5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии

Известны многие попытки создания гипотез усталостного разрушения в сложном напряжённом состоянии. Все они сводятся к обобщению известных гипотез прочности и пластичности на случай цикличных напряжений. Для наиболее часто встречающегося на практике случая изгиба с кручением общепринятой является эмпирическая формула

, (5.27)

где n_R – коэффициент запаса усталостной прочности;

n_σ – коэффициент запаса по нормальным напряжениям, найденный по формуле (5.23) в предположении, что τ = 0;

n_τ – коэффициент запаса по касательным напряжениям, найденный по формуле (5.24) в предположении, что σ = 0.

Формулу (5.27) легко преобразовать в условие усталостной прочности

. (5.28)

Условие статической прочности может быть записано в соответствии с III-й теорией прочности в виде

. (5.29)

Ориентировочные значения величин допускаемого значения коэффициента запаса прочности [n] приведены в табл.5.3.

Таблица 5.3

Факторы, влияющие на запас прочности	[n]
Для расчёта на статическую прочность по пределу текучести Весьма пластичный материал σТ/σПЧ = 0,45  0,55 Пластичный материал σТ/σПЧ = 0,55  0,70 Малопластичный материал σТ/σПЧ = 0,70  0,90 Хрупкий материал	1,2  1,5 1,4  1,8 1,7  2,2 2,0  3,0
Продолжение табл.5.3
Для расчёта на усталостную прочность по пределу выносливости При повышенной точности расчёта, однородном материале, широком использовании экспериментальных данных, высоком качестве технологии При недостаточном объёме экспериментальных данных о нагрузках и характеристиках прочности, при ограниченном числе натурных усталостных испытаний, среднем уровне однородности материала, технологии производства и дефектоскопии При малом объёме и отсутствии экспериментальной информации о нагрузках и прочности, при невысоком уровне технологии производства, пониженной однородности материала (литые и сварные детали значительных размеров)	1,3  1,5 1,5  2,0 2,0  3,0

Пример. Проверить прочность вала с кольцевой выточкой, подвергающегося изгибу с кручением (рис.5.13).

Рис.5.13

Дано: D = 110 мм, d = 90 мм, радиус кольцевой выточки r = 10 мм; поверхность вала шлифованная. Материал – углеродистая сталь с характеристиками: σ_ПЧ = 50 кН/см²; σ_Т = 30 кН/см²; σ_-1 = 22 кН/см²; τ_ПЧ = 26 кН/см²; τ_Т = 16 кН/см²; τ_-1 = 12 кН/см². Действующие переменные со времени моменты равны:

Изгибающие M_max = 5 кН∙м; M_min = – 1 кН∙м;

Крутящие M_{к max} = 2 кН∙м; M_{к min} = – 0,5 кН∙м.

Решение. Осевой и полярный моменты сопротивления

W = 0,1 ∙ d³ = 0,1 ∙ 9³ = 72,9 см³;

W_p = 0,2 ∙ d³ = 2W = 145,8 см³.

Определяем максимальные и минимальные номинальные напряжения в опасном сечении вала:

;

;

;

.

Определяем среднее напряжение и амплитуду циклов

;

;

;.

Теоретические коэффициенты концентрации напряжений определяем по графикам, приведённым в справочнике И.А. Биргер, Б.Ф. Шор, Г.Б. Иосилевич «Расчёт на прочность деталей машин» - М.: Машиностроение, 1979.-702 с. Графики показаны на рис.5.14.

а б

Рис. 5.14

При инаходимα_σ = 2,0иα_τ = 1,58. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений определяем по формуле (5.15), принимая для среднеуглеродистой сталиq = 0,6:

K_σ = 1 + q (α_σ – 1) = 1 +0,6 (2,0 –1) = 1,6:

K_σ = 1 + q (α_τ – 1) = 1 +0,6 (1,58 –1) = 1,35.

Величину масштабного коэффициента находим по табл.5.1. Для d = 90 мм и σ_ПЧ = 50 кН/см²

K_dσ = K_dτ = 0,7.

Коэффициент качества поверхности находим по кривой 2 на рис.5.11:

K_F = 0,95.

Поверхностное упрочнение не применяется, поэтому

К_υ = 1,0.

Далее по формуле (5.19) подсчитываем коэффициент снижения предела выносливости детали:

при изгибе ;

при кручении .

Вычисляем коэффициент запаса. Материал вала в опасном сечении испытывает плоское напряжённое состояние. Поэтому сначала находим частичные коэффициенты запаса по формулам (5.23) и (5.24). Значения ψ_σ и ψ_τ принимаем по приведённым в п.5.6 рекомендациям: ψ_σ = 0,1; ψ_τ = 0,05.

;

.

Общий коэффициент запаса по усталостной прочности вычисляем по формуле (5.28)

.

Коэффициент запаса по статической прочности определяем по формуле (5.29)

.

Получим n_R < n, т.е. коэффициент запаса, равный 2,11, лимитируется усталостной прочностью. Если сравнить его с допускаемыми значениями, приведёнными в табл.5.3, то можно сделать вывод, что прочность вала обеспечена.

Заканчивая главу о прочности при циклических напряжениях, необходимо отметить следующее. Действующие нагрузки и напряжения, возникающие в деталях машин, в большинстве случаев представляют собой случайные функции времени, а характеристики сопротивления усталостности детали (срок службы, предел выносливости) – случайные величины, которым свойственно существенное рассеивание. Поэтому уточнённые методы расчёта усталостной прочности базируются на теории вероятности и математической статистике. Подробно изложены в книге С.В. Серенсена, В.П. Когаева и Р.М. Шнейдеровича «Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность»: Руководство и справочное пособие. – М.: Машиностроение, 1975.