- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 1 Глава 1. Введение
- •1.1. Задачи и методы сопротивления материалов
- •1.2. Реальный объект и расчётная схема
- •1.2.1. Модели материала
- •1.3. Классификация сил (модели нагружения)
- •1.4. Напряжения
- •1.5. Общие принципы расчёта на прочность
- •Глава 2. Центральное растяжение – сжатие прямого бруса
- •2.1. Усилия и напряжения в поперечном сечении бруса
- •2.2. Условие прочности
- •2.3. Деформации. Закон Гука
- •2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса
- •2.5. Статически неопределимые системы
- •2.5.1. Расчёт на действие нагрузки
- •2.5.2. Температурные напряжения
- •2.5.3. Монтажные напряжения
- •2.6. Механические характеристики материалов
- •2.6.1. Испытание на растяжение малоуглеродистой (мягкой) стали
- •Характеристики прочности
- •Характеристики пластичности
- •Разгрузка и повторное нагружение
- •Диаграммы напряжений
- •2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов
- •2.6.3. Определение твёрдости
- •2.6.4. Сравнение свойств различных материалов
- •2.7. Допускаемые напряжения
- •2.8. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 3. Напряжённое и деформированное
- •3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний
- •3.2. Линейное напряжённое состояние
- •3.3. Плоское напряжённое состояние
- •3.3.1. Прямая задача
- •3.3.2. Обратная задача
- •3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия
- •3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.
- •3.5.1. Обобщённый закон Гука
- •3.5.2. Относительная объёмная деформация
- •3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
- •3.7. Теории прочности
- •3.7.1. Задачи теорий прочности
- •3.7.2. Классические теории прочности
- •3.7.3. Понятие о новых теориях прочности
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •4.1. Статические моменты.
- •4.2. Моменты инерции
- •4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей
- •4.5. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Плоский изгиб прямого бруса
- •5.1. Конструкция опор. Определение реакций. Внутренние усилия
- •5.2. Дифференциальные и интегральные зависимости между q, q и m
- •5.3. Построение эпюр поперечной силы q и изгибающего момента m
- •5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе
- •5.5. Условие прочности по нормальным напряжениям. Рациональные формы сечений
- •5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •5.7. Распределение касательных напряжений в балках
- •5.8. Напряжённое состояние при поперечном изгибе.
- •5.9. Касательные напряжения в полках тонкостенных профилей. Центр изгиба
- •Нормальные напряжения:
- •5.10. Потенциальная энергия упругой деформации
- •Глава 6. Сдвиг
- •6.2. Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдвиге
- •6.3. Расчёт заклёпочных и сварных соединений
- •Глава 7. Кручение прямого бруса
- •7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
- •7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
- •7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость
- •7.4. Разрушение валов из различных материалов. Потенциальная энергия упругой деформации
- •7.5. Кручение стержней прямоугольного сечения
- •7.6. Расчёт цилиндрических винтовых пружин с малым шагом
- •Оглавление
5.7. Распределение касательных напряжений в балках
различных профилей. Условие прочности
Рассмотрим распределение касательных напряжений в некоторых наиболее часто встречающихся профилях. Из формулы (5.27) видно, что касательные напряжения изменяются по высоте сечения по тому же закону, как и величина SzOTC/by. В любом поперечном сечении в наиболее удалённых от нейтральной оси точках касательные напряжения равны нулю, т.к. F1 = 0.
Прямоугольное сечение. Проведем линию mn, параллельную нейтральной линии и удалённую от нее на произвольное расстояние y, и найдём τ в точках этой линии (рис.5.22). Линия mn отсекает площадь
.
Рис.5.22
Статический момент этой площади
.
Подставляя в формулу (5.27) найденное значение SzOTC, а также by = b и Jz = bh3/12, получаем . (5.28)
Переменная y входит во второй степени, следовательно, эпюра τ параболическая. В наиболее удалённых от нейтральной линии точках y = ± h/2 и τ = 0. Для точек нейтральной линии y = 0 и
. (5.29)
Формулу (5.29) можно записать также в виде (при k = 1,5)
. (5.30)
Круглое сечение (рис.5.23). Подобным образом для него получим
. (5.31)
Рис.5.23
Как видно, эпюра τ вновь получается параболической. Наибольшее касательное напряжение в точках нейтральной линии
. (5.32)
Двутавровое сечение. Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины при переходе от стенки к полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая величина. На рис 5.24 показан двутавр, обозначение размеров которого соответствует обозначению сортамента прокатных двутавров.
Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в нескольких характерных точках: а) в точке 1, лежащей на нейтральной линии; б) в месте сопряжения полки со стенкой (в точках 2 и 3), причем будем считать, что эти точки расположены бесконечно близко к границе полки, но лежат по разные стороны от нее; в) в крайних волокнах.
В точке 1 нейтральной линии касательное напряжение наибольшее
, (5.33)
где – наибольший статический момент отсечённой части (это статический момент полусечения). Для прокатного профиля эта величина, а также момент инерции Jz даются в сортаменте.
Рис.5.24
Для сварного двутавра из прямоугольных полос
, (5.34)
, (5.35)
, (5.36)
. (5.37)
В точке 2, принадлежащей стенке,
. (5.38)
В точке 3, принадлежащей полке,
. (5.39)
В крайних волокнах τ = 0, т.к. Sz = 0.
Построенная по точкам эпюра τв некотором смысле условна, т.к. дает верные значения только для точек стенки. Скачок в напряжениях при переходе от полки к стенке невозможен, на самом деле в этом месте имеется концентрация напряжений. Для уменьшения её в прокатных двутаврах углы закругляют. Материал стальных балок пластичный и при статической нагрузке концентрацию напряжений можно не учитывать.
Формула (5.27) и рассмотренные примеры позволяют сделать некоторые общие заключения о распределении касательных напряжений при поперечном изгибе:
1) вид эпюры τ зависит от формы поперечного сечения балки;
2) в крайних наиболее удалённых от нейтральной линии точках τ всегда равно нулю;
3) наибольшей величины касательные напряжения достигают на нейтральной линии сечения и подсчитываются по формуле (5.33); они также могут быть найдены по формуле (5.30)
,
где k = 1,5 для прямоугольника и k = 1,33 – для круга;
4) формулой Журавского можно пользоваться для вычисления τ в любых точках массивных профилей, а также в стенке тонкостенных прокатных профилей.
В точке, где касательное напряжение наибольшее, имеет место частный случай плоского напряжённого состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет вид
, (5.40)
где [τ] – допускаемое касательное напряжение при чистом сдвиге.