- •5. Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.
- •Основные действия над матрицами
- •Операционное исчисление
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •14. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •15. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
14. Векторное произведение векторов и его свойства.
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.
Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который:
Перпендикулярен векторам и.
Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и.
, где
Векторы,иобразуют правую тройку векторов.
Свойства:
15. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение записывают в виде: .
Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.
Свойства.
Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:
Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.
Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.
Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.
УРАВНЕИЕ плоскости
Общее уравнение плоскости.
Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)
Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна осиoz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.
Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.
Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскостиOxy.
Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскостиOxy.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:
;
;
Нормальное уравнение плоскости.
Углы
Угол между прямыми.
Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами
Требуется найти угол между прямыми:
Прямая L:
Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.
Тогда θ – угол между и.
Найдем , если
, т.к.
| |
|
. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.
Эллипсом называется
геометрическое место всех
точек плоскости, сумма
расстояний от которых до
до фокусов есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.
Т.к. MF1 + MF2 = 2a
Т.к.
То получаем
Или