Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме точки x₀), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1^∞ ; ∞⁰ ; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х₀

Различные уравнения прямой

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0            

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=;                                       (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.   

Теория

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x₀,y₀,z₀)параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x₀,y₀,z₀) иB(x₁,y₁,z₁) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точкуA(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

РАСТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ.Расстояние d от точки М₀ до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М₁(x₁;y₁;z­₁) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

Расстояние d от точки M₀(x₀,y₀,z₀)до прямой Аx+By+C=0 вычисляется по формуле:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений   в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть, . Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:   При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как . Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы,и— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

1. 

2. 

3.