функции многих переменных идз

D	11 S	D	12		;			1	11		012			x2												0										x2									x2
						так что I = I				+ I			; где
		D11										1	px														1
		RR						5 5		R						0				5 5						R				0		y2									5 y6
													R																						px									px
I11 =				(xy				9x y )dxdy =				dx			(xy				9x y )dy =											x			2		3					9x		6		3					dx =
															1	R			5		5=3								3	R			17						7				5					5
												1	px					x x									1								px									px
													=		2										dx			2					x x dx =										48 48 = 0:
														3		1													1						3									3
	I12	=D12				(xy 9x5y5)dxdy =						0	dx x2			(xy 9x5y5)dy =										0		x y22																				dx =
																																		x2					9x5 y66 x2
			RR									R		R		1	1			5=3		x	5			R			3	1									17									5
																			x						dx								7										5						= 0:
															= 2 0														2 0				x		x dx =								48					48
																	R													R

Таким образом, общий ответ в этом случае составляет I1 = I11 + I12 = 0:

П р о в е р к а. Следуя указанию, проверим правильность вычисления, например, интеграла I11 по области D11; поменяв порядок интегрирования (рис. 5). В области D11 абсцисса x изменяется от кривой x = y до кривой x = y3, а уже затем ордината y изменяется от 1 до 0 :

I11	=D11					0		y3								0					y3							y3			dy =
		(xy 9x5y5)dxdy = 1 dyp y (xy 9x5y5)dx = 1															y x22 p y 9y5									x66 p y
	RR		0		R			R			0					R
			1		7		2				3		23		8			1			1		1		3			1			1
		=	2 R1	y		+ y		dy			2 R1	y		+ y		dy =		2	8 +				3		2			24	+		9	= 0:

Проверка правильности вычисления интеграла I12 делается аналогично. p

10.2. Вычислим двойной интеграл I2 в области D2 (рис. 6). Прямые y = 2 и y = 2x p p

пересекаются в точке (1=2 2 ; 2 ):

	y		p2	; p2
		D2	2
	1
	0		1	x
Рис.	6.	Область		интегрирова-
ния D2			двойного интеграла I2:

Вычислим двойной интеграл по области D2; интегрируя сначала по x в пределах от

0 до прямой x = y=2; а затем по y в пределах от 0 до p

:

2

p

y=2

p

p

2

2

y=2

2

y2

xy

xy

2

yx

I2 = ZZ

y2 cos

dxdy = Z

dy

Z y2 cos

dx =

Z y2dy

sin

0

= 2

Z y sin

dy =

2

2

y

2

4

D2

0

0

0

0

=[Замена переменной: t = y

2

;

dt = y dy

: При изменении y от 0 до p2 новая переменная

4

2

=2

t изменяется от 0 до =2] = 4

R0

sin tdt = 4:

11

Заметим, что в данном случае изменение порядка интегрирования в I2 потребовало бы значительно больших усилий из-за необходимости двойного интегрирования по частям.

Ответ: I1 = 0; I2 = 4:

0.11Вычисление площадей фигур

Вычислить площади фигур, ограниченных данными линиями:

11.1.	S1	: y = 11 x2; y = 10x:
11.2.	S2	: x2 6x + y2 = 0; x2 10x + y2 = 0; y = x=3; y = 3x:

Решение:

11.1. Изобразим фигуру S1 на плоскости xOy (рис. 7). Точки пересечения данных линий определим из условия 11 x2 = 10x; которое приводит к квадратному уравнению x2 10x 1 = 0 с корнями x1 = 1; x1 = 11: Линии пересекаются в точках M1( 1; 10)

и M2(11; 110):

y

0x

Рис. 7. Фигура S1:

Площадь фигуры найдем как

S1 = ZZ

11

dx

11 x2

dy =

11

3 x3

1+10

2 x2

1 = 288:

dxdy = Z

Z

Z

(11 x2 ( 10x))dx = 11xj111

S

1

1

10x

1

1

11

1

11

11.2. Изобразим фигуру S2 на плоскости xOy (рис. 8). Она представляет собой криволинейный четырехугольник, две стороны которого являются дугами окружностей с уравнениями, соответственно, (x 3)2 + y2 = 9 и (x 5)2 + y2 = 25; а две другие стороныпрямыми линиями y = x=3 и y = 3x:

12

y
1
0	1	3	5	6	10	x
		Рис. 8. Фигура S2:

Очевидно, что нахождение площади фигуры S2 в декартовых координатах (x; y) довольно громоздко и гораздо удобнее воспользоваться полярными координатами (r; '): Как известно, переход от одних координат к другим осуществляется с помощью формул преобразования x = r cos '; y = r sin '; dxdy = rdrd': Нетрудно убедиться, что уравнения данных окружностей в полярных координатах имеют вид, соответственно, r = 6 cos ' и r = 10 cos '; в обоих случаях угол ' изменяется в пределах =2 6 ' 6 =2:

Боковые прямолинейные границы криволинейного четырехугольника S2 определяются p p

углами ' = arctg(1= 3) = =6 и ' = arctg 3 = =3: Площадь фигуры S2 в полярных координатах теперь найдем как

S2 = ZZ	dxdy = ZZ		=3		10 cos	'	=3			t 4; 71:
			rdrd' = Z	d'	6 cosZ '	rdr = 18 Z		cos2 'd' = 2
								3
S2		S2	=6				=6
Ответ: S1 = 288;		S2 = 23 t 4; 71:

0.12Вычисление тройных интегралов

Вычислить тройные интегралы в указанных областях:

12.1. I1 = RRR 8y2zexyzdxdydz; V1 : x = 2; y = 1; z = 2; x = 0; y = 0; z = 0:

V1
RRR		dxdydz							; V2	: x=8 + y=3 + z=5 = 1; x = 0; y = 0; z = 0:
		8		3		5		6
12.2. I2 =		x		y		z
V1	1 +		+		+

Решение:

12.1. Область интегрирования V1 представляет собой, очевидно, прямоугольный параллелепипед V1 : (0 6 x 6 2; 1 6 y 6 0; 0 6 z 6 2): Иными словами, область интегрирования есть декартово произведение трех множеств допустимых значений x; y; z : V1 : [0; 2] [ 1; 0] [0; 2]: Расстановка пределов интегрирования для такой области и само интегрирование не представляют затруднений, однако важно выбрать рациональный порядок интегрирования. В данном случае, удобнее всего вначале проинтегрировать по абсциссе x :

2	2	e xyzdx = 8y2z	e yz	0	= 8y2z			yz		= 8y(1 e 2yz):
Z	8y2ze xyzdx = 8y2z Z								1
0	0		xyz	2		e		2yz

13

Далее целесообразно проинтегрировать по аппликате z :

2

e 2yz

2

8y(1

e

2yz)dy = 8y

z

0

= 8y

2

e 4y 1

= 4

4y

1 + e

4y

:

Z

2y

2y

0

Наконец, интегрируем по ординате y :

0

0

Z 4 4y 1 + e 2y dy = 4 2y2 y + e 4

1 == 4 2 1 +

1 4e4 = e4 13 t 41; 60:

4y

1

Объединим всю цепочку интегрирования:

I1 =

8y2ze xyzdxdydz =

0

2

dz

2

0

dy

2

1 e 2yz

dz =

dy

R

R

8y2ze xyzdz =

8y

RRR

R

0

R

R

V1

1

0

0

1

0

= R 4 4y 1 + e 2y dy = e4 13 t 41; 60:

1

12.2. Область интегрирования V2 представляет собой тетраэдр, основание которого S2 в плоскости xOy есть треугольник, ограниченный осями координат и прямой x=8+y=3 = 1 (рис. 9).

y
3
1
0	1	8	x
Рис. 9. Основание области интегрирования V2:

В данном случае все координаты равноправны, поэтому порядок интегрирования значения не имеет. Выберем интегрирование последовательно по z; по y; по x: Определим пределы интегрирования. Аппликата z изменяется от 0 (т.е. от плоскости xOy) до плоскости z = 5(1 x=8 y=3): Ордината y изменяется от 0 до прямой y = 3(1 x=8) (рис. 9). Наконец, абсцисса x изменяется от 0 до 8: В силу сказанного,

I2 = ZZZ

1 + x

+ y

+ z 6

8

dx

3(1 x8 )

5(1 x8 y3 )

1 + x

+ y

+ z 6 :

= Z

Z

dy

Z

dxdydz

dxdydz

V1

0

0

0

8

3

5

8

3

5

Вычислим интегралы последовательно. Интегрируем по z :

5(1

Z

0

x8 y3 )			dz				=		1			5				1				5(1 x8 y3 )
		x y z				6			5						x y z				5
														1 +
		1 +	+	+											8	+	+
		8	3	5												3	5			0

= 25		+ 1 + x8 + y3			5
					:
	1		1

14

Интегрируем по y :

3(1 x8 )

Z

0

	1		1			5	!dy =	y 3(1 x8 )					1						1						(1 x8 )
		+							0						3											=
	32		1 + x8	+ y3				32					4						1 + x		+ y 4				0
																			8		3
																							1
											3	1			1		x		+	1							:
																							1 + x
											4	8					8		24							4 !
																									8

Интегрируем по x :

4			0	8			1	8			dx +				8		8	1 + x8		4	1 = 4		08 4 +			16 8 +		3 8		1 + x8	8		1 = 1:
				8 Z										16 Z		dx Z															3 0
3				1				x						1				dx			3		1			1		1		1
						0									0		0
			@																		A		@									A
											4
			Ответ: I1 = e										13		41; 60;		I2 = 1:

0.13Вычисление объемов тел

Вычислить объемы тел, заданных ограничивающими поверхностями:
13.1. V1 : x2 + y2 = 50;	x = p		; x = 0;	z = 0; z = 3y=7:
		5y
13.2. 4V2 : x2 + y2 = 5y;	x2 + y2 = 8y; z =				x2 + y2	; z = 0:
У к а з а н и е. Вычисление объема тела в				задании 13.2 проводить в цилиндрической
				p

системе координат.

Решение: 13.1. Тело V1 представляет собой цилиндр, основание которого S1 в плос-

кости xOy есть криволинейный треугольник (рис. 10), ограниченный дугой окружности p

x2 + y2 = 50; осью Oy и параболой x = 5y (или, что то же, y = x2=5). В представляющем для нас интерес I-ом квадранте дуга окружности и парабола пересекаются в точке (5; 5): Этот цилиндр ограничен снизу плоскостью z = 0; сверху плоскостью z = 6y=11:

y

5

1
0 1	5	x

Рис. 10. Основание S1 тела вычисляемого объема V1:

Определим пределы интегрирования. Аппликата z изменяется от 0 (т.е. от плоскости

xOy) до плоскости z = 3y=7: Ордината y изменяется от линии y = x2=5 до линии y = p

50 x2 (рис. 9). Наконец, абсцисса x изменяется от 0 до 5: В силу сказанного,

									p																p
															6y=11											50			x2
V1 =				dxdydz =		5 dx					2							3	5 dxy2
	ZZZ									50 x ydy					dz =														=
						Z			2Z						2Z			7	Z	2					2
		V1				0			x =5						x =5				0					x			=5
	5						4																				5
	3											3				1				1
					2		x											3					5
=			Z	50 x					dx =						50x		x		+			x		0				= 50:
		14					25						14			3				125
	0

15

13.2. Тело V2 представляет собой внутренность, заключенную между двумя круговыми цилиндрами, оси которых параллельны оси Oz; а их основания в плоскости xOy представляют собой касающиеся в точке (0; 0) окружности, соответственно, x2 + (y 5=2)2 = (5=2)2 и x2 + (y 4)2 = 42 (рис. 11). Эта внутренность между двумя цилиндрами снизу

p

ограничена плоскостью z = 0; сверху - конической поверхностью z = x2 + y2: Для вычисления объема тела

V2 = ZZ	dxdydz = ZZ rdrd'dz
V2	V2

перейдем из декартовой в цилиндрическую систему координат: (x; y; z) ! (r; '; z): Формулы перехода: x = r cos '; y = r sin '; dxdydz = rdrd'dz: Данные в условии задачи круговые цилиндры могут быть представлены в виде: r = 5 sin ' и r = 8 sin ' для любого z > 0 и 0 6 ' 6 :

				y
				8
				5
				1
				0	1	x
Рис.	11.	Основание	S2	тела	вычисляемого		объема	V2

Определим пределы интегрирования. Аппликата z изменяется от 0 (т.е. от плоскости

p

xOy) до конической поверхности z = x2 + y2 = r: Полярный радиус принимает значения от r = 5 sin ' до r = 8 sin ': Наконец, полярный угол ' изменяется от 0 до : В силу сказанного,

V2

=

rdrd'dz =

d'

8 sin 'rdr

r r2dr =

d'r3

8 sin '

=

1

(83

53)

sin3

'd' =

ZZ

Z

Z

Z

Z

3

3

Z

V2

0

5 sin '

0

0

5 sin '

1

[Замена переменной tj+11 = cos 'j0 ; dt = sin 'd'] = 129 R (1 t2)dt = 129 43 = 172:

1

Ответ: V1 = 50; V2 = 172:

0.14Вычисление криволинейных интегралов

Вычислить данные криволинейные интегралы:

14.1. I1	=	(x2 + y)dx + (x + y2)dy; где LACB ломаная
ACB; A(2; 0);	LACB
	C(5; 0);	RB(5; 3):

14.2. I2 = H (x y)dl , где L окружность x2 + y2 = 2x:

L

16

Решение: 14.1. Изобразим для наглядности путь интегрирования на плоскости xOy

(рис. 12). В силу аддитивности интеграла
I1 =	Z	(x2 + y)dx + (x + y2)dy = Z	(x2 + y)dx + (x + y2)dy + Z	(x2 + y)dx + (x + y2)dy:
	LACB	LAC	LCB

Остается вычислить значения криволинейных интегралов на прямолинейных участках

AC и CB:

y
3
1
0	1	5 x
Рис. 12. Контур		интегрирования	LACB

На участке AC абсцисса x изменяется от 2 до 5; ордината y = 0; соответственно, dy = 0: Поэтому

	5		x3	5
Z	(x2 + y)dx + (x + y2)dy = Z	x2dx =		0 = 39:
			3
LAC	2

На участке CB ордината y изменяется от 0 до 3; абсцисса x = 5; соответственно, dx = 0: Поэтому

			3			3
	Z	(x2 + y)dx + (x + y2)dy = Z (5 + y2)dy =		5y +	y3	0 = 24:
					3
	LCB		0
В итоге, I1	=	(x2	+ y)dx + (x + y2)dy = 39 + 24 = 63:
	R

LACB

14.2. Как и в предыдущем пример, изобразим для наглядности путь интегрирования на плоскости xOy (рис. 13), который представляет собой окружность (x 1)2 + y2 = 1 с центром в точке (1; 0) и радиусом R = 1: Переходя к параметрической записи, для точек (x; y) на окружности имеем: x = 1 + cos '; y = sin '; 0 6 ' 6 2 : Элемент

pp

пути интегрирования dl = dx2 + dy2 = ( sin 'd')2 + (cos 'd')2 = d': Вычисление криволинейного интеграла теперь не представляет затруднений:

2

IZ

I2 = (x y)dl = (1 + cos ' sin ')d' = (' + sin ' + cos ')j10 = 2 :

L0

y
1
0	1	2	x
Рис. 13. Контур		интегрирования L
	17

Ответ: I1 = 63; I2 = 2 :

0.15Приложения криволинейных интегралов

Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N :

	y2)i + (x2	2	2
F = (x2		+ y2)j; L : x9	+ y4 = 1 (y > 0); M(3; 0); N( 3; 0):

Решение: Контур, на котором сила F совершает работу, представляет собой верхнюю дугу эллипса с полуосями a = 3; b = 2 (рис. 14), обходимого против часовой стрелки. Для нахождения работы силы A требуется вычислить криволинейный интеграл по ориентированному контуру L :

Z

A = Fdl;

L

где dl элемент контура интегрирования в направлении обхода. Величина Fdl представляет собой скалярное произведение векторов F и dl.

y

2

1

		3				1 0
							1		3 x

Рис. 14. Контур L работы силы F

В данном случае удобно перейти в полярную систему координат: (x; y) ! (r; '): Координаты (x; y) точек дуги эллипса можно найти как x = a cos ' = 3 cos '; y = b sin ' = 2sin' (0 6 ' 6 ): Элемент контура интегрирования dl может быть задан в виде: dl = dxi + dyj; где dx = 3 sin 'd' и dy = 2 cos 'd': Поэтому

Fdl = [(x2 y2)i + (x2 y2)j] [dxi + dyj] = (x2 y2)dx + (x2 + y2)dy =

=((3 cos ')2 (2 sin ')2) ( 3) sin 'd' + ((3 cos ')2 + (2 sin ')2) 2 cos 'd' =

=( 27 cos2 ' sin ' + 12 sin3 ' + 18 cos3 ' + 8 sin2 ' cos ')d':

Само интегрирование сложностей не представляет:

A = R Fdl = R (x2 y2)dx + (x2 + y2)dy =

						L	L
	= R0	( 27 cos	2	' sin	' + 12 sin3 ' + 18 cos3 ' + 8 sin2 ' cos ')d' =
= 27 R0	cos2 ' sin 'd' + 12 R0					sin3 'd' + 182R0		cos3 '4+ 8 R0	sin2 ' cos 'd' =
						= 27	3 + 12 3 + 18 0 + 8 0 = 2:

Ответ: Работа силы A = 2:

18

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ-1. Основные свойства функции нескольких переменных

Найти область определения D функции двух переменных и изобразить ее на плоскости (xOy): Охарактеризовать множество D:

p

1:

f(x; y) = x2 + y2 4 + lg(9 x2 y2);

2:

f(x; y) = p

;

x sin y

3:

f(x; y) = arccos

y

;

4: f(x; y) = p

x + 2

+ p

+ p

x 2

y 4

x + y 6;

ln(xy)

5: f(x; y) =

p

;

1 x y

6:

f(x; y) = arcsin(2x + 2xy2 1);

7:

f(x; y) = ln(1 (x y)2) + p

x + 2;

8:

f(x; y) = lg(x sin 2y);

9:

f(x; y) = ln(x2 + y2x 4) + p

;

9 x2 y2

10:

f(x; y) = arcsin

;

y 2

11: f(x; y) = py 2 + lg(x 4) + px + y 6;

12: f(x; y) = px ln cos y2 ; pxy

13: f(x; y) = ln(1 x y);

14: f(x; y) = px sin 3y;

pxy

15: f(x; y) = p2 x y ; 16: f(x; y) = rxy + arcsin x;

17: f(x; y) = px 2 + py 3 + px + y 6;

18:	f(x; y) = arcsin					y	1	;
						x
19:	f(x; y) =	ln(25 x2 y2)								;
20:	f(x; y) = pp
				x2 + y2 4
			y		cos x;

19

21: f(x; y) = arcsin x +y 2;

p

22: f(x; y) = lg(16 x2 y2) + x2 + y2 1;

23: f(x; y) = p

+ ln

x 1

;

x

y + 1

xy

24: f(x; y) = p9 x2 y2 +

;

y x2

25: f(x; y) = arcsin

x y

+

p1

:

2

p

x 1

ИДЗ-2. Вычисление пределов для функции нескольких переменных

Вычислить данный двойной предел функции нескольких переменных (если он существует), а также оба повторных предела. Сравнить полученные значения между собой.

1: lim(x2 + y2) sin 1 :

x!0 xy y!0

3: lim sin xy :

x!0 x y!2

5:

lim

x

:

x+y

x!0

y!0

x+y

7:

lim

:

x!0

x y

y!0

x2+y2

9:

lim

:

x!0

jxj+jyj

y!0

xy

11:

lim

1

tg

:

xy

1+xy

x!0

y!1

13:

lim logx(x + y):

x!1

y!0

2

15:

lim

y2

+2x

:

x!0

y

2x

y!0

17:

lim(x + y) sin

1

sin 1

:

x!0

x

y

y!0

x+y

19:

lim

:

2

xy+y

2

x!1 x

y!1

ln(x+ey)

21:

lim

:

x!1

px2+y2

y!0

x2

y!1

xy

x2

23:

lim

2

+y

2

:

x!1

x

25:

y!a

:

lim

1 +

1

x+y

x!1

x

	2:	lim			x	+y			:
				2		2
		x!1 x +y
		y!1			1 + y						x :
	4:	lim
		x!1						x
		y!k
	6:	lim	2				2
			x2 y2 :
		x!0	x +y
		y!0
	8:	lim		x			:
			x+y
		x!0
		y!0			xy
	10:	lim	p								:
					1+xy 1
		x!0

y!0

x2 y2

12: lim 2 :

x!2 x +2x xy 2y y!2

14: lim	xy	:
	y
x!1	1+x
y!0+0

x2y2

16: lim x2y2+(x y)2 :

x!0 y!0

2xy

18: lim x2+y2 :

x!0 y!0

x2+y2

20: lim x4+y4 :

x!1 y!1

22: lim (x2 + y2)e (x+y):

x!1 y!1

24: lim(x2 + y2)x2y2 :

x!0 y!0

ИДЗ-3. Исследование функции нескольких переменных на непрерывность

Исследовать функцию нескольких переменных на непрерывность. Если функция претерпевает разрыв, исследовать тип точек разрыва.

20