- •5. Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.
- •Основные действия над матрицами
- •Операционное исчисление
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •14. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •15. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
Операционное исчисление
Преобразование Лапласа
(f - оригинал; F - изображение).
Запись
Условия на оригинал
1.
2. f - кусочно-непрерывна на R.
3. такие, что
Линейность
Теорема подобия
Если то
Теорема запаздывания
Если то
Теорема смещения
Если то
Дифференцирование оригинала
Если - оригинал, то
Если - оригинал, то
Интегрирование оригинала
Если то
Дифференцирование изображения
Если то
Интегрирование изображения
Если - оригинал, то Изображение свертки (теорема умножения)
Если то
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1) эллипсоиды — эллипсоиды, — мнимые эллипсоиды; 2) гиперболоиды: — однополостные гиперболоиды, — двуполостные гиперболоиды; 3) параболоиды (p > 0, q > 0): — эллиптические параболоиды, — гиперболические параболоиды; 4) конусы второго порядка: — конусы, — мнимые конусы; 5) цилиндры второго порядка: — эллиптические цилиндры, — мнимые эллиптические цилиндры, — гиперболические цилиндры, — параболические цилиндры.
Приведение общих уравнений кривых к канон
Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка
, (11.5)
называется алгебраической линией второго порядка.
Для квадратичной формы можно задать матрицу
. (11.6)
Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:
1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);
2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).
Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.
Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:
(в предположении, что λ1,2 не равны 0).
Зададим последующий параллельный перенос формулами:
. Получим в новой координатной системе уравнение
. (11.7)
Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ1, λ2 и :
1) если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:
, где
(случаи и , имеющего знак, противоположный знаку λ1, λ2, будут рассмотрены в следующей лекции).
2) если λ1 и λ2 имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:
или , в зависимости от знака .
В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:
, (11.8)
являющимся каноническим уравнением параболы.
Производные и диффиринциал высших порядков