19.Первообразная для функции и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x)выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если
f(x) = (x) + C
то
f '(x) = '(x)
или
f '(x)dx = '(x)dx
Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и (x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если
f '(x) = '(x) или df(x) = d(x),
то
f(x) = (x) + С
Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x) Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом
Таким
образом, по определению,
где F'(x)
= f (x) или dF(x)
= f(x)dx и С -
произвольная постоянная. В последней
формуле f(x) называется подинтегральной
функцией, f(x)dx -подинтегральным
выражением,
а символ - знаком
неопределенного интеграла.
Неопределенным
интегралом называют не только множество
всех первообразных, но и любую функцию
этого множества.
Таким
образом,неопределенный
интеграл представляет собой любую
функцию, дифференциал которой равен
подинтегральному выражению, а производная
равна подинтегральной функции
Нахождение
первообразной по данной
функции f(x) называется интегрированием и
является действием, обратным
дифференцированию.
20.Правила интегрирования, Таблица интегралов
21.Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, и интегрирование по частям. Примеры.
Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.
Метод замены переменной–основан на использовании формулы где z–новая переменная, связанная с x соотношением , непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Справедливость этой формулы следует из того, что равны дифференциалы ее левой и правой частей (проверьте).
Метод интегрирования по частям.
Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла:
для определённого:
Примеры:
22.Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула:
23.Несобственный интеграл
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .
24.Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
Определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.
25.Функция нескольких переменных
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y). z=f(x,y)
26.Частные производные функции
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, но с изменениями.
Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная Xсчитается константой (постоянным числом).
Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная Y считается константой (постоянным числом).
Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (X,Y либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.