функции многих переменных идз

p

12b: x2 + y2 = 8 2x; z = x2 + y2 64;

z = 0(z > 0):

11b: x2 + y2 = 7x; x2

p

z = x2 + y2; z = 0 y = 0(y 6 0):

10b: x2 + y2 = 7x; x2

p

z = x2 + y2; z = 0 y = 0(y 6 0):

p

6b: x2 + y2 = 8 2x; z = x2 + y2 64;

z = 0(z > 0):

7b: x2 + y2 = 2y; z = 94 ; z = 0:

8b: x2 + y2 = 2y; x2

p

z = x2 + y2; z = 0:

p

9b: x2 + y2 + 2 2y; z = x2 + y2 4;

z = 0(z > 0):

2b: x2 + y2 = y; x2 + y2

p

z = x2 + y2; z = 0:

ИДЗ-13. Вычисление объемов тел

Вычислить объемы тел, заданных ограничивающими поверхностями.

1a: y = 16p

2x; y = p

1b: x2 + y2 = 2y;

2x;

z = 0; x + z = 2:

z = 5=4 x2; z = 0:

2a: y = 5p

x; y = 5x=3;

z = 0; z = 5 + 5p

x=3:

3a: x2 + y2 = 2; y = p

3b: x2 + y2 = 8p

x;

2

x; y = 0;

z = 0; z = 15x:

z = x2 + y2 64;

z = 0(z > 0):

4a: x + y = 2; y = p

4b: x2 + y2 + 4x = 0;

x;

z = 12y; z = 0:

z = 8 y2; z = 0:

5a: x = 20p

2y; x = 5p

5b: x2 + y2 = 6x; x2

2y;

z = x2 + y2; z = 0

z = 0; y + z = 1=2:

0(y

6

0):

y = p

p

6a: y = 5 x=2; x = 5y=6; z = 0; z = 5 + 5=6(3 + py):

7a: x2 + y2 = 2; x = py; x = 0; z = 0; z = 30y:

8a: x + y = 2; x = py; z = 12x=2; z = 0:

p p

9a: y = 17 2x; y = 2 2x; z = 0; x + z = 1=2:

p

10a: x2 + y2 = 8; y = 2x; y = 0; z = 0; z = 15x=11:

p

11a: x2 + y2 = 8; y = 2x; y = 0; z = 0; z = 15x=11:

p

12a: x + y = 4; y = 2x; z = y; z = 0:

= 4y;

+ y2 = 9x;

+y2 = 5y;

+y2 = 10x;

+y2 = 10x;

31

13a:

y = 65 p

5

y;

x; x =

18

z = 0; z =

5

(3 + p

):

y

18

14a:

x = 19p

2y; x = 4p

2y;

z = 0;

y + z = 2:

15a:	x2 + y2 = 8; x = p
			2y; x = 0;
z = 0; z = 30y=11:
16a:	x + y = 4; y = p
		2y;

z = 3x=5; z = 0:

17a:

y = 6p

2x; y = p

3x;

z = 0; x + z = 3:

18a:

y = 65 p

5

x;

x; x =

18

z = 0; z =

5

(3 + p

):

y

18

19a:	x2 + y2 = 18; y = p
				3x; y = 0;
z = 0; z = 15x=11:
20a:	x + y = 6; y = p
		3x;
z = 4y; z = 0:

21a:	p							p
	x = 7 3y;					x = 2 3y;
z = 0;	y + z = 3:
22a: y = 5p
		x=3; x = 5y=9;
z = 0;	z = 5(3 + p							)=9:
							y

23a:	x2 + y2 = 18;	x = p
					3y; x = 0;
z = 0; z = 10y=11:
24a:	x + y = 6; x = p
			3y;

z = 4x=5;		z = 0:
		p				p
25a:	y =		15x; y =					15;x
z = 0;	z = p			15(1 + p			):
						x

13b: x2 + y2 = 2y; z = 134 x2; z = 0:

14b:	x2 + y2 = 3y; x2 + y2 = 6y;
z = p			; z = 0:
		x2 + y2
15b:	x2 + y2 = 6p				x;
				2

z= x2 + y2 36;

z= 0(z > 0):

16b: x2 + y2 = 2p		y; x2 + y2 = 9x;
	2
z = x2 + y2 4; z = 0(z > 0):
17b: x2 + y2 = 4x;		x2 + y2 = 10x;
z = 12 y2; z = 0:
18b: x2 + y2 = 8x;		x2 + y2 = 11x;

y = p		6
z = x2			+ y2; z = 0
0(y				0):

p

19b: x2 + y2 = 4 2x;

z= x2 + y2 16;

z= 0(z > 0):

20b: x2 + y2 = 4y; z = 4 x2; z = 0:

21b:	x2 + y2 = 4y; x2 + y2 = 7y;
z = p			; z = 0:
		x2 + y2
22b:	x2 + y2 = 4p				y;
				2

z= x2 + y2 16;

z= 0(z > 0):

23b: x2 + y2 + 2x = 0; z = 17=4 y2; z = 0:

24b: x2 + y2 = 9x; x2 + y2 = 12x;

y = p		6
z = x2			+ y2; z = 0
0(y				0):

p

25b: x2 + y2 + 2 2x;

z= x2 + y2 4;

z= 0(z > 0):

32

ИДЗ-14. Вычисление криволинейных интегралов

Вычислить данные криволинейные интегралы.

1. R (x2 2xy)dx+(y2 2xy)dy; где LAB дуга параболы y = x2 от точки A( 1; 1)

LAB

доpточки B(1; 1):

p

R

2 z2(2z x2 + y2)dl; где L дуга кривой x = t cos t; y = t sin t; z = t; 0 6 t 6 2 :

L

p

H3y2 + z2dl; где L окружность x2 + y2 + z2 = a2; x = y:

L

2.	Z	x2dy y2dx;							L	x = 2 cos3 t; y = 2 sin3 t
		p3		+ 3				где	AB дуга астроиды		от точки
			x5		y5
A(2; 0)	LAB	(0; 2):
	до точки Bp

H (x2 + y2)dl; где L окружность x2 + y2 = 4:

L

R xyzdl; где L четверть окружности x2 + y2 + z2 = R2; x2 + y2 = R2=4; лежащая в

L

первом октанте.

3.(x2 + y2)dx + 2xydy; где LOA дуга кубической параболы y = x3 от точки

LOA

O(0; 0) до точки A(1; 1):

Z

dl

; где LOB отрезок прямой,соединяющий точки O(0; 0) и B(2; 2):

8

x2

y2

p

y

LOB

Z

arctg

dl; где L часть дуги спирали Архимеда = 2'; заключенная внутри круга

x

L

радиусом R с центром в полюсе.

4.

(x + 2y)dx + (x y)dy; где L окружность x = 2 cos t; y = 2 sin t при положи-

L

тельномH

направление обхода.

R

2

2

2

(4p3 x

3py)dl; где LAB отрезок прямой AB :

A(

1; 0); B(0; 1):

AB

R

+ y

+ z )dl; где L дуга кривой x = a cos t;

y = a sin t; z = bt; 0 6 t 6 2 :

(x

L

5.

(x2y x)dx + (y2x 2y)dy; где L дуга эллипса x = 3 cos t; y = 2 sin t в

L

направлении обхода.

положительномH

R

dl

2

2

p5(x

y) ;

L

где L отрезок прямой AB : A(0; 4); B(4; 0):

Rt sin t; z p=

t:

+ y dl; где L первый виток конической винтовой линии x = t cos t; y =

(2z

x

L

H

6.

(xy 1)dx + x2y)dy; где LAB дуга эллипса x = cos t; y = 2 sin t от точки

LAB

A(1; 0) до точки B(0; 2):

R (x

y

+ z)dl; где L дуга кривой x = t; y = (3=p2)t2

; z = t3

; 0 6 t 6 1:

pX2+Y

2 dl;

где

L дуга кардиоиды = 2(1 + cos ');

0

6 t 6 =2:

L

R

L

33

; где LOB отрезок прямой,соединяющий точки O(0; 0) и B(1; 2):

	R	3		3	O(0; 0); B(2; 0); A(2; 1):
	7.	2xydx x2dy; где LOBA ломаная OBA :
R	LOBA
	ydl; где L дуга астроиды x = t cos		t; y = t sin		t; заключенная между точками

LAB

A(1; 0); B(0; 1):

p

H3y2 + z2dl; где L окружность x2 + y2 + z2 = a2; x = y:

L

8.		(x2 y2)dx + xydy; где LAB отрезок прямой AB : A(1; 1); B(3; 4):
LAB
LR0B ydl;	R	где L дуга параболы y2 = 32 x;заключенная между точками

p p

O(0; 0); B( 35=6; 35=3):

p

R x x2 y2dl; где L кривая (x2 + y2)2 = a2(x2 y2); x > 0:

L

R

9.cos ydx sinxdy; где LAB отрезок прямой AB : A(2 ; 2 ); B( 2 ; 2 ):

LAB

R (x2 + y2 + z2)dl; где L дуга кривой x = t cos t; y = t sin t; z = t; 0 6 t 6 2 :

L

R xydl; где L первая четверть эллипса x2=a2 + y2=b2 = 1:

L

10.			Z		ydx xdy ;		где	L	AB отрезок прямой	AB : A(1; 2); B(3; 6):
					x2 + y2
p			LAB							0 6 t 6 =2:
	2ydl; где L дуга кардиоиды = (1 + cos ');
L
R (x + y)dl; где L четверть окружности x2 + y2 + z2 = R2; x = y; лежащая в первом
L
октанте.
R
11.			LAB	xydx + (y x)dy; где LAB дуга кубической параболы y = x3 от точки
			R

A(0; 0) до точки B(1; 1):

R arctg xy dl; где L первая арка циклоиды x = 2 cos t; e = 2(1 cos t):

L

R LAB xdlz dl; где LAB отрезок прямой,z = x=2; y = 0; соединяющий точки A(0; 0

L

2); B(4; 0; 0):

12.R (x2 + y2)dx+ (x+ y2)dy; где LABC ломаная ABC : A(1; 2); B(3; 2); C(3; 5):

LAB

Z

dl

p

x2 + y2 + 4

LOBp

R

2ydl; где LAB первая арка циклоиды x = a(t sin t); y = a(1 cos t):

L

	13.		xy2dx + yz2dy x2zdz; где LOB отрезок прямой OB : O(0; 0; 0); B(2; 4; 5):
		LOB
		(y2 x2)xyR
			dl; где L дуга кривой = 9 sin 2'0 6 ' 6 =4:
		(x2+y2)2
L
R	(x y)dl; где L окружность x2 + y2 = ax:

H

L

R

14.ydx + xdy; где LOA дуга окружности = R cos t; y = R sin t; O(R; 0); A(0; R):

LOA

34

x2+y2

R p dl

LAB

LOABC

	R	dl
		xydl; где L контур прямоугольника с вершинами O(0; 0); A(4; 0); B(4; 2); C(0; 2):
LOABC
R						; где L первый виток винтовой линии x = a cos t; y = a sin t; z = bt:
	x2+y2+z2
L					R
A(1; 1):							xydx + (y x)dy; где LOA дуга параболы y = x2 от точки O(0; 0) до точки
		15.		LOA
	Rz2dl
							2	2
		(x + y)dl; где L контур треугольника с вершинами O(0; 0); A(1; 0); B(0; 1):
LOABC				p
R
				3y				+ z dl; где L первый виток винтовой линии x = a cos t; y = a sin t; z = at:
	x2+y2
L

R

16.xdx + ydy + (x y + 1)dz; где LAB отрезок прямой AB от точки A(1; 1; 1)

		LAB
до точки B(2; 3; 4):
Z	z	2dl
			где L первый виток спирали x = 2 cos t; y = 2 sin t; z = 2t:
	x2	+ y2

L

R y2dl; где L первая арка циклоиды x = 3(t sin t); y = 3(1 cos t):

L

17.(xy 1)dx + x2ydy; где LAB дуга параболы y2 = 4 x от точки A(1; 0) до

LOB

точки B(0; 2):

R

(x + y)dl; где L контур треугольника с вершинами O(0; 0); A( 1; 0); B(0; 1): ; где LAB отрезок прямой, соединяющий точки A(0; 2) и B(4; 0):

	18.		LAB		(x2 2xy)dx+ (y2 2xy)dy; где LAB дуга параболы y = x2 от точки O(0; 0)
			R
до точки B(1; 1):
L	(x + y)dl; где L дуга лемнискаты Бернулли 2 = cos 2'; =4 6 ' 6 =4:
R		dl		; где L первый виток винтовой линии x = 5 cos t; y = 5 sin t; z = t:
L		x2+y2+z2
R	19.		R		(xy y2)dx + xdy; где LOB дуга параболы y = x2 от точки A(0; 0) до точки
			LOB

B(1; 1):

p

Hx2 + y2)dl; где L окружность x2 + y2 = 2y:

L

R

ydl; где L контур треугольника с вершинами O(0; 0); A(4; 0); B(4; 0):

LOAB

R	xdx ydy; где LAB дуга астроиды y = 2 cos3 t; 2 sin3 t от точки A(2; 0) до
20.
LAB
точки B(0; 2):
R	где			контур	прямоугольника	с	вершинами
xydl;		LOABC

LOABC

O(0; 0); A(5; 0); B(5; 3); C(0; 3):

R x2dl; где L дуга верхней половины окружности x2 + y2 = a2:

L

21.(xy x)dx + 12 x2dy; где LAB дуга параболы y = 4x2 от точки A(0; 0) до

LAB

точки B(1; 2):

35

p

Hx2 + y2)dl; где L окружность x2 + y2 = 4x:

L

R (x2 + y2)dl; где L окружность x = 4cost; y = 4 sin t:

L

22. R (xy 1)dx + x2ydy; где LAB отрезок прямой AB : A(1; 0); B(0; 2):

R

p3

LAB

3

3

3

(4

x

3p

y

)dl; где L дуга астроиды x = cos

t; y = sin

t; между точками A(1; 0) и

LAB

B(o; 1):

R

ydl; где L дуга параболы y2 = 6x; отсеченная параболой x2 = 6y:

L

x = cos t; Ry = sin t;

z = 2t;

A(1:0:0); B(1; 0; 4 ):

одного витка

винтовой линии

23.

2xydx + y2dy + z2dz; где

LAB дуга

LAB

L

xydl; где L контур квадрата со сторонами x = 1; y = 1:

R

xdl; где L дуга параболы y = x2 от точки A(2; 4) до точки B(1; 1):

R

LAB

Z

y

24.

dx + xdy; где LAB дуга линии y = ln x от точки A(1; 0) до точки B(e; 1):

x

R

LAB

p

2

y = 1 cos t:

L

p2 z2(2z

x2

+ y2)dl; где L первая арка циклоиды x = t sin t;

R

(x + y)dl; где L первый виток лемнискаты = 7 cos 2':

L

25.

ydx xdy; где LAB дуга эллипса x = 3 cos t;

y = 2 sin t; "пробегаемая"в

L

направлении обхода.

положительномH

R

xydl;

где

LABCD

контур

прямоугольника

с

вершинами

LABCD

A(2; 0); B(4; 0); C(4; 3); D(2; 3):

R

y2dl; где L первая арка циклоиды x = 3(t sin t);

y = 3(1 cos t):

L

ИДЗ-15. Приложения криволинейных интегралов

Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N:

1: F = (x2 2y)i + (y2 2x)j;			2: F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j;
L : отрезокMN;			L : отрезокMN;
M( 4; 0); N(0; 2):			M( 4; 0); N(0; 2):
3: F = (x2 + 2y)i + (y2 + 2x)j;			4: F = (x + y)i + (2x)j;
L : 2	x2	= y;	L : x2 + y2 = 4(y > 0);
	8
M( 4; 0); N(0; 2):			M(2; 0); N( 2; 0):

36

5: F = x3i y3j;

L : x2 + y2 = 4(x > 0; y > 0); M(2; 0); N(0; 2):

7: F = x2yi yj; L :; отрезокMN;

M( 1; 0); N(0; 1):

9: F = (x + y)i + (x y)j;

L : x2 + y2 = 1(x > 0; y > 0);

9

M(1; 0); N(0; 3):

11: F = (x2 + y2)i + (x2 y2)j

x; 0 6 x 6 1; L : y = x2 + y2; 1 6 x 6 2; ;

M(2; 0); N(0; 0):

13: F = xyi + 2yj

L : x2 + y2 = 1; (x > 0; y > 0) M(1; 0); N(0; 1):

15: F = (x2 + y2)(i + 2j); L : x2 + y2 = R2(y > 0); M(R; 0); N( R; 0):

17: F = x2yi xy2j;

L : x2 + y2 = 4(x > 0; y > 0); M(2; 0); N(0; 2):

19: F = y2i x2j

L : x2 + y2 = 9(x > 0; y > 0); M(3; 0); N(0; 3):

21: F = (x2 + y2)i + y2j

L : отрезокMN;

M(2; 0); N(0; 2):

23: F = (y2 y)i + (2xy + y)j L : x2 + y2 = 9(y > 0);

M(3; 0); N(0; 3):

25: F = (xy y2)i + xj; L : y = x2;

M(0; 0); N(1; 2):

6: F = (x + y)i + (x y)j; L : y = x2;

M( 1; 1); N(1; 1):

8: F = (2xy y)i + (x2 + x)j; L : x2 + y2 = 9(y > 0);

M(3; 0); N( 3; 0):

10: F = yi xj

L : x2 + y2 = 9(y > 0); M(1; 0); N( 1; 0):

12:	F = yi xj
	L : x2 + y2					= 2(y > 0); ;
	p					p
	M( 2; 0); N( 2; 0):
14:	F = yi xj
	L : 2x2 + y2 = 1(y > 0);
	M p1				; 0 ; N p1					; 0 :
			2						2

16: F = (x + y x2 + y2)i + (y x x2 + y2)j;

2	+ y	2	=	1(y	>	0);
L : x			p			p

M(1; 0); N( 1; 0):

pp

18: F = (x + y x2 + y2)i + (y x2 + y2)j; L : x2 + y2 = 16(x > 0; y > 0);

M(4; 0); N(0; 4):

20: F = (x + y)2i (x2 + y2)j

L : отрезокMN;

M(1; 0); N(0; 1):

22: F = (x2j

L : x2 + y2 = 16(x > 0; y > 0); M(3; 0); N(0; 3):

24: F = xyi;

L : y = sin x;

M( ; 0); N(0; 0):

37