Сборник задач по высшей математике

По формуле (2.7) находим
в/ггт			г-: г							. . 7Г -h 27гА:\
									7Г + 27Гк
г = у 32(cos 7г		+ г sin 7г) = 21Vcos							5	Ь г sin	5 /),
где к = 0,1,2,3,4.
Полагая к = 0,1,2,3,4, получим
z0 = 2 (cos ^ + г sin ^ » 1,6180 + 1,1756 • г,
= 2 (cos ^ + г sin						5 /	» -0,6180 + 1,9021 • г,
	V	5
Z2 = 2(cos 7Г + г sin 7г) = - 2 ,
z3 = 2 (cos у + г sin у)							к -0,6180 -			1,9021 • г,
	(97Г					97Г \
	cos — + г sin — )						» 1,6180 - 1,1756 • г.
		5				5 /

Рис. 115

Найденным корням уравнения соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса

R = 2 с центром в начале координат (рис. 115).					•
10.2.12. Найти действительные решения уравнения:
а)	(1 + i)x + (1 — г)у = 3 — г;
б)	х + у + ixy = г.
10.2.13. Найти:
а) действительные решения;
б) комплексные решения
	/(2 + г)я + ( 2 - г)у = 6,
системы уравнений | ( 3 +		^	+ (3	_ ^ = g

440

			Л 28
10.2.14.	Вычислить		(1 + 0	Ш-
			(1 — г) — г • (1 + г)
10.2.15.	Вычислить		( ^ f ^ ) •
10.2.16.	Найти все значения корня			у/—1 + гл/3.
10.2.17.	Решить уравнение z3 + 1 = 0.
10.2.18.	Изобразить на рисунке множества точек z комплексной обла-
	сти,1, удиовлетворяющихс условию:
	а)	f l ^ z - .
		\ - л / 3 ^^ Imz ^ 0;
	б) \z-i\ = \z + 2|;
		\z-i\<	1,
	в)	argz ^
		^arg(z + 1 — г) ^ }.
	О	а) Так	как z-z=(x+iy)(x—iy)—x2+y2, a Imz = у, то дан-

ную систему неравенств можно записать в виде {-уД^у^О.

Неравенства 1 ^ х 2 + у 2 ^ 2 задают кольцо между окружностями, включая их границы радиусов Д = 1 и Д = 2с центром в начале координат. Неравенства — >/3 определяют горизонтальную полосу между прямыми у = — \/3 и у = 0, включая прямые у = —>/3 и у = 0. Искомое множество точек г заштриховано на рисунке 116.

СсN о					Z2 = -2		X
	У	2
						У
		1	\
							>z i =i
\	•
			/y=-Vз				|*-i| = |*+2|
		- 2
	Рис. 116					Рис. 117

б) Согласно формуле (2.5), равенству \z — i\ = \z — (—2)\ удовлетворяет множество точек г, равноудаленных от точек z\—г и Z2 = —2. Это множество точек представляет собой середин-

441

ный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки Z\ = г и Z2 = - 2 (см. рис. 117).

	У		У		/
argz^f	-1				i
	1
1 к - г | < 1	1
	1
		- I	Q			X
О	О

Рис. 118

в) Изобразим на отдельных рисунках множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств условия (см. рис. 118).

Рис. 119

Находим пересечение трех полученных областей — это и будет искомое множество (выделено на рис. 119). • 10.2.19. Изобразить на рисунке множество точек z, удовлетворяющих

условию \z - 3| = 2 • \z\.

10.2.20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z, для которых выполняется условие |3 + iz\ ^ \z\.

Дополнительные задачи

10.2.21. Найти Rez и Imz, если а) * = (2 - г)2 • (3 + 4г);

б= +

10.2.22. Решить уравнения:

а) z2 + z = 0;

б) \z\-3z = -12г.

442

10.2.23.Вычислить:

о( v ^ ( c o s | + z s i n | ) ) 1 2 ;

		/ 1	• \100
10.2.24.	Доказать справедливость тождеств:
	а)	cos 3(р = 4 cos3 ip — 3 cos ip\
	б)	sin 3ip = 3 sin (p — 4 sin3 ip.
	Указание. Использовать формулу Муавра: (cosy? + г sin у?)3 =
	= cos3y? + г sin3y>.
10.2.25.	Найти все значения корня:
	а)
	б) у/8 — 8у/3 • г;
	в)	^=16;
	Г)	# 1 + 1 .
10.2.26.	Найти расстояние между точками:
	а)	1 — 6г и 2г;
	б)	1 + 4г и 3 - 2г.
10.2.27.	Найти комплексные числа, каждое из которых сопряжено со
	своим квадратом.
10.2.28.	Решить уравнение (х G С):
	а) х2 - 4х + 8 = 0;
	б) Зх2 - х + 2 = 0.
10.2.29.	Выполнить действия:
	v	8(cos 40° + г sin 40°)
		16(cos(—50°) + г sin(—50°))'
	б)	у/2 • (1 - г)(1 + i\/3)(cos2y? + isin2y>).
10.2.30. Выполнить			действия. Результат предоставить в							алгебраиче-
	ской форме:
	а) ( V 5 - e * < ) 8 ;
	б) 3 - e f i -4е5^.
10.2.31.	На плоскости С нарисовать область, заданную неравенствами:
	а)	\z + i\< 1, \z + l\^ 1;
	б)	\z - 2 - i\ ^ 1, 1 ^ Rez < 3,					0 < Imz ^ 3;
	в)	\z\ < 2,	Rez ^ 1,			argz <
10.2.32.	Дано: z = —,					- -Дтг. Найти: z и		1.
	^	л/2(1 - г)				2ег<		г
10.2.33.	Доказать формулы Эйлера
			cosy? =		е*р + е-ьр		л	ei(p —	e~iif	.	(2.8)
						,	sin <p =	-

443

10.2.34. Используя формулы Эйлера, выразить через косинусы и синусы кратных дуг функции:

а) cos4 х; б) sin2 х.

10.2.35. Решить уравнения:

а) z2 - (2г - b)z + 5 - 5г = 0; б) z4 + 9z2 + 20 = 0.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

10.2.36.	Доказать, что последовательность чисел {zn }, где zn						= cos пх +
	-hzsinnx есть геометрическая прогрессия. Найти ее знамена-
	тель.
10.2.37.	Доказать, что если \z\ = 1, то z = i.
10.2.38.	Из всех				комплексных чисел, удовлетворяющих		условию
	|z — л/3 + i\ ^ 1 найти число, имеющее наименьшее значение
	главного аргумента.
10.2.39.	Найти число с наибольшим модулем среди комплексных чисел
	г, удовлетворяющих условию \z + 3 — 4г| = 3.
10.2.40.	Найти (1 + sin<р + г cos <р)16.
10.2.41.	Найти модуль и аргумент комплексного числа z, если:
	a w - 1 + * + 1
	а ) z ~ 1-i + 1 + г'
	_
					(л/2 + г\/б)4	лj
	б) г =

( s i n f £ + z c o s ^ )

	в)	* =		(l - cos | + г sin			•	(l - г ctg	.
10.2.42.	Пользуясь формулой Муавра (см. (2.6)), выразить sin5<p через
	cos ip и sin ip.
10.2.43.	Найти сумму:
	а)	sin х + sin 2х +				Ь sin пх;		(п Е N);
	б) cos х + cos 2х Н					Ь cos пх;		(п G N).
	Указание. Использовать формулы Эйлера (см. (2.8)).
10.2.44.	Решить уравнение на множестве комплексных чисел:
	а) z4 - г* + 2z2 - z + 1 = 0;
	б) z8 - 17z4 + 16 = 0;
	в)		-2z = 2г- 1.
10.2.45.	При каких действительных значениях х и у числа z\ = х2 +
	+ 42/ — yi и Z2 = 4 +у — j — х2 - г будут сопряженными?
10.2.46.	Зная точку г, на комплексной плоскости построить точку:
	а) z' = z - 3;
	б)	z'	=	iz;
	в) z'		=	z + (2 - г).

444

10.2.47.	Сколько и какие значения имеет произведение у/^1 •
10.2.48.	При каком условии квадрат комплексного числа x+iy является
	чисто мнимым числом?
10.2.49.	Указать на плоскости С точки г, для которых:
	а)	z = А;
	б)'	z = -Zk
10.2.50. Вычислить:
	а)	И | ;
	б)	| cos 2ср + i sin 2ip\.
10.2.51.	Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть от-
	рицательной?
10.2.52.	Как изменится модуль и аргумент комплексного числа z в ре-
	зультате умножения этого числа на:
	а)	2;
	б)	2г;
	в)	-2г.
10.2.53. Вычислить:
	а)	у/1;
	б) г2001.
10.2.54.	Нарисовать на плоскости С область, заданную неравенствами:
	а)	\z + г| ^ 2,	Rez > л/2;
	б)	| Rez\ ^ 2,	\lmz\ < 1;
	в)	\z - 1| < 1,	axgz ^	arg(z - 1) >

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1. ВЫЧИСЛИТЬ:

а)	• (-20 +1;
/1	\160

2.Найти модуль и аргумент комплексного числа z: а) z = (—5 + г) • ( - 5 - г ) ;

3.Решить уравнение:

а)	z2	-	8iz	-15 = 0;
б)	z3	+	8i =	0.

445

4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек г, удовлетворяющих условию:

а)	— 2| — |1 — 2z\ = 0;
б)	\z-l + i\^ 1, Rez < 1, Imz ^ -1.

5.Найти число с наименьшим аргументом среди чисел г, удовлетворяющих условию: \z — 8| =4.

Вариант 2

1. Вычислить:

а) 1 — г5 Ч- г10 — г15 + h г50; К) 3 + 4г , 4 - г

г3 + 2г'

2. Вычислить (^1 • 22 )1 0 , если zi = -1 + гл/3, z2 = l(sin30° + г cos30°).

3.Решить уравнение: а) г2 - 4z + 20 = 0;

б) z-\z\

=4-3г.

4.Изобразить на комплексной области множества всех точек г, удовлетворяющих условию:

а) Re(l + z) = \z\\

б) | * - 1 - г | < 1 , |args|< J.

5. Где расположены точки 1 + 2г, для которых \z\ = 1?

Вариант 3

1.Найти:

,(2 + 3 » ) ( 5 - 0 . 2 + г

б) (2г — I)4 — (2г + I)4 .

2.Представить в тригонометрической и показательной формах числа: а) * = 1 - л/3; б) г = - 2 - 4г;

в) г = 3 ^sin ^ + г cos ^ ;

3.Решить уравнение: а) z2 - z + 5 = 0;

б)

= } .

4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек z, удовлетворяющих условию:

	а)	| _ 2		|
	б)	\ж - argz| <
5.	Вычислить: ( ^ i			^ ) 3 " ^ -		„ € R
Вариант 4
1.	Вычислить:
	а ) ( 1 = 2 г ) 3 - ^
					V г53.
	б) г3 + г13 + г23 Н

2.Представить в тригонометрической и показательной формах числа: а) z = — 17,2г;

б) z = - 0,3 + 2,4г;

в) z = — ctga + г (0 < а < 7r).

3.Решить уравнения: а) г2 + 8z + 41 = 0; б) г6 - 9z3 + 8 = 0.

4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек z, удовлетворяющих условию:

а) H i ) = 2*

б) - 2г| ^ jsin | - г cos | .

5.Найти число с наименьшим модулем среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию: |2 — 2iz\ = \z — 4|.

•

Глава 11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ •

§1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ГРАФИК И ЛИНИИ УРОВНЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение функции нескольких переменных

^ Переменная г называется функцией двух переменных х и у,

если каждой упорядоченной паре (х; у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области D С Ш2 соответствует единственное число z.

Обозначения: z = f(x;y), z = F{x\y), z = z(x;y) и так далее.

^Переменная величина и называется функцией от п переменных x\y\z\.. если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной и: и = f(x; у;z;.. .;t).

Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных (аргументов) зафиксировать.

Например, функции и = f(x\y\z), и = f(x;y;a), и = /(ж;Ь;а), где а и b — постоянные, являются функциями соответственно трех, двух и одной переменной.

В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух переменных z = f{x\y) или z = z(x\y). Под функцией z = f(x;y) будем понимать также функцию точки М(х\у) с координатами х и у.

^	Множество D всех точек (х;з/), при которых z = f(x;y) име-
	ет смысл, называется областью определения, а множество зна-
	чений г, принимаемых функцией z = f(x;y) при (х;у) Е D,
	называется областью изменения или множеством значений
	функции.

График функции двух переменных. Линии уровня

^Множество точек пространства М3 с координатами (x\y\z) =

—(#5 2/;/(х >2/)) ПРИ в с е х (Х1У) € D называется графиком функции z = f(x\y).

Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных.

448

^	Линией уровня функции z = /(х; у) называется множество всех
	точек плоскости Оху, в которых функция z принимает посто-
	янное значение, т.е. f(x;y) = с, где с — постоянная.
^	Поверхностью уровня функции трех переменных и = f(x;y;z)
	называется множество всех точек пространства Oxyz, в кото-
	рых функция и принимает постоянное значение, т. е. /(х; y\z) =
	= с, где с = const.

11.1.1. Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар радиуса R как функцию двух его измерений х и у. Найти область определения этой функции.

О Исходим из построенного чертежа (рис. 120). Обозначим два измерения, скажем, А В = х, АС = у. Пусть R — радиус шара, тогда BD = 2R. Объем параллелепипеда (прямоугольного) равен V = xyh (h = CD) и нам надо выразить h через Д, х и у. Из ADBC имеем h2 = 4Д2 - ВС2 , а из ДАВС получаем ВС2 = х2 + 2/2- Значит, h2 = 4Д2 - х2 - у2, а тогда У = xyy/4R2 — х2 — у2 — искомая функция двух переменных.

Ее область определения: 4R2—x2—y2 ^ 0, т. е. круг х2 +з/2	^ 4Д2
радиуса 2Д с центром в начале координат.	•

D

/ /

с• К.--—-NЧ-- 7

•/

•

Е х

Рис. 120

Рис. 121

11.1.2. Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию трех величин: длин оснований х и у и боковой стороны z.

ОИмеем S = 5трап = ^(х + y)h (см. рис. 121), а из AFCB

имеем h2 = z2 — BF2, где BF = АЕ = А(х — ?/). Искомая

функция имеет вид S = ^(х + з / ) ^ 2 — ^(х — у)2. Это функция

трех переменных х; у\ z с областью определения 0 ^ х — у ^ 2г.

11.1.3. Выразить площадь треугольника как функцию длин двух его сторон х и у при условии, что известен полу периметр треугольника р.

449

29-2361