III

I a jb Ie j i Ie j(180 arctg b/ a)

Ie j arctg b/ a ;

IV

I a jb Iej i

Iej(360 arctg b/ a) Ie j arctg b/ a .

Те же соотношения справедливы и для комплексного напряжения U ,

расположенного в различных квадрантах комплексной плоскости.

Таблица

2.2

Основные действия с комплексными числами применительно

к синусоидальным функциям времени

Графическое

№

Аналитическая запись комплексных чисел и

изображение

п/п

правила основных действий с ними

и формулы перехода

+j1

1

Показательная

A Ae j ;

B Be j

b2

В

форма A

иB

2

Алгебраическая

А a

jb ;

B a

2

jb

2

b1

А

форма A

иB

1

1

+1

*

, со-

*

jb

0

a2

a1

3

Число A

A Ae j a

пряженное A

1

1

Сложение

переход от показатель-

4

и вычитание

A B (a1

a2 ) j(b1

b2 )

ной к алгебраической

A и B

AB ABe j( )

форме записи

Умножение

или

5

(a1 jb1 )(a2 jb2 )

A на B

a1 A cos

AB

a1a2

jb1a2 jb2 a1

b1b2

b1 Asin

Умножение A

A

*

Ae j Ae j A2

на сопряженное

A

6

комплексное

A

*

(a

jb (a

jb )

A

число

*

1

1

1

1

A

a 2 b2

1

1

переход от алгебраичес-

A

Ae j

A

e

j( )

или

кой к показательной

B

Be

j

B

форме записи

Деление

A

a

jb

a

jb

2

2

1

1

A на B

B

a2

A

a2

b2

7

jb2 a2

jb2

1

1

a1a2 jb1a2 jb2 a1 b1b2

arctg b1

a22 b22

a1

36

Некоторые широко используемые формулы.

j1

1;

j 2 1;

e j90

j1;

e j180

1;

2.2.2. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость

а) Комплексное сопротивление Z есть отношение комплексного напряжения U к комплексному току I :

Z

U

Ue j u

U

e

j( )

ze

j

.

j

i

I

u i

I

Ie

Это показательная форма записи. Здесь z – полное

сопротивление цепи,

а угол сдвига фаз между напряжением и током.

Переходя к алгебраической форме записи Z через тригонометрическую, находим, что его вещественная часть zcos соответствует активному сопротивлению цепи R, а его мнимая часть zsin соответствует реактивному сопротив-

лению Х. Поэтому
Z	U	ze j z cos jz sin (R jХ) .	(2.29)
	I

Таким образом, комплексное сопротивление содержит в себе полное сопротивление цепи z, активное сопротивление R, реактивное сопротивление Х и угол сдвига фаз между напряжением и током.

б) Комплексная проводимость Y есть величина, обратная комплексному сопротивлению Z и равная отношению комплексного тока к комплексному напряжению:

Y	1		I		Ie j i				I	e j( i u ) ye j .
						j
	Z				Ue		u	U
		U
Это показательная форма записи. Здесь y – полная проводимость цепи, а
угол сдвига фаз между напряжением и током.
Аналогично находим, что ее вещественная часть ycos соответствует ак-

тивной проводимости цепи G, а ее мнимая часть					y sin реактивной проводи-
мости b. Поэтому
Y	I		1	ye j y cos jy sin	(G jb) .	(2.30)
			Z
	U

Таким образом, комплексная проводимость содержит в себе полную проводимость у, активную проводимость G, реактивную проводимость b и угол сдвига фаз между напряжением и током.

37

Заметим, что формулы (2.29) и (2.30) представляют собой закон Ома в комплексной форме записи для участка цепи с Z или Y .

Эти формулы имеют обобщенный характер и справедливы для комплексных сопротивлений и проводимостей, имеющих как активные, так и реактивные составляющие. Однако в теории цепей важно знать также комплексную форму записи чисто активных, чисто индуктивных и чисто емкостных сопротивлений, проводимостей и формулы закона Ома для цепей, содержащих такие сопротивления и проводимости. Все эти соотношения представлены в табл. 2.3

и 2.4.

Из табл. 2.4 вытекают следующие соответствия между мгновенными и

	комплексными значениями напряжений и токов:
	uR iR RI ;	uL L di	j LI ; uC	1		idt j	1	I	I	;
				C			C		j C
		dt
	iG Gu GU ;		iC Cdu/ dt j CU ;

где ( ) – принятый здесь знак соответствия.

Таблица 2.3

Активные, индуктивные, емкостные сопротивления и проводимости в комплексной форме записи

№			Физические	Комплексное со-	Комплексная
				противление Z	проводимость
п/п		Схемы цепей	свойства цепи					Y =1/Z
				Z ze j
		I	z = R		Y	R		1
								Z	R
1	U	R
			= 0	Z R R e j0 R		1	G
						R

I

L

z xL L

Z L xL e j90

Y L

1

Z L

2

U

90

jxL j L

1

1

j

jxL

L

I C

z x

C

1

Z C x L e

j 90

Y

С

1

Z

3

C

1

С

jx C j

1

U

90

C

j С

1

jx С

j C

38

*

I Ie j i

Таблица 2.4

Комплексная форма записи закона Ома для цепей с активным, индуктивным, емкостным сопротивлениями

№

Схемы цепей

Соотношение

Комплексная фор-

между u и i

ма записи

п/п

закона Ома

1

I

R

u i R

U Z R I RI

U

i u G

I

Y RU

GU

I

L

di

2

u L dt

U

Z L I j LI

U

i

1

udt

I Y LU

j

1

U

L

L

3

I

C

u

1

idt

U

Z C I j

1

I

C

U

C

i C

du

I Y CU

j CU

dt

2.2.3. Комплексная мощность

Комплексная мощность есть произведение комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток цепи:

*

S U I Se j .

Это показательная форма записи комплексной мощности. Здесь S – полная мощность цепи; угол сдвига фаз между напряжением и током;

комплексный ток, сопряженный заданному комплексному току, I Ie j i . Переходя от показательной к алгебраической форме записи находим, что ее вещественная часть Scos соответствует активной мощности цепи Р, а ее мнимая часть Ssin реактивной мощности цепи Q. Поэтому

S U	*	Se j S cos jS sin P jQ .
	I		(2.31)

Знак над комплексной мощностью носит название «тильда» и ставится вместо точки потому, что мощность не является синусоидой.

39

Таким образом, комплексная мощность цепи содержит в себе полную мощность S, активную мощность Р, реактивную мощность Q и угол сдвига фазмежду напряжением и током.

Заметим, что полная мощность S равна модулю комплексной мощности

S P 2 Q 2 В.А.

2.2.4. Законы Кирхгофа в комплексной форме записи

Законы Кирхгофа в комплексной форме записи и алгоритмы составления уравнений по этим законам выполняются.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю:

K
I k	0 ,	(2.32)

k 1

где К число ветвей подходящих к данному узлу цепи.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС контура равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех комплексных сопротивлениях этого контура:

Q	N
Eq In Z n ,		(2.33)
m	n 1

где Q – число источников ЭДС контура; N – число комплексных сопротивлений контура.

2.2.5. Аналогия с цепями постоянного тока

Сравнивая формулы закона Ома и законов Кирхгофа для цепей постоянного тока с соответствующими формулами для цепей синусоидального тока в комплексной форме записи, легко убеждаемся в том, что они формально тождественны (аналогичны) друг другу, хотя физические процессы в сравниваемых цепях различны. Таким образом, если в формулах для цепей постоянного тока заменить U, I, E, R и G на U , I, E, Z и Y , то получаем формулы, записанные в

комплексной форме. Это позволяет все методы расчетов цепей постоянного тока применять для расчетов комплексных токов, на основании которых находятся действующие и мгновенные значения искомых токов.

Расчет цепей комплексным методом рекомендуется вести в следующей последовательности:

1. Изображаем заданные синусоидальные напряжения и параметры реактивных элементов комплексными числами.

40

2. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем уравнения для определения комплексных токов (напряжений).

3.Определяем комплексные токи в ветвях в результате решения алгебраических уравнений п. 2. Основные алгебраические действия с комплексными числами, которые используются на этом этапе, приведены в приложении.

4.С учетом соответствия преобразуем найденные комплексные токи в ветвях в соответствующие мгновенные значения.

Пример 2.3. Определить мгновенные и действующие значения токов во всех ветвях цепи (рис. 2.13), у которой С = 200 мкФ, L = 10 мГн, R1 = R2 =10

Ом, u =12sin(314t + /6) . Решение. 1. Вычислим индуктивное и емкостное сопротивления, включенные в параллельно соединенные ветви:

X L L 314

10 10 3

3,14 Ом;

X C 1 C 10 6

(314 200 ) 15 ,92 Ом.

i	R1	R2
u		C
		L

Рис. 2.13

2. Изобразим синусоидальное входное напряжение и параметры реактивных элементов L и C комплексными числами:

U m U me j		12e j			jXL = j L = j314 10 10-3 = j3,14 Ом;
	6		6	;
-jXC =-j / C =					j		j15,92 Ом.
					314 200	10 6

Если начальная фаза u входного напряжения в условии задачи не задана, то ее рекомендуется взять равной нулю ( u = 0).

3. Используя закон Ома в комплексной форме, составим уравнение для определения комплексной амплитуды тока на входе цепи:

I m U m Z ,

где Z – комплексное сопротивление цепи, определяется по аналогичным правилам расчета полного сопротивления резистивной цепи постоянного тока:

Z R1

jX C (R2

jX L )

R1

X C X L

jX C R2

10

50 j159

19,6

j3,6.

R2 jX L

jX C

R2

j( X L

X C )

10

j12,76

4. Определим амплитуду и действующее значение комплексного тока на входе цепи:

41

12 e

j

12 e

j

0,6e j

0,6 cos 40

j sin 40

6

6

2 0,33

j0,28 ;

I m

4,5

19,6 j3,6

j

20 e

18

I 0,33 j0,28 0,43e j / 4,5 .

5.Запишем выражение для мгновенного значения синусоидального тока, исходя амплитуды комплексного тока:

i = Imsin (314t + i) = 0,6sin (314t+ /4,5 ) А.

Дальнейший расчет цепи комплексным методом ведем по правилам расчета цепей постоянного тока.

6. Комплексное действующее значение напряжения на резисторе R1:

U

R1

I

R

0,33 j0,28 10 3,3 j2,8 В.

1

7. Комплексное действующее значение напряжения на участке разветвле-

ния цепи:

U 23 I Z 23

0,33 j0,28 9,6 j3,6 4,18 j1,5 В.

8. Комплексное действующее значение токов в ветвях, соединенных па-

раллельно:

U

4,18 j1,5

I 2

Z

2

j15,92

0,094 j0,264 А;

U

(4,18 j1,5)

I3

Z

3

10

j3,14

0,42 j0,018 А.

9. Действующие и мгновенные значения токов в ветвях, соединенных па-

раллельно:

I 2

0,094 2 0,264 2

0,28 А;

i2

2 0,28 sin( 314 t arctg

0,264

)

0,094

0,395 sin( 314 t 0,531 )

А;

I3

0,422 0,0182

0,42 А; i3

2 0,42sin(314t arctg

0,42

)

0,018

0,594sin(314t 0,486 ) А.

10. Если рассчитанные комплексные токи и напряжения переместить на комплексную плоскость, то получим векторную диаграмму.

42

2.2.6. Баланс мощностей цепи синусоидального тока

Энергетический баланс любой цепи синусоидального тока заключается в том, что сумма комплексных мощностей источников энергии равна сумме комплексных мощностей приемников энергии:

K	*		M	*
Ek I k			U m I m ,		(2.34)
k 1			m 1

где К – число источников энергии, а М – число приемников энергии цепи.

В формуле (2.34) мощность каждого источника энергии

E

k

I* k

P

jQ

k

, а мощность каждого приемника U

m

I* m P

jQ

m

, поэтому

k

m

можно записать:

K

M

(Pk

jQk )

(Pm jQm )

(2.35, а)

k 1

m 1

	K	M	K
или	Pk Pm		и Qk
	k 1	m 1	k 1

	M
	Qm .	(2.35, б)

m 1

Таким образом, в любой цепи синусоидального тока сумма активных мощностей всех источников равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей всех источников равна сумме реактивных мощностей всех приемников.

Заметим, что баланс мощностей цепи синусоидального тока (как и баланс мощностей цепи постоянного тока) является, фактически, следствием закона сохранения энергии.

2.3.Резонансные явления

2.3.1.Резонанс в последовательной цепи из элементов R, L, C

(резонанс напряжений)

Резонансом в цепи, содержащей сопротивления индуктивности и емкости, называется такой режим, при котором ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе. Это обусловлено тем, что реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, следовательно, взаимно компенсироваться. Существуют резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Комплексное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и C (рис. 2.14, а), имеет вид

43

Z R j L

1

R j( L

1

) R jx ze j ,

j C

C

1

L

1

x L

,

z

R 2 x 2 ,

arctg

C

.

C

R

Резонанс имеет место, как указано выше, при φ = 0, что равносильно при последовательном соединении условию

	x L	1	0,
		C

a)	i	R	L

u

C

Рис. 2.14

т. е. L 1C .

б)

I

UR = IR = U

UL = I 0L	0	U	C	= 1/ C
				0

Резонанса можно достичь, изменяя или частоту приложенного к цепи напряжения, или индуктивности катушки или емкости конденсатора. При этом значения угловой частоты, при которой наступает резонанс, определяется формулой

	0		1	.
			LC

Частоту ω0 называют резонансной частотой. Если реактивные сопротивления xL xC при резонансе превосходят по величине активное сопротивление

	R, то напряжения на индуктивности UL = Iω0L и на емкости U C	I	могут
		0 C

превосходить напряжение на зажимах цепи (рис. 2.14, б). Поэтому такой резо-

нанс называют резонансом напряжений.

Отношение

Q UUC 0 UUL0

определяет кратность превышения напряжения на индуктивности и на емкости над напряжением на зажимах всей цепи. Величину Q, определяющую резонансные свойства контура, называют добротностью контура.

44

2.3.2 Резонанс в параллельной цепи из элементов R, L,C (резонанс токов)

Условием резонанса при параллельном соединении активного индуктивного и емкостного сопротивлений (рис. 2.15, а) является также отсутствие сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи.

Комплексная проводимость цепи имеет вид

Y g jb ye j ,

где y

g 2 b 2

g 2 (bL bC )2

1

1

,

arctg

b

L

b

C

.

C

R 2

L

g

Резонанс имеет место, как указано выше, при φ = 0, что равносильно при параллельном соединении условию

			b bL bC 0 или
a)	i			б)
	u	g	L	C
				Рис. 2.15

1 C 0 .L

U

IR = Ug = I

IC = U 0C

IL = U/ 0L

Резонанса токов можно достичь, изменяя или частоту приложенного к цепи напряжения, или индуктивности катушки или емкости конденсатора. При этом значения угловой частоты, при которой наступает резонанс, определяется формулой

	0		1	.
			LC

При резонансе реактивная проводимость цепи равна нулю и полная проводимость цепи достигает своего минимального значения. Поэтому ток в общей ветви I = Uy при неизменном значении оказывается наименьшим в отличие от резонанса с последовательным соединением. Векторная диаграмма при резонансе в рассматриваемой цепи приведена на рис. 2.15, б. При этом токи в индуктивности и в емкости равны и находятся в противофазе. По величине они могут превосходить, а иногда намного, суммарный ток в цепи. Поэтому такой резонанс называют резонансом токов.

	Отношение	Q	I C 0		I L0
			I		I

45

определяет кратность превышения токов в индуктивности и токов в емкости над суммарным током всей цепи. Величину Q, определяющую резонансные свойства контура, называют добротностью контура.

2.4.Индуктивно связанные цепи

2.4.1.Особенности расчета цепей синусоидального тока при наличии взаимных индуктивностей

Если при изменении во времени тока в одной катушке на зажимах второй возникает ЭДC, такие катушки называются индуктивно связанными. Это, например, катушки на стальных сердечниках электрических машин и аппаратов, провода линий электропередач, а также многие другие электротехнические устройства.

	а)		б)
	eL1	L1	L2	eL2
			M12
			M 21
i1	1	2	1	2 i2
	u1	еМ21	еМ12	u2
			Рис. 2.16

На рис. 2.16, а показаны две идеальные (без активных сопротивлений) катушки индуктивности.

При протекании в первой катушке синусоидального тока i1 в ней возникает магнитное поле, характеризуемое потокосцеплением самоиндукции L1 w1 , где w1 – число витков первой катушки, Ф – магнитный поток, проходящий че-

рез один виток катушки. Это потокосцепление в соответствии с законом электромагнитной индукции индуцирует в первой катушке ЭДС самоиндукции:

еL1 d L1 / dt .

Напряжение u1 на этой катушке численно равно этой ЭДС, но направлено в противоположную сторону и поэтому имеет обратный знак:

u1 = eL1= + d dtL1 =L didt1 ,

46

где L1= L1i1, L1 индуктивность первой катушки.

В комплексной форме записи это напряжение имеет вид U1 j L1I1 , где L1 X L1 индуктивное сопротивление первой катушки.

При наличии магнитной связи между катушками 1 и 2 , некоторая часть потокосцепления самоиндукции первой катушки L1 проникает во вторую ка-

тушку. Эта его часть M 21 называется потокосцеплением взаимной индукции второй катушки, вызванны током i1 первой катушки.

Потокосцепление M 21 индуцирует во второй катушке ЭДС взаимной

индукции еM 21 d M 21 . Отношение потокосцепления взаимной индукции dt

M 21 к току в первой катушке i1 есть взаимная индуктивность этих катушек:М21 i1 М21. Взаимная индуктивность так же, как и собственная индуктив-

ность, измеряется в генри (Гн). С учетом последнего соотношение ЭДС взаимной индукции второй катушки приобретает вид

еM 21 d M 21 M 21 di1 .

dt dt

Аналогичные рассуждения можно привести и для случая, когда синусоидальный ток i2 протекает только по 2-й катушке (рис. 2.16, б). Потокосцепление самоиндукции L2 второй катушки индуцирует в ней электродвижущую силу самоиндукции еL2 (d L2 dt) . Напряжение на второй катушке равно ей по величине и противоположно по знаку: u2 еL2 d L2 dt L2 di2 dt . Здесь L2 L2i2 , где L2 индуктивность 2-й катушки. В символической форме записи это напряжение имеет вид U 2 j L2 I 2 , где L2 X L2 индук-

тивное сопротивление 2-й катушки.

Некоторая часть потокосцепления самоиндукции L2 проникает в первую катушку и образует там потокосцепление взаимной индукции M12 . Оно индуцирует в 1-й катушке ЭДС взаимной индукции еM12 d M12 dt . Отношение потокосцепления взаимной индукции M12 к току во второй катушке i2

есть взаимная индуктивность этих двух катушек: М12		i2 = М12. С учетом этого
соотношения	ЭДС взаимной индуктивности	в первой катушке
еM12 M12 di2	dt .

Заметим, что для линейных электрических цепей взаимная индуктивность двух катушек не зависит от того, каким образом она была определена экспериментально:

47

M12		M 21	M12 M 21 M .	(2.36)
i2
		i1

Онаявляется их общим параметром и не зависит от величин потокосцеплений и токов, а определяется только конструкцией катушек, их взаимным расположением и магнитными свойствами окружающей среды.

Придвигая катушки друг к другу, мы увеличиваем М, а отодвигая их друг от друга – уменьшаем М. Наибольшей взаимной индуктивностью обладают две катушки, навитые одинаково друг на друга (рис. 2.17, а), а наименьшей расположенные своими осями под углом 90 друг к другу (рис. 2.17, б) или далеко удаленные друг от друга.

При одновременном протекании токов в обеих катушках в соответствии с принципом наложения имеем распределение их магнитных потоков, указанное

	на рис. 2.18.	i1		L1
	а)		б)
				L2
			L1
	i2		L2

Рис. 2.17

Здесь в каждой из катушек индуцируются одновременно две электродвижущие cилы: ЭДС самоиндукции и ЭДС взаимоиндукции. Поэтому напряжения u1 и u2 каждой индуктивно связанной катушки имеют две составляю-

щие: одна из них (uL ) вызвана действием ЭДС самоиндукции, а другая (uM ) вызвана действием ЭДС взаимной индукции:

u

u

L1

u

M12

d L1

d M12

L

di1

M

di2

;

(2.37)

dt

dt

dt

1

1 dt

L1	L1	L2	L2	М21

	М12	еL1 еМ12	еL2	еМ21	i2
	i1
		u1		u2

Рис. 2.18

48

u2

uL2

uM 21

d L2

d M 21

L2

di2

M

di1

.

(2.38)

dt

dt

dt

dt

В формулах (2.37) и (2.38) знаки (+) или ( ) у вторых составляющих напряжений зависят от взаимного направления магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции в катушках.

Знак (+) берется в том случае, когда потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению. Такое соединение катушек называется согласным включением. Если потоки самоиндукции и взаимной индукции не совпадают по направлению, то берется знак ( ) и такое соединение катушек на-

зывается встречным включением [3].

На рис. 2.19 показаны примеры согласного и встречного включений двух индуктивно связанных катушек.

Согласное включение			Встречное включение
	L1
		L2		L1	L2
1	2		1		2
			L1		L2
L1	L2
1	2		1		2
			Рис. 2.19
На электрических схемах индуктивно связанные катушки изображаются
так, как это показано на рис. 2.20.			М
	L1		L2
I			I2
1	U1		U
				2
			Рис. 2.20

Переходя к комплексной форме записи напряжений на индуктивно связанных катушках, получаем

U	1	j L I		j MI		;
		1	1		2
U 2 j L2 I 2					j MI1 ,		(2.39)

49

где j L1I1 и j L2 I 2 комплексные напряжения первой и второй катушек, вы-

званные действиями токов I1

и I 2 катушек;

j MI 2 дополнительная со-

ставляющая напряжения первой катушки, вызванная током I 2 второй катушки;j MI1 дополнительная составляющая напряжения второй катушки, вызванная током I1 первой катушки. В уравнениях (2.39) знак (+) соответствует со-

гласному включению катушек, а знак ( ) – встречному включению.

Способ включения индуктивно связанных катушек указывается на ее схеме путем маркировки «начал» катушек, либо в виде жирных точек (знак ), либо в виде звездочек (знак ). При этом действует следующее правило: если токи в катушках направлены к одноименным выводам, то включение катушек является согласным, а если к разноименным выводам, - встречным.

2.4.2. Цепь с трансформаторной связью между катушками

Такая цепь представлена на рис. 2.21, у которой катушки не имеют друг с другом проводниковых соединений. Известны параметры обеих катушек R1 , R2 , L1 , L2 , их взаимная индуктивность M, частота и комплексное напря-

жение U1 . Требуется определить комплексные токи I1, I2 катушек при соглас-

ном и встречном их включении.

Решение. Составляем уравнения для левого и правого контуров цепи в соответствии с формулами (2.39) и получаем

I1

R1

U1

L1

		I2
		R2
	М	ZH	U2 Z H I2
		L2

		Рис. 2.21
	U1	(R1 j L1 )I1	j MI 2	;	(2.40)
	j MI1 (R2 j L2 )I 2 Z Н I 2 .
0

50

В этих уравнениях знак (+) у составляющих вида j MI соответствует согласному включению катушек, а знак ( ) – встречному включению.

Заметим , что в уравнениях (2.40) Z Н I2 U2 . Обозначаем в этих уравнениях для краткости записи:

(R1 j L1) Z1;

(R2 j L2 Z Н ) Z 2;

j M ZM

и получаем

U

Z

I Z

M

I ;

0 Z

M

I

Z

2

I .

(2.41)

1

1 1

2

1

2

Решая эту систему уравнений, находим комплексные токи I1

и I 2 обеих

катушек цепи. При решении задачи применяем теорию определителей:

Z 1

Z M

Z

1

Z

2

Z 2 ;

1

U1

Z M

Z U

1

;

Z M

Z

2

M

0

Z 2

2

Z 1

U1

Z

M

U ;

I

1

Z 2U1

;

I

2

2

Z M U1

2

Z M

0

1

1

Z 1 Z 2 Z 2M

Z 1 Z 2 Z 2M

.

Заметим, что знак ( ) в числителе I 2 соответствует согласному включе-

нию катушек, а знак (+) встречному.

Пример 2.4. В цепи с трансформаторной связью двух идеальных (без активных сопротивлений) катушек индуктивности (рис. 2.22) к катушке Х1 приложено синусоидальное напряжение частотой f = 500 Гц, а катушка Х2 разомкнута. Действующее значение тока в катушке Х1 составляет I1 =10 A, а напряже-

ние на разомкнутых зажимах катушки Х2 составляет U2 = 50 B. Требуется определить величину взаимной индуктивности M этих катушек.

I1		I2	0

Х1

ХМ

Х2

U1	V1 U2
	А1
Вход	Выход
	Рис. 2.22

51

Решение. При отсутствии активных сопротивлений катушек ( R1 R2 0 )

уравнения (2.41) можно составить только для модулей токов, напряжений и сопротивлений, не применяя символического метода.

С учетом того, что правый контур цепи разомкнут ( I2 =0), имеем

U1 I1X1;

0 I1X M U2 ,

где Х1 L1,

XМ М.

При

этом

из

второго

уравнения

следует,

что X M

U 2 I1 или

X M

U 2

I1 5 Ом.

Тогда величина взаимной индуктивности катушек:

M

X M

5

5

1,95 10

3

Гн.

2

f

6,28 500

2.5. Трехфазные электрические цепи

2.5.1. Трехфазные электрические устройства

Трехфазные цепи синусоидального тока получили широчайшее распространение в электроэнергетике. Они обладают двумя основными преимуществами перед однофазными (двухпроводными) цепями: а) экономией цветного металла при передаче одной и той же мощности, б) возможностью получения вращающегося магнитного поля, на базе которого создан простой и надежный трехфазный асинхронный двигатель.

Источником энергии в трехфазных цепях служит трехфазный генератор, схематическое устройство которого показано на рис. 2.23, а.

а)		Z A	б)
			+j
I A	А	E A	EС

	Обмотка		Статор		120
	ротора
		C	Ротор		E A
	СС		I В	120	+1
	EС	Ю	В		120
	Z С С		EВ	Z В

EВ IС

Рис. 2.23

52

Генератор состоит из статора (неподвижная часть) и ротора (подвижная часть). На статоре в специальных пазах на его внутренней поверхности расположены три одинаковые обмотки, сдвинутые друг относительно друга в пространстве на 120 . Их начала обозначены заглавными буквами A, B, C .

Ротор генератора представляет собой электромагнит постоянного тока, обмотка которого питается от отдельного источника постоянного тока через два контактных кольца, расположенных на валу. Ротор устроен так, что его магнитное поле распределяется в зазоре вдоль внутренней поверхности статора по закону косинуса. При вращении ротора с некоторой постоянной скоростью его магнитное поле индуцирует в обмотках статора три одинаковые синусоидальные ЭДС, сдвинутые друг относительно друга по фазе на 120 . Они образуют симметричную систему, которая в виде векторной диаграммы представлена на рис. 2.23, б. Расположив ЭДС обмотки A вдоль оси вещественных чисел комплексной плоскости, получаем запись ЭДС в следующем виде:

	EА EА;	EВ E Ae j240	E Ae j120 ;	EC EAe j120 ,		(2.42)
где EА EВ EС - действующие значения фазных ЭДС генератора.
Величину e j120		для краткости обозначают буквой а (e j120			a ) и назы-
вают фазовым множителем. Используя его в формулах (2.42), получаем
	EА EА; EВ a2 EА; EС aEА.					(2.42 а)
Заметим, что
a e j120	( 0,5 j0,87) ; a2 e j240		( 0,5 j0,87) ;	1 a a2 0 .		(2.42 б)

С учетом формул (2.42) очевидно, что сумма трех векторов симметричной системы фазных ЭДС генератора, показанных на рис. 2.23,б, равна нулю:

EA EB EC EA (1 a a2 ) 0.

(2.43)

Разработчиком трехфазных цепей является М.О. Доливо-Добровольский. Она признана во всем мире как оптимальная система для производства, передачи и распределения электрической энергии.

Если к обмоткам генератора (рис. 2.23, а) подсоединить нагрузочные сопротивления, получится простейшая (несвязанная) трехфазная цепь, состоящая из трех отдельных двухпроводных цепей, называемых фазами. Для отличия друг от друга их обозначают буквами A, B, C. На рис. 2.23, а этими буквами обозначены начала фазных обмоток генератора.

Термин «фаза», употребляемый здесь, следует отличать от термина «фаза», используемого в теории цепей синусоидального тока для обозначения стадии развития синусоиды тока, напряжения или ЭДС.

53

Несвязанные трехфазные цепи не имеют никаких преимуществ перед однофазными (двухпроводными) и практически не применяются. Обычно трехфазные цепи связывают звездой (условное обозначение Y) или треугольником ( условное обозначение ).

2.5.2. Соединение трехфазной цепи «звездой»

При соединении «звездой» концы всех трех обмоток генератора объединяют в одну общую точку, которая называется нейтральной точкой генератора, или нейтралью. Так же поступают и с приемниками, которые образуют нейтральную точку (нейтраль) трехфазного приемника. При этом три обратных провода отдельных фаз объединяются в один, и система из шестипроводной становится четырехпроводной, как это показано на рис. 2.24, а.

Провода, идущие от генератора к приемникам, называются линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называется нейтральным. Показанные на этом рисунке направления действия ЭДС, токов и напряжений соответствуют направлениям, принятым в большинстве учебников по теории цепей.

Трехфазная цепь, связанная «звездой», имеет ряд особенностей.

1. Токи линейных проводов, не разветвляясь, попадают в фазы приемников, поэтому фазные токи равны токам в линейных проводах: Iф I л .

2. Ток в нейтральном проводе I N равен алгебраической сумме комплекс-

ных токов всех трех фаз. В соответствии с 1-м законом Кирхгофа для нейтральной точки приемника ( 0 ) имеем

I A I B IC I N .

(2.44)

При отсутствии или обрыве нейтрального провода получаем

I A I B IC 0 .

(2.45)

Вэтом случае, зная два линейных тока, можно легко найти третий ток.

3.Если генератор вырабатывает симметричную систему фазных ЭДС и,

кроме того, комплексные сопротивления	всех трех	фаз цепи одинаковы
( Z A Z B Z C Z Ф R jX ), то комплексные токи,		определяемые в соот-
ветствии с формулой закона Ома IФ UФ	Z Ф , имеют одинаковые дейст-

вующие значения и сдвинуты друг относительно друга по фазе на 120 (как это показано на рис. 2.24,б). Они образуют симметричную систему фазных токов и

54

при этих условиях I A I B IC 0 . Следовательно, ток в нейтральном проводе отсутствует и этот провод фактически не нужен.

а)	I A						б)	IC
							EC
E A			UCA	U A		ZA	U AB
0	Нейтральный			I N	0	U В	120		EА
EС			U N	ZC
						ZB
	EВ				UС		I B		I A
С		В	С′				В′
			I В		U BC		EB	120

Линейный IC

Рис. 2.24

Заметим, что на рис. 2.24, б угол arctg ХR соответствует индуктив-

ному характеру фазного сопротивления.

Рассмотренный выше режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме работают все трехфазные приемники (например, трехфазные двигатели, нагревательные печи). Они имеют три одинаковые обмотки и не нуждаются в нейтральном проводе. Такие трехфазные приемники называют симметричными. Однофазные же приемники (лампы освещения, бытовые приборы) при соединении их «звездой» требуют наличия нейтрального провода для поддержания одинакового напряжения на всех трех фазах цепи.

4. Трехфазные цепи, связанные «звездой», широко используются в электроэнергетике для передачи электромагнитной энергии на большие расстояния. Упрощенная схема такой цепи показана на рис. 2.25. Эта цепь является трехпроводной и наглядно демонстрирует свои преимущества по сравнению с подачей той же мощности тремя однофазными цепями. Энергетики стремятся включать однофазные приемники энергии так, чтобы нагрузка каждой из трех фаз линии электропередачи (ЛЭП) была равномерной.

Возможная несимметрия в ЛЭП компенсируется нейтральным проводом, в качестве которого используется земля (система с заземленной нейтралью).

55

Генератор А	Л Э П	Приемник
В		0
0
С	Рис. 2.25

5. При связывании звездой (рис. 2.26) различают фазные и линейные напряжения. Фазные напряжения (U A ,U B ,UC ) действуют между началом и концом каждой фазы. Их направление принято в соответствии с направлением фазных токов цепи от начала фазы к ее концу (к нейтральной точке 0 ). Линейные напряжения (U AB ,U BC ,UCA ) действуют между линейными проводами.

Их направление принято по часовой стрелке.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого из трех контуров, образованных одним линейным и двумя фазными напряжениями, имеем

U AB U A U B ;	U BC U B					U C ;		U CA UC U A .	(2.46)
	30					U л / 2
	Uф
	Uл					U л / 2
				Рис. 2.26
Для построения,	например,					вектора		линейного напряжения	U AB надо

сложить в соответствии с формулами (2.46) вектор фазного напряжения U A с вектором U B , взятым с обратным знаком: U AB U A ( U B ). Если полученный таким образом вектор U AB перенести параллельно самому себе так, чтобы его конец совпал с концом вектора U A , то его начало совпадет с концом вектора U B . Аналогичным образом следует поступить и при построении векторов U BC

и UCA : U BC U B ( UC ) ; UCA UC ( U A ) , как это показано на векторной диаграмме рис. 6.4. Перенеся эти векторы параллельно самим себе аналогично

предыдущему, получим, что вектор линейного напряжения UBC расположится между концами векторов фазных напряжений U B и UC , а вектор линейного напряжения UCA между концами векторов фазных напряжений UC и U A .

56