- •Краткий курс сопротивления материалов
- •Часть 2
- •Институт машиностроения, 2004 Глава 1. Перемещения балок при изгибе
- •1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •Итак, две величины υиθявляются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
- •1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1.3. Уравнение изогнутой оси по методу начальных параметров
- •1.4. Энергетические теоремы
- •1.5. Метод Мора
- •1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина
- •Глава 2. Статически неопределимые балки
- •2.1. Общие понятия
- •2.2. Расчёт методом сил
- •2.3. Многопролётные неразрезные балки
- •Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса
- •3.1. Общие понятия
- •3.2. Косой изгиб
- •3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)
- •3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)
- •3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
- •3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня
- •Глава 4. Устойчивость сжатых стержней
- •4.1. Основные понятия
Министерство образования Российской Федерации
____________________
Санкт-Петербургский институт машиностроения (ЛМЗ-ВТУЗ)
_______________________________________________________
Эйгенсон С.Н., Шевелёв Л.П., Корихин Н.В.
Краткий курс сопротивления материалов
Часть 2
Учебное пособие
Санкт-Петербург 2004
УДК 539.3.8
Эйгенсон С.Н., Корихин Н.В., Шевелёв Л.П. Краткий курс сопротивления материалов. Часть 2: Учеб. пособие – СПб.: Изд-во ПИМаш, 2004. – 112 с.
Написано по материалам лекций, много лет читаемых авторами в Институте машиностроения (заводе – ВТУЗе). В сжатой форме изложены минимально необходимые сведения, соответствующие программе машиностроительных вузов.
Во второй части пособия излагаются следующие разделы курса сопротивления материалов: перемещения балок при изгибе, статически неопределимые балки, сложное сопротивление, устойчивость сжатых стержней, усталость, динамические нагрузки.
Для студентов вузов машиностроительного профиля. Особенно рекомендуется студентам вечерней и заочной форм обучения.
Ил. – 95, табл. – 6, библиогр. – 7 назв.
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.В.Улитин (СПбГУНТ и ПТ)
д-р техн. наук, проф. И.А.Богов (ПИМаш)
Санкт-Петербургский
Институт машиностроения, 2004 Глава 1. Перемещения балок при изгибе
1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
Для того чтобы судить о работе балок, недостаточно знать только напряжения, возникающие в сечениях балки от заданной нагрузки.
Напряжения позволяют проверить прочность, однако прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жёсткости. Для проверки жёсткости балки необходимо научиться определять перемещения отдельных точек её оси.
а б
Рис.1.1
На рис.1.1,а показана балка, заделанная одним концом и нагруженная сосредоточенной силой. В результате изгиба ось становится криволинейной. Точка К перемещается в положение К′. Вертикальная составляющая этого перемещения – υmax, горизонтальная – umax, угол наклона касательной – θmax.
Следует отметить, что υ – это перемещение центра тяжести сечения вдоль оси у, а расстояние произвольной точки поперечного сечения от нейтральной оси z – это у (см. рис.1.1,б).
Подавляющее большинство балок, используемых в технике (валы турбин, электрических машин, мосты и пр.), очень жёсткие. Их наибольший прогиб υmax не должен превышать 1/400 1/1000 длины пролёта ℓ. При этом получается, что горизонтальное перемещение u меньше 1/100 1/10000 от υ, поэтому считаем, что u = 0.
При малых прогибах υ угол наклона касательной к оси θ можно определить с помощью выражения
θ . (1.1)
Итак, две величины υиθявляются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки.
Связь между кривизной изогнутой оси и изгибающим моментом была получена при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе – см. п.5.4, формула (5.17):
. (1.2)
Известно также из математического анализа уравнение кривизны плоской кривой
. (1.3)
Приравняв правые части формул (1.2) и (1.3), получим дифференциальное уравнение изогнутой оси. Учитывая отмеченную выше малость прогибов и углов наклона касательной, можно пренебречь квадратом первой производной в знаменателе по сравнению с единицей. Тогда получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси
. (1.4)
Рис. 1.2 |
Знак зависит от направления осей координат. Если ось 0υ направлена вверх, знаки кривизны и изгибающего момента совпадают (рис.1.2), поэтому в уравнении (1.4) берётся знак «+». Если ось 0υ направлена вниз, то знаки кривизны и изгибающего момента различны, поэтому в правой части уравнения (1.4) берётся знак «–». |
Впредь ось 0υбудем всегда направлять вверх; дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет следующий вид
. (1.5)
Уравнение (1.5) выведено для случая чистого изгиба (М = const, Q = 0), но используется и для случая поперечного изгиба (Q 0). Учитывая дифференциальные зависимости и(см. п. 5.2 первой части курса), отметим физический смысл функцииυ и её производных:
υ – прогиб в произвольном сечении балки;
–угол поворота произвольного сечения балки;
–изгибающий момент, делённый на жёсткость;
–поперечная сила, делённая на жёсткость;
–интенсивность распределённой нагрузки, делённая на жёсткость.