

Приемы поиска косвенного доказательства

1) Доказательство «от противного» (частный случай нисходящего анализа)

Суть приема – предположение об истинности антитезиса приводит к противоречию с условием, аксиомой или ранее доказанной теоремой.

Разделительное доказательство (прием исключения)

Суть приема – выдвигаются и затем опровергаются все возможные альтернативы тезису теоремы.

Формы представления доказательства

• цепочки рассуждений;

• цепочки истинных предложений.

Система задач на усвоение теоремы и ее доказательства

1. на раскрытие необходимости знания математического факта, сформулированного в теореме;

2. на актуализацию фактов, используемых при доказательств и способов доказательств, аналогичных используемым для данной теоремы;

3. на осознание факта, сформулированного в теореме;

4. на усвоение формулировки;

5. на усвоение отдельных этапов доказательства;

6. на повторение хода доказательства (например, на других чертежах);

7. на отыскание другого способа доказательства;

8. на применение теоремы для получения новых математических фактов (следствий);

9. на применение теоремы для решения других задач на вычисление, построение и доказательства.

Уровни обучения доказательствам (по Г.И. Саранцеву)

5 -6 класс

• формирование потребности в логических доказательствах;

• формирование умения осуществлять дедуктивные выводы;

6 -7 класс

• обучение эвристическим приемам и их применению;

• обучение выполнению цепочки логических шагов;

7 Класс

• обучение самостоятельному разбору готового доказательства;

• формирование умения выделять идею доказательства;

7 – 8 класс

• обучение использования методов научного познания;

• привлечение к самостоятельному доказательству;

9 класс

• обучение умению опровергать предложенные доказательства.

Задание для самостоятельной работы

Выделите методические особенности введения формулировки теоремы с конъюнктивной структурой

Литература

1. Далингер, В.А. Методика работы над формулировкой доказательством и закреплением теоремы. / В.А. Далингер. – Омск, 1995. – 198 с.

2. Далингер, В.А. Обучение учащихся доказательству теорем. / В.А. Далингер. – Омск, 2002. – 420 с.

3. Далингер В.А. Теорема, её виды и методы доказательства. / В.А. Далингер. – Омск, 1996. – 76 с.

Лекция №2. Особенности содержания и организации процесса обучения на современном этапе. Общая начальная математическая подготовка в 1 – 5 классах

План

1. Введение.

2. Основные вопросы курса математики в начальной школе.

3. Преемственность в изучении математики в 5 классах.

Начальный курс математики – интегрированный курс, в котором объединены арифметический, алгебраический и геометрический материалы. Его основу составляют представления о натуральном числе и нуле, четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, ознакомление с величинами и их измерением, осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

Концентрическое построение курса математики, связанное с последовательным расширением области чисел, позволяет соблюсти необходимую постепенность в нарастании трудности учебного материала и создает хорошие условия для совершенствования формируемых знаний, умений и навыков.

Особенности начального курса математики

1. Обучение в тесной связи с жизнью. Например, формирование понятия о натуральном числе и арифметических действиях начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Такой подход дает возможность использовать ранее накопленный детьми опыт, их первоначальные знания о числе и счете.

2. Важнейшей особенностью начального курса математики является то, что рассматриваемые в нем основные понятия, отношения, взаимосвязи, закономерности раскрываются на системе соответствующих конкретных задач. Можно выделить два основных типа задач:

– простые текстовые задачи (задачи, решаемые одним действием) способствуют более осознанному усвоению детьми смысла самих действий. на простых текстовых задачах дети знакомятся и со связью между такими величинами, как цена - количество - стоимость; норма расхода материала на 1 вещь – число изготовленных вещей и общий расход материала; скорость – время – пройденный путь при равномерном движении и т.д.;

– составные задачи небольшой сложности (например, в 2 действия), направленные главным образом на разъяснение рассматриваемых свойств действий, на сопоставление различных случаев применения одного и того же действия, противопоставление случаев, требующих применения различных действий.

3. Изучение геометрического материала носит иллюстративный характер. Работа над ним по возможности увязывается с изучением арифметических вопросов. Так, с самого начала геометрические фигуры и их элементы используются в качестве объектов счета предметов. После ознакомления с измерением длины отрезка решаются задачи на нахождение суммы и разности двух отрезков, длины ломаной, периметра многоугольника и в том числе прямоугольника (квадрата), а в дальнейшем и площади прямоугольника (квадрата).

Нахождение площади прямоугольника (квадрата) связывается с изучением умножения, задача нахождения стороны прямоугольника (квадрата) по его площади - с изучением деления.

Важной функцией геометрического материала является обеспечение наглядности. Различные геометрические фигуры (отрезок, многоугольник, круг) используются в качестве наглядной основы при формировании представлений о долях величины, а также при решении разного рода текстовых задач.

Основные цели изучения геометрического материала в 1-5 классах

1) развитие пространственного мышления учащихся как разновидность образного;

2) познание окружающего ребенка мира с геометрических позиций как базы создания учащимися геометрической картины мира. Развитие умения использовать сформированные представления при ориентации в окружающем ребенка мире;

3) развитие рефлексивных способностей учащихся;

4) подготовка к сознательному усвоению курса геометрии в 7-11классах к изучению смежных дисциплин;

5) формирование представлений о геометрических фигурах и отношениях. Эти представления образуют объемы понятий фигур, изучаемых в основной и старшей школе, и отношений (принадлежности, пересечения, перпендикулярности, параллельности), являются базой понятий, т.е. фактически готовят введение собственно понятий;

6) развитие конструктивных умений в выполнении построения циркулем, линейкой, угольником, транспортиром;

7) формирование навыков измерения геометрических величин;

8) формирование умений конструировать определения геометрических объектов. Ознакомление с простейшими дедуктивными обоснованиями;

9) развитие вербально-логического мышления. Формирование умений выделять существенные свойства фигур, конструировать описания геометрических объектов, четко формулировать выводы на основе наблюдений.

4. Осуществление алгебраической пропедевтики. Ознакомление детей с таким важным математическим понятием, как «переменная», происходит уже в теме «Числа от 1 до 10» при выполнении упражнений, в которых, например, значения слагаемых заданы в табличной форме и требуется найти суммы и заполнить соответствующие клетки таблицы. В дальнейшем вводится буквенное обозначение переменной. Дети учатся находить значения буквенных выражений при заданных числовых значениях входящих в них букв, знакомятся с простейшими уравнениями.

Преемственность в изучении математики в 5 классах

В 5 классе проводится систематизация и расширение сведений о натуральном и дробном числе, полученных в начальной школе. Систематизация идет с опорой на позиционное представление числа. Усиливается роль теоретических обоснований, что проявляется в сочетании методов индукции и дедукции. Формируется обобщенный прием решения уравнений и неравенств первой степени с одной переменной. Развиваются умения решать текстовые задачи.

Первое знакомство с дробными числами также происходит в начальной школе, но их систематическое изучение начинается в 5 классе. Дробные числа вводятся через понятие «доли». Важное значение имеет вопрос мотивации для введения дробных чисел. Существуют три приема для мотивации:

• измерение величины;

• разрешимость уравнений;

• выполнимость действий

В 5 классе в теме «Натуральные числа» особое внимание уделяется законам арифметических действий. Важно показать глубокое теоретическое значение законов, т.к. у учащихся обычно создается впечатление, что законы нужны лишь для упрощения арифметических действий. В 5 классе законы арифметических действий записываются в общем виде с использованием буквенной символики. Рассмотрение коммуникативного и ассоциативного законов умножения целесообразно связать с геометрическим материалом, а именно с вычислением площадей прямоугольников и объемов прямоугольных параллелепипедов.

Пропедевтика курса алгебры в 5-6 классах:

• введение алгебраической символики;

• знакомство с возможностями, которые открываются при использовании букв;

• накопление опыта работы с алгебраическим языком.

В 4 – 5 классах в процессе обучения:

1) уточняются и углубляются представления о геометрических объектах и их свойствах, приобретенные при обучении 1-3 классах;

2) вводятся новые геометрические фигуры (луч, параллельные прямые, биссектриса угла и т.д.), некоторые преобразования фигур;

3) изучаются новые величины, носителями которых являются знакомые фигуры (например, длина окружности, величина угла), проводится четкое различие величин и фигур (например, отрезок и длина отрезка, угол и градусная мера угла);

4) расширяется круг геометрических построений и используемых при этом инструментов.