- •4.2. Определение критической силы методом Эйлера
- •4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня
- •4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений
- •4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению
- •4.6. Пример расчёта
- •4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней
- •Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях
- •5.1. Основные понятия. Механизм разрушения
- •5.2. Характеристики цикла. Виды циклов
- •5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости
- •5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность
- •5.4.1. Влияние концентрации напряжений
- •5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали (масштабный фактор)
- •5.4.3. Влияние состояния поверхности
- •5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле
- •5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле
- •5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии
- •Решение. Осевой и полярный моменты сопротивления
- •Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках
- •6.1. Общая характеристика динамических задач
- •6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза
- •6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью
- •6.4. Характеристики колебательных процессов
- •6.4.1. Число степеней свободы
- •6.4.2. Типы сил
- •6.4.3. Классификация колебаний
- •6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.5.1. Поперечные и продольные колебания
- •6.5.2. Крутильные колебания
- •6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
- •6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
- •6.7.1. Без учёта затухания
- •6.7.2. С учётом затухания
- •6.8. Критическая частота вращения вала
- •6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы
- •6.10. Расчёт на удар
- •6.10.1. Продольный и поперечный удар
- •6.10.2. Скручивающий удар
6.5.2. Крутильные колебания
Массивный диск закреплён на конце невесомого круглого стержня, происходят угловые перемещения диска (рис.6.9), поэтому эта задача отличается от задачи поперечных и продольных колебаний.
В этом случае удобно применить метод инерционной нагрузки (тот же метод д’Аламбера в иной форме): угол закручивания от силы инерции будет
, (г)
где – крутящий момент от силы инерции,
δ11– угол закручивания от действия статически приложенного единичного крутящего момента.
На площадку dFдействует элементарная сила инерции , (д) где S– перемещение площадкиdFпри повороте диска на уголφ;S = ρ ∙ φ,; dm– масса площадкиdF:(γ– объёмный вес). Итак . (е) |
Рис.6.9 |
Крутящий момент от элементарной силы инерции
. (ж)
Чтобы найти крутящий момент от силы инерции, надо подставить (е) в (ж) и проинтегрировать по площади
, т.к.– полярный момент инерции диска. Известно, что момент инерции массы маховика
. (6.19)
Таким образом
. (з)
Теперь, подставив (3) в (2), получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний
,
. (6.20)
Очевидно, что уравнение (6.20) идентично уравнению (6.8), но только частота собственных колебаний подсчитывается несколько иначе
, (6.21)
где
. (6.22)
Здесь G – модуль сдвига,– полярный момент инерции вала.Im– по формуле (6.19), причём.
6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы
Уточним приведенное в п.6.5.1 приближенное решение за счёт учёта внутреннего неупругого сопротивления. В произвольный момент времени на массу действуют кроме силы инерции и силы упругости
;(а)
и сила сопротивления (рис.6.10,а)
. (б)
а б
Рис.6.10
Уравнение статики
∑ υ = 0; F + R – I = 0. (в)
Подставив (а) и (б) в (в), получим
,
откуда
. (6.23)
Окончательно уравнение свободных колебаний с учётом затухания записывается в виде
, (6.24)
где – коэффициент гашения колебаний,
– квадрат частоты собственных незатухающих колебаний.
Известно решение уравнения (6.24)
, (6.25)
где
. (6.26)
График колебаний (рис.6.10,б), построенный по выражению (6.25), показывает, что собственные колебания быстро затухают. Формула (6.26) даёт значение частоты колебаний с учётом сил сопротивления. Величина n обычно мала по сравнению с ω (для стали, как правило, не превышает 0,2ω), поэтому можно считать, что ω = ω*.
Для того, чтобы оценить скорость затухания, найдём отношение двух отклонений массы, замеренных через один период Т(рис.6.10,б):
,
откуда
. (6.27)
Величина γ называется логарифмическим декрементом затухания.
Экспериментальное изучение колебаний упругих балок и других конструкций показало полное совпадение теории с экспериментом. Таким образом, частоту собственных колебаний можно определять без учёта затухания.
6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы
6.7.1. Без учёта затухания
Внешняя возмущающая сила чаще всего представляет периодическую (вибрационную) нагрузку, меняющуюся по гармоническому закону с частотой θ
P(t) = P0sin θt. (а)
Рассматривая упругую консольную балку (рис.6.11), заметим, что в произвольный момент времени на массу действует сила инерции , сила упругостии возмущающая силаP(t). Уравнение статики
∑υ = 0; F – P(t) – I = 0. (б)
Подставляем в (б) выражение для сил
.
Рис.6.11
После переноса P0sinθtв правую часть и деления наmполучаем дифференциальное уравнение
. (6.28)
Интеграл неоднородного дифференциального уравнения (6.28) записывается в виде суммы общего интеграла однородного уравнения (6.15) и частного интеграла, зависящего от вида правой части
. (6.29)
Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные (сопутствующие) колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Известно, что собственные колебания быстро затухают (см.рис.6.10,б), поэтому можно считать, что установившиеся вынужденные колебания описываются уравнением
υ = A1sinθt. (6.30)
Найдём производные
, . |
(6.31) |
Функцию (6.30) и её вторую производную (6.31) подставим в уравнение (6.28)
.
Теперь можно получить формулу для амплитуды вынужденных колебаний
,,.
Если учесть, что , то получим
. (6.32)
Так как – прогиб от статически приложенной наибольшей возмущающей силы, то выражение для амплитуды вынужденных колебаний запишем в виде
, (6.33)
где β– так называемый коэффициент нарастания колебаний.
. (6.34)
На рис.6.12 представлен график абсолютного значения β. Из этого графика видно, что когда частота вынужденных колебанийθприближается к частоте собственных колебанийω, коэффициент нарастания колебанийβи соответственно амплитуда колебанийА1стремятся к бесконечности. Это явление называется резонансом.
Рис.6.12