Сборник задач по высшей математике

После преобразований получаем ответы:

dz

.

х2 + у2

-х4

- Зх2у2 + 2ху3

= - sin •

(я3 +2/3 )2

" " V + < / 3

_ _ .

х2

у2

-у4

- ЗжУ -f 2ж3у

(ж3 4- у3)2

5

=

х4

4-

Зх

2у2

- 2

ху3

. х2

+ у2

,

—я

ото

sin —о

о

ах;

(х3+у3)2

х3+у3

.

у4

4- Зх2у2 - 2ух3

.

х2

4- у2

d y Z =

(Х3 + У3)2

,

1

зТ2

.

*

2

+ 2 /

2

=

7~я

' s i n

я

з х

(х3 + у

)

х3

+ у

+ 3 ху2 - 2 y3)dx + у (у3

+ 3 х2у - 2х3) dy\.

1 1 . 3 . 1 7 .

Найти полный дифференциал функции и =

7

ж

+ z2

V2/2

О

Так как

,

= — f

1

= ,

,

~ху

,

=

-жг

tifl

= — = = = = = ,

vV + * 2 ) 3 '

v ^ 2 ^ 2 '

у

\/ (y2 + 22 )3 '

2

то полный дифференциал имеет вид

,

dy 4- xzdz

^

— ,

dx

ху

au =

,

— .

•

y/^Tz2

\J (y2 +

z2)3

1 1 . 3 . 1 8 .

Вычислить приближенно 1,073,97.

О

Число 1,073,97

есть частное значение функции f(x;y) = ху

при х = 1,07, у = 3,97. Известно, что /(1;4) = 1. Поэтому при-

нимаем хо = 1,2/о= 4. Тогда Да; = х - хо = 0,07, Ау = у - уо =

=

—0,03. Значение

f(x 4- Ах;у 4- Ау) вычислим при помощи

формулы линеаризации: f{xo;yo) + df(xo;yo)- Имеем:

f'x=yxy~\

Гу=хУ\ъх,

f'x( 1 ; 4 ) = 4 ,

/;(1;4) = 0,

df{ 1; 4) = 4 • 0,07 4- 0 • (-0,03) = 0,28.

Таким образом, 1,073>97 « 14- 0,28 = 1,28.

•

Вычислить

приближенно:

1 1 . 3 . 1 9 .

1,042'03.

1 1 . 3 . 2 0 .

y/{lJM)2

+

(3,01)2.

1 1 . 3 . 2 1 .

sin28°

cos61°.

1 1 . 3 . 2 2 .

Вычислить приближенно yj(sin2

1,55 + 8е°>015)5.

470

О 1) Принимаем f{x;y) = (sin2 х + 8еу)*,	х0 = 1,571	=
Уо = 0, х = 1,55, Ах = х-х0 = 1,55 - 1,571 =	-0,021, у =	0,015,
Ау = 0,015.

2)/(so;yo) = (sin| +8е°)§ = 243.

3)= |(sin2x + 8ef)§ • sin2х, /J = |(sin2x + 8е*0§ • 8е*,

fx(xo'i 2/о)=0, так	как sin2xo=sin7r=0, /^(жо;2/о)=20(1+8)5 =
= 540, df(x0;yo) = 540 • 0,015 = 8,1.
Окончательно,
yj(sin2	1,55 -I- 8e0'015)5 » 243 + 8,1 = 251,1.	•
Вычислить приближенно:
11.3.23. arctg	11.3.24. V5e0'02 + 2,032.

11.3.25.ln(0,093 +0,993 ).

11.3.26.Вычислить приближенно cos2,36 • arctg0,97 • 32'05.

О Имеем дело с	функцией			трех			переменных f{x\y\z) =
= cos х• arctg y'3z. хо =			= 2,356, х = 2,36, Дх = 0,004, у0 = 1,
у = 0,97, Ау = -0,03, z0 = 2, z = 2,05, Az = 0,05. Наконец,
ч	Зтг		,
					о2		9л/2 7г
/(®о; 2/о; ^о) = COS — • arctg 1 - 3 =								— • - » -4,9957.
Найдем сначала дифференциал в общем виде
					3Z
df = — smx-a,Tctgy-3zAx-\			cos х '
			1 +		тг-Ay -I- cosx arctg y-3z ln3 -Az.
				2/

А теперь составим числовое выражение дифференциала в точке.

Л/27г		9Л/2		Л/27Г
(®о; 2/о; го) = - 9 - V - • 0,004 -			. 0,03 - 9 In 3 ^ - - • 0,05 к
о		4		2 4
» -0,0199 - 0,0954 - 0,2744 = -0,3718.
Окончательно,
cos2,36 • arctg0,97 • З2,05 » -4,9957 - 0,3718 = -5,3675. •
Вычислить приближенно:
11.3.27. 1,002 • 2,0032 • З,0043.	11.3.28.		1?°з2	—.
		у 0,98 •

471

Дополнительные задачи

Найти частные производные, частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных (x,y,z,t,...) и полный дифференциал:

11.3.29.	z = (Ьх2у-у3 + 7)3.				11.3.30.	v = arctgj.
11.3.31.	z = Xy/y-l-JU.				11.3.32. z — In tg —.
				y x			У
11.3.33. z = ^u + Vu2 + v2.					11.3.34.	^ l n V ' ^ l l b ,
							V^2 -I- y2 + x
11.3.35.	z = arccos		лА2 ~ У2		11.3.36.	z = sin ^ • cos
			V^2 + 2/2				У	x
11.3.37.	— ( x 2	1 y 2 ) 1 " ^ ^ ! ! ^ ! .			H.3.38.		u=x3+yz2	+		3yx-x+z.
11.3.39. u =				1 + y/x2 +y2	11.3.40. и = xyZ.
11.3.41.	Найти wJe+iiy + i^ при ж = у = z = 1, если и — \п(1+х + у2+ z3).
11.3.42.	Найти	z'		+z'
		x /		/ y при x = 1 и у = 2, если z = x3y — xy3.
		zxzy
11.3.43.	Найти ^ при x=0, 2/=0,				если и=\/sin2 x+sin2 2/+sin2 z.
11.3.44.	Найти значение полного дифференциала функции z = х + у -
	- y / х ^ Т у 2			при х = 3, у = 4, Дх = 0,1,			Д?/ = 0,2.
11.3.45.	Найти значение полного дифференциала функции z = еху при
	х = 1,	у = 1, Дх = 0,15, Ау = 0,1.
	Вычислить приближенно изменение функции z =									х 4- ЗУ
11.3.46.										у — ох при
	переходе х от х\ = 2 до Х2 = 2,5 и у от						= 4 до			= 3,5.
Вычислить приближенно:
11.3.47.	^/1,023 + 1,973.				11.3.48.	sin29° sin46°.
11.3.49.	a r c t g ( ^ - l ) .				11.3.50.	2,0032 • З,9983 • 1,0022.
11.3.51.	Высота конуса Н = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как из-
	менится объем конуса при увеличении высоты на 2 мм и умень-
	шении радиуса на 2 мм?
11.3.52.	Одна сторона прямоугольника а = 6 дм, другая b = 8 дм. Как
	изменится диагональ прямоугольника, если а уменьшить на
	4 см, а Ъ укоротить на 1 см?
11.3.53.	Радиус основания конуса равен 10,2 ± 0,1 см, образующая рав-
	на 44,6 ± 0,1 см. Найти объем конуса и указать погрешность,
	вызванную неточностью данных.

472

§4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Случай одной независимой переменной

Предположим, что z = f(x;y) — дифференцируемая функция двух переменных х и у в некоторой области D, а аргументы х и у являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной t, т.е. х = x(t), у = y{t). Тогда z = f[x(t); y(t)] = (p(t) — функция одной переменной t.

Теорема 11.9. Имеет место равенство

, _ dz _ dip		_ dz dx	dz dy
dt	dt	dx dt	dy dt'

Если t совпадает с одним из аргументов, скажем, t = х, то

dz	_ dz	dz dy
dx	dx	dy dx

и ^ называется полной производной функции z по х.

Случай нескольких независимых переменных

Если аргументы х и у функции z = f(x;y) являются функциями двух переменных, скажем, х = х(и; г>), у = у(щ v), то z = f[x(u\ v)\y(u\ i>)] также является функцией двух переменных и и v.

Теорема 11.10. Пусть z = f{x;y), х = x(u;v), у = у(щ v) — дифференцируемые функции своих агрументов. Имеют место формулы

dz	_ dz dx ^ dz dy		^	dz _	dz dx	dz dy
du	dx du	dy du		dv	dx dv	dy dv

Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.

Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции z = z(x;y), где x = x(u;v), у —

— y(u;v), можно получить, если в формуле дифференциала

dz = ^dx+%dy

заменить dx = j£du + j£dv и dy — ^du + ^dv.

473

В результате подстановки и перегруппировки членов при du и dv при-

ходим к формуле	dz ,
dz ,
az — —du -I- —dv,
ои	ov

показывающей, что форма (вид) дифференциала не зависит от того, являются ли х и у независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Неявная функция одной переменной

Функция у = у(х) называется неявной функцией, если она определяется уравнением F(x;y) = 0, неразрешенным относительно у.

Это значит, что при каждом значении хо, при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение у о так, что

F(x0;yo) = 0.

Теорема 11.11. Если F(x;y) — дифференцируемая функция переменных х и у в некоторой области D и Fy (x;y)^0, то уравнение F(x;y)=0 определяет однозначно неявную функцию у(х), также дифференцируемую, и ее производная находится по формуле

l=dy_		Ktov)
dx	Fy{x;y)'
В частности,	,	ч

Неявная функция двух переменных

Функция z = z(x; у) называется неявной функцией переменных х и у, если она определяется уравнением F(x\ у; z) = 0, неразрешенным относительно z.

Теорема 11.12. Если функция F(x;y;z) дифференцируема по переменным x,y,z в некоторой пространственной области D и F'z(x;y;z)^0, то уравнение F(x\y\z) = 0 определяет однозначную неявную функцию z(x;y), также дифференцируемую и

dz =	F^(x;y;z)	dz =	F^(x;y;z)
дх	F'z(x\ у; z)'	ду	F'z(x\y\z)'

474

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть Р0{х0; у о; zo) фиксированная точка на поверхности Г, заданной

функцией z = f(xm,y) или уравнением

F(x;y;z)

=

0.

^

Касательной плоскостью к Г в точке Ро называется плос-

кость t, проходящая через точку Ро и такая, что угол между

этой плоскостью и секущей, проходящей через Ро и любую точ-

ку Р поверхности Г, стремится к нулю, когда Р стремится к

Ро вдоль Г. Нормалью называется прямая п, проходящая через

Ро перпендикулярно t.

Из определения t и п следует, что нормальный вектор касательной

плоскости t и направляющий вектор прямой п совпадают.

Уравнения t и п имеют вид:

а) если Г задана явно функцией z = f(x\y), то:

(t)

:

z-z0 =

z'x(xo;yo)(x -

хо)

+ z'y(x0;yo)(y

~

(n) .

x-x0

=

y-yo

= z-z0.

zx(x0

;y0)

zy(x0;y0)

-

1

'

б) если Г задана уравнением F(x;y;z)

= 0 ,

то:

(t)

:

F^(xO]yo;zo)(x-xo)-\-FlJ(xo;yo',zo){y-yo)+F^(xo',yo;zo)(z-zo)=0,

(n) •

X - XQ

=

y-yo

=

Z-ZQ

Fx(x0;y0',z

0)

F'y

(xo',yo',zo)

F'

z(x0;yo]Zo)'

11.4.1.

Найти

производную

^

функции

z

=

ex2+y2, если

x =

a cost,

у = a sin t.

О

В этом примере подстановка х

и у

в z приводит к

=

= ea(cos2 t+sin2 *>

= ea. Следовательно, j = 0.

•

11.4.2.

Найти

если z = x5 -h 2x?/ — у3,их = cos2£,

у = arctg t.

О Непосредственная подстановка очевидно не упрощает

функцию z. Действуем согласно теореме 11.9.

dz

^

4

Л

dz

п

n 9

dx

Л . Л

dy

-f =

1

— = 5z4

+ 2?/,

— =

2х-3у2,

'

—

= —2 sin2£,

1+t2'

дх

'

ду

~

dt

dt

В результате можно как сохранить переменные х и

так и

заменить их через t (в зависимости от того, что проще). Ответ

оставим в таком виде:

dz

+ 2у) sin21 + (2х - Зу2)-

1

к.

•

— = —2(5х4

1 н-t

at

11.4.3.

Найти

если z = ху -h xyv + yuv, а х = sin£, у = 1п£,

и = е

=

arctg t.

475

о Имеем || = y+yv,				= x+xv+uv,						ху+иу
dx	_		dy _	1	du _	t	dv _		1
Составим соответствующую сумму произведений
dz	/.,	ч	.	/		ч 1	*			и
									х +		ш
— =у(1 + у) cos t + (ж -I- xv + ш;) - -I- yve Н										^у.	1
dt						t			X ")• t

Найти если z = z(x;y), х = x(t), у = y(t):

1 1 . 4 . 4 . z = х2 + у2 + xy, x = asint, у = a cost.

1 1 . 4 . 5 . z = cos(2t + 4x2 - у), x = ±, у =

1 1 . 4 . 6 .

z = x2y3u,x = t,

у

=

t2,

u = smt.

1 1 . 4 . 7 .

z =

ln(x -f 2/), ж =

у = 1 -

1 1 . 4 . 8 .

z = xy arctg(x2/), ж =

+ 1,

у = t3.

1 1 . 4 . 9 .

Z

=

e2x~3y, x =

tgt,

y

= t2-t.

1 1 . 4 . 1 0 .

z — xy, x = \nt,

y = sint.

1 1 . 4 . 1 1 .

Найти ^ и

если z = 3®2

arctg?/, x

—

у = uv.

О

Применим формулы из теоремы 11.10:

dz

ож2

n

1 о

dz

З*2

2>

— = 3Х

• 2 ж I n 3 a r c t g =

1 + 2/

<Эж

оу

_

1

Эж _

и

ду _

ду _

ди

г>'

dv

v21

ди

dv

Составляем суммы соответствующих произведений:

dz

Л_2

2xln3arctg2/

З*2

ди

= 3

v

— + "

+ 2/

1

2

dz _

2xuln3arctg2/

3х

^

v2

1 + у2

Ответ можно оставить в такой форме, или выразить через и и v

(т.е. основные переменные):

z'= 2^тv • 3?* In 3 arctg(ui>) +

1 -I- и v

,

z' = - 2 % • 3^ In 3 arctg(^) +

~~o~9 •

•

•

v

1 -h и v

2

1 1 . 4 . 1 2 . Найти дифференциал функции z=y> ес-™ х—и — 2i>, y=2u-\-v.

476

dudx = cos y, dxdv = у cosx,

0 0

oz , oz . dz = т—du + —dv,

ou ov dv = ||dx +

АА

ОПоскольку dz = щйу, то найдем все эти величины.

dz	_2х
дх	у '

dx = —du -I- — dv — du — 2dv, ou ov

Подставляем в dz:

dz _	х2
dy	у2'
dy = —du -f —dv = 2du -f dv.
	ou	ov

. x, ,	Л ,
		ч	x2
dz = 2- (du- 2 dv)				~(2du + dv).

УУ

Подставим выражения для х иу и перегруппируем члены, выделяя множители при du и dv:

	/2х	Л х	2 \ _
dz—				/	4х	х2\ _	—
	\у	2 —~\du+[			у	у2 У
		у2	У	V

- ? [ ' ( ' - ; ) * - Ю Н -

ix - 2г;	г	/	и - 2v\ _	/			_	i
						u - 2v\
-	2(1 -		)du -	4 +			Jdt; =
2IX + i; L		V	2ix +1; /	V		2ix +1; /		J
		_	и — 2v 2 [2(14 + 3v) du - (9и + 2v) dv]. •
		" (214 + i;)*
1 1 . 4 . 1 3 . Дано z = ln(ix2 +г>2), и = xcosу, v = у sinx. Найти								^ и dz.

О Здесь имеем другой порядок букв, а значит, формулы выглядят так:

где du = |^dx +

dz	_	2 и
ди		и2 +, V2 '
dz	_	2v
dv		it2 ,+ i2r>

Подставим

Имеем:

du dy dv dy

dz= и

+v 9 (cos у dx—x sin у dy) + и

+v9 (y cos x dx+sin x dy) =

( 2

и

2v

Trycosx

\ .

/

2uxsiny

2v

9

. \ .

= ( -я

9

COS y+—~

/

dx +

V

9

5~ + -5

s i n x )"!/•

\ix

+ir

ix2

+i;2

14

+v

u 2

W

/

Дальнейшая подстановка вместо и nv не улучшает структуру ответа. •

477

Для данных z = f{x;y), х = х(щ v),				у = y(u;v) найти		^ и dz:
1 1 . 4 . 1 4 .	z = х3 + у3,	где х = uv, у =
1 1 . 4 . 1 5 .	z = ^/х2 —	, где х =		у = u\nv.
1 1 . 4 . 1 6 .	z = cos ху, где х = ие^, у = i>ln и.
1 1 . 4 . 1 7 .	z = arctg ху, где х = у/и2			+ v2, y = u — v.
1 1 . 4 . 1 8 .	z = у/х + у,	где х = utgv, у = иctgi>.
1 1 . 4 . 1 9 .	z = In \/х2	+ 3у5, где х = itcosi>, у = иsini>.
1 1 . 4 . 2 0 .	Уравнение с двумя переменными 2х2 — 3у2 + Ъху — у3х + х5 = 37
	имеет решение (хо;2/о) = (2; —3). Определяет ли это уравнение
	неявную функцию у = у(х) в окрестности точки х = 2 и если
	да, то найти у'(х) и у'(2).				- 3у2 -I- Ъху - у3х -f х5 - 37. Имеем
	О Обозначим F(x; ?/) = 2х2
	F(2; - 3 ) = О, FJ = - 6 у + 5х - 3у2 х, F'x = 4х + Ъу - у3 + Ъх4,
	F'x(2; —3) =	100,	—3) =		- 26 . Условие F^(x0;y0) Ф 0 обес-
	печивает существование неявной функции у = у(х), дифферен-
	цируемой в некоторой окрестности точки хо = 2 и
		, ( х ) =	К(*>У)		= 4Х + 5З/-2/3	+ 5Х4
		У К )	Fy(x,y)		6у — Ъх + Зу2х

В частности, у'(2) = Ш = Щ.

Замечание. Производную у'(х) можно найти также следующим образом. Перепишем данное уравнение с учетом того, что у = у (х) есть функция от х:

2х2 - 3у2 (х) + 5х?/(х) - ху3 (х) + х5 - 37 = 0.

Тогда полная производная левой части этого равенства (тождества) также равна нулю, т. е.

4х —б2/(х) 'у'(х)-\-Ъу(х)-\-Ъх-у'(х) —у3(х) —Зху2(х)у'(х) + Ъх4 = 0.

Отсюда (аргумент х в записи у(х) опускаем)
= 4х + Ъу-у3 + Ъх4	#
6у — 5х + Зху2

1 1 . 4 . 2 1 . Дано уравнение — 8х2 + ху2 + 2х3у — 7 = 0. Соответствующая

линия пересекает прямую х = 1 в нескольких точках. Найти, сколько однозначных функций у = у(х) определяет данное уравнение в окрестности х = 1, и составить уравнения касательных к этим кривым.

О 1) Обозначим F(x; у) = -Sx2-\-xy2+2х3у — 7. Тогда F(l;y) = = у2 + 2у - 15 и у2 + 2у - 15 = 0 при у = 3 и у = - 5 . Надо полагать, что уравнение F(x;y) = 0 определяет в окрестности

478

х = 1 две однозначные функции (ветви). Проверим это. Имеем

= 2ху + 2х3 и ||(1;3) = 8,

- 5 ) = - 8 . Следователь-

но, F(x;y) определяет две однозначные функции у = у\(х) и y = y2 (®):yi(l) = 3, 2/2(1) = - 5 .

2) Имеем|^ = - 1 6 х + 2/2 + 6 х 2 2 / и | £ ( 1 ; 3 ) = 1 1 , | £ ( 1 ; - 5 ) =

	= - 2 1 . Следовательно, 2/1(1) =								у'2(\) = - 2 1 .
		3) Касательные					к 2/i(x) в (1; 3) и t2 к 2/2 (я) в (1; —5) имеют
	вид: у - 2/о = &(х —						где к = у[(1)		или 2/2(1)- Получаем
		(fi)	:		- з = _ П ( Х _ 1) или					И х + 82/ - 35 = О,
		(t2)	:		y +	5 =	-2i(x-l) или		21х + 82/ + 19 = 0.		ф
Найти	производные			у'(х)		неявных		функций,	заданных уравнениями:
11.4.22.	хе2у — 2/lnx = 8.							11.4.23.	еу	+ 9х2е~у - 26х = 0.
11.4.24. In		&		= a r c t g It.				11.4.25.	x2	In2/ - 2/2 lnx = 0.
						x
11.4.26.	1 + ху - \n(exy + е"**) =							0.
11.4.27.	Составить уравнения касательной и нормали в точке Мо(1; 1) к
	кривой у = у(х), заданной неявно уравнением х3 +2x2/3 — 2/^4 ~~
	- 2	= 0.
	О	Положим			F(x; у)		= х3 + 2х2/3 - ух4			- 2. Тогда F ( l ; 1) = 0.
	Далее имеем				Fy	= бху2 - х4 , F^(l; 1)			=	5, F'x = Зх2 + 2?/3	- 4х32/,
	i7^(1; 1) = 1. Условие Fy(l;l) ф 0 обеспечивает существование
	однозначной неявной функции у(х) в окрестности точки хо = 1.
	Уравнение касательной к у = у(х) имеет вид у — у о = к(х — хо),
	где к = у'(хо) = —						т.е. (t): у — 1		=	— i ( x — 1). Уравнение
	нормали имеет вид у — уо = —^(х —хо), т.е. (п): у — 1 = 5(х — 1).
	Ответ. (£)			: х Ъу — 6 = 0, (п): Ъх — у — 4 = 0.							•

Составить уравнение		касательной		прямой и нормали к кривой у = у(х),
заданной	уравнением	F(x;y)	= 0 в	точке Мо(хо;2/о)-
11.4.28.	х32/ — у3х = 6,		М0 (2;1).
11.4.29.	х2у2 — х4 — 2/4 + 13 = 0,			М0 (2;1).

11.4.30. Дано уравнение x2y—xy2—xyz+6+xyz3 = 0. Оно имеет решение (хо;2/о;^о) = (—2; 1;2). Показать, что в окрестности этой точки данное уравнение определяет однозначную неявную функцию z = z(x-,y) и найти J j , щ, dz в точке (хо;2/о) = (—2; 1) и в ее окрестности.

479