Учебник по теории чисел Ильиных АП

ПРИМЕР 3. Записать в виде десятичной дроби 56 .

56

50 0, 833

48

2

18

2

56 = 0, 833 . . .

Впервом примере после некоторой позиции все цифры дроби равны нулю, мы их опускаем; такую дробь назовем конечной десятичной дробью.

Во втором примере все цифры после запятой образованы группой из l цифр, которая повторяется до бесконечности. В данном случае l = 1. Такую дробь называем чистой периодической дробью, и группу из данных l цифр называем периодом данной дроби. При наименьшем l получим наименьший период дроби.

Втретьем случае цифры после запятой так же образованы бесконечно повторяющимя набором из l цифр — периодом, однако период начинается не с первой цифры после запятой. Цифры, не входящие в период, образуют пред-

период. В данном случае длина предпериода равна 1, а сам предпериод состоит

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

из цифры 8.

Рассмотрим еще несколько примеров.

1)α = 0, 1212

2)α = 0, 351212 . . .

3)α = 0, 234234234 . . .

Вслучае 1) имеется конечная дробь, в случае 2) — смешанная периодическая дробь с предпериодом, равным 35. Предпериод образуют цифры 35 вправо от запятой до первого периода 12.

Вслучае 3) имеется чистая периодическая дробь с наименьшим периодом 234. Цифры 234234 также образуют период, но не наименьший. Длина наименьшего периода равна 3.

Рассмотрим, при каких условиях возможны случаи 1)– 3).

ТЕОРЕМА 1 Пусть α = ab - несократимая дробь. Число α представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель b имеет вид b = 2k5l.

Доказательство. Пусть число α представлено в виде конечной дроби. rn . . . r0, q1 . . . qm, т.е.

a		= rn10n + · · · + r0 +	q1		+ · · · +	qm
b			10			10m

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

a b

= α =

(1)

Приведем правую часть к общему знаменателю. Получим

a

=

a1

, где a1 Z.

b

10m

a1

Если дробь

сократима, то сократим ее на НОД числителя и знаменателя.

m

a

10 a2

a

Получим

=

. Запись дроби

, где b > 0, в несократимом виде однознач-

b

k l

2 5

b

на, следовательно b = 2k5l

a

Обратно, пусть дано число

α =

, где b = 2k5l. Считаем, что k > l (случай

b

l > k аналогичен). Имеем α =

a

. Домножим числитель и знаменатель на

2k5l

5k−l – получим α =

a5k−l

a1

=

.

k

k

10

10

Изобразив a1 в системе счисления с основанием 10, имеем a1 = rl10l + · · ·+ r110 + r0 и запись

a1 = (rl . . . r1r0)10.

При делении на 10k запятая сдвинется на k цифр влево Получим

a

b = rl . . . rk, rk−1 . . . r0

конечная десятичная дробь. Теорема доказана.

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

ТЕОРЕМА 2 Число α = ab , где (a, b) = 1, представимо в виде чистой периодической дроби тогда и только тогда, когда (b, 10) = 1. При этом длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b.

Доказательство. Пусть дана дробь ab > 0, где (a, b) = 1 и знаменатель b

взаимно прост с 10. Можно считать, что 0 6 ab < 1, т.к. цифры до запятой не влияют на период.

Десятичиная дробь, соответствующая числу ab , получается в процессе деле-

ния «уголком». Опишем этот процесс. Можно считать a, b > 0. Так как ab < 1, то a < b. При первом делении a на b записываем 0 целых, умножаем число a на 10, делим 10a на b, полученный остаток r1 умножаем на 10, делим на b, получем остаток r2, снова умножаем на 10 и т.д. Получаем систему равенств

	10a	=	bq1 + r1
	10r1	=	bq2 + r2	(2)
	10r2	=	bq3 + r3

. . .

Вместо равенств запишем сравнения по модулю b.

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

10a	≡	r1	(mod b)
10r1 ≡ r2			(mod b)
10r2	≡	r3	(mod b)
	. . .
Отсюда, добавив еще сравнение 100a ≡ a (mod b), получаем
100a ≡ a			(mod b)
101a ≡ r1			(mod b)
102a ≡ r2			(mod b)
103a	≡	r3	(mod b)	(3)
	. . .
10la	≡	rl	(mod b)
	. . .

Пусть показатель числа 10 по модулю b равен l. Тогда 10l ≡ 1 (mod b). Рассмотрим в (3) сравнение 10la ≡ rl. Вместо этого сравнения имеем a ≡ rl

(mod b). Т.к. 0 < a, rl < b и a ≡ rl (mod b), то a = rl. Получили, что цифра rl повторяет первую цифру a.

Следующим сравнением будет 10l+1a ≡ rl+1, т.е. сравнение 10a ≡ rl+1 (mod p). Отсюда r2 ≡ rl+1 (mod p) и rl+1 = r2.

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

Группа цифр a, r1 . . . rl−1 неограниченно повторяется. Получаем, что

a

—

b

чистая периодическая дробь с периодом a, r1 . . . rl−1 длины l.

Установим, что l — длина наименьшего периода. Пусть α =

a

представлено

b

в виде десятичной дроби с периодом m < l, т.е.

α = 0, g1 . . . gm g1 . . . gm

. . . .

(4)

c

|

{z

} |

{z

{z

}m

} |1

m

m

m

Рассмотрим число , изображаемое цифрами g

, . . . , g , т.е.

Тогда

c = g1 · 10m−1 + · · · + 10 · gm−1 + gm.

c

c

c

α =

+

+

+ . . .

m

(10

m

)

2

(10

m

)

3

10

Число α представлено как сумма бесконечно убывающей геометрической про-

грессии с первым членом b1 =

c

и знаменателем q =

1

. Сумма такой

m

m

b1

10

10

прогрессии равна

. Поэтому

− q

1

c

c

α =

10m

=

.

1

m

− 1

10

1 −

10m

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

Тогда			a			c
	α =			=			и a · (10m − 1) = bc.
			b			10m − 1
Отсюда									.
							m
						a · (10		−	.	(5)
	a								1) . b.
По условию дробь		несократима, т.е. (a, b) = 1. Тогда
	b
			m			.		m
						.			≡ 1 (mod b)
		10			− 1 . b и		10

Получили сравнение 10m ≡ 1 (mod b), где m < l, противоречие, т.к. l – показатель числа 10 по модулю b. Поэтому периода, меньшего чем l, нет.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь третью возможность для вида десятичной дроби.

ТЕОРЕМА 3 Число α = ab , где (a, b) = 1, представимо в виде смешанной периодической дроби тогда и только тогда, когда

b = 2α5βb1, где 2α5β > 1, (b1, 10) = 1.

При этом длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b1, а длина предпериода равна max(α, β).

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

Доказательство. Пусть γ = max (α, β). Рассмотрим число

a1

=

10γa

.

(6)

b1

b

Тогда

2γ−α5γ−β

a1

=

.

(7)

b1

b1

При этом (a1, b1) = 1, т.е. дробь

a1

несократима. Ее знаменатель b1 взаим-

b1

a1

но прост с числом 10. По предыдущей теореме дробь

представима в виде

b1

a1

чистой периодической дроби

= p, p1p2 . . . pn, где n — длина наименьшего

b1

периода, равная показателю числа b1 по модулю 10.

Число p изображается групой цифр qm . . . q1q0. Тогда

a1

= qm . . . q1q0, p1p2 . . . pn.

b1

a

a1

Из (6) число

получается из

= qm . . . q1q0, p1p2 . . . pn делением на 10n. Для

b1

b

этого запятую в десятичной дроби qm . . . q1q0, p1p2 . . . pn нужно перенести на n цифр влево. Получим

a = qm . . . , qn−1 . . . q1q0(p1p2 . . . pn)

След ПредbСтр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

Здесь в скобках указан бесконечно повторяющийся наименьший период p1p2 . . . pn. После запятой расположен предпериод qn−1 . . . q1q0 длины n = max(α, β).

Теорема доказана.

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход

Список литературы

[1]Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М., 1972.

[2]Боревич З.И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

[3]Бухштаб. Теория чисел.М.: Учпедгиз, 1960.

[4]Виленкин Н.Я. Алгебра и теория чисел, ч.III. М.: Просвещение, 1974.

[5]Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972.

[6]Воробьев Н. Н. Признаки делимости. М.: Физматгиз, 1963.

[7]Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984.

[8]Воронин С. М. Простые числа. М.: Знание, 1978.

[9]Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука. 1983.

[10]Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М.: Просвещение, 1964.

[11]Девенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965.

[12]Живые числа: Пять экскурсий. В. Боро, Д. Цагир и др. М.: Мир, 1985.

След Пред Стр Начало Оглавление Обратно Меню Экран Выход