5. Экстремум функции нескольких переменных

Определение.Точканазывается точкой максимума функции, если у этой точки имеется окрестностьтакая, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство

.

Если для всех из окрестностивыполняется неравенство

,

то точка называется точкой минимума.

Значение функции в точке максимума , называется максимумом функции, а ее значение в точке минимума – минимумом.

Точки максимума и минимума называются экстремальными точками функции, а максимумы и минимумы называются экстремумами функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если вкаждая частная производнаяиравна нулю или не существует, тоназывается критической точкой функции.

Следующая теорема является аналогом необходимого условия экстремума функции одной переменной.

Теорема 1(необходимое условие экстремума)

Если является экстремальной точкой функции, то– критическая точка этой функции.

Доказательство. Рассмотрим функцию одного переменного. Из определения экстремальной точки следует, что точка– экстремальная для функции. Согласно необходимому условию экстремума для функции одной переменной,критическая точка этой, т.е.

Рассмотрев функцию ,

получим, что

Пример.Точкаявляется точкой минимума функциит.к., а для всех остальных точек.

Поскольку и, то решение системы

определяет критическую точку .

Пример.Точкане является экстремальной точкой функции, т.к. в любой ее окрестности функция принимает как значения большепри, так и значения меньшепри. Тем не менее, поскольку,, координатыудовлетворяют системе

,

то точка критическая точка.

Этот пример показывает, что критическая точка может не быть экстремальной.

График функции является гиперболическим параболоидом, имеющим форму седла, точканазывается его седловой точкой.

Теорема 2. (Достаточные условия экстремума.)

Пусть функция трижды дифференцируема в некоторой окрестности своей критической точки.

Обозначим ,,,.

Тогда:

1) Если , то точкаэкстремальная для функции, причем если, то это точка минимума, а если, то точка, точка максимума.

2) Если , то в точкеэкстремума нет.

Заметим дополнительно, что при для определения экстремума требуется дополнительное исследование.

Без доказательства.

Пример.Найдем экстремальные точки и экстремумы функции

.

Поскольку исуществуют для всехто, для определения критических точек необходимо решить систему уравнений

.

Отсюда получаем два решения:

и

и две критические точки и. Найдем вторые частные производные функции и исследуем каждую из этих точек помощью достаточного условия экстремума.

,,.

а) . В этом случае

;;;.

Поэтому в точке экстремума нет.

б) . В этом случае

;;;

поэтому экстремальная точка. Поскольку, то это точка минимума. Значение функции вравно, что составляет минимум функции.

Примеры из экономики. Задачи оптимизации в экономике.

Пусть z– количество продукции, выпущенной некоторой фирмой;- затраты ресурсов двух видов;- дифференцируемая функция. Пусть величины- заданы в натуральных единицах,- соответствующие этим единицам постоянные цены.

Тогда выручка (валовой доход) будет , а функция прибыли запишется в виде:

.

Исследуем данную функцию на экстремум. Согласно необходимому признаку локального экстремума, вычисляем:

Отсюда

Согласно достаточному условию локального экстремума в критической точке должны выполняться условия:

Пусть - оптимальный выпуск продукции с точки зрения прибыли;- соответствующие затраты ресурсов. Если точкаявляется внутренней точкой области определения функции, то- точка ее локального максимума.

Вывод: в точке локального максимума прибыли предельная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой.

Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена зависит от объема выручки, поскольку частные производные функцииимеют прежний вид.