- •Двойной интеграл. Задача об объеме цилиндрического тела.
- •Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двойного интеграла.
- •Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.
- •Двойной интеграл в полярных координатах.
- •Тройной интеграл.
- •Теорема существования.
- •Вычисление тройного интеграла.
- •Вычисление объема с помощью тройного интеграла.
- •Криволинейный интеграл по координатам.
- •Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.
-
f(x,y) > 0
z z = f(x,y)
y П р и м е р . Вычислить объем, ограниченный
поверхностями: y = 9 – x2, x + z = 2, x = 0, y = 0,
x (D) z = 0 (x ≥ 0).
z z = 2 - x y
y = 9 – x2
9
9 y
2 0 x 2 x
x
-
Пусть требуется вычислить площадь области (В). Рассмотрим цилиндр, основание которого совпадает с областью (D), а высота равна единице.
z V = SD ∙ h = SD.
z = 1
y
x (D)
С другой стороны, .
П р и м е р .Вычислить площадь, ограниченную линиями: y2 = x + 1, x – y – 1 = 0.
x = y2 – 1, y2 – y – 2 = 0, y1 = -1, y2 = 2.
= -8/3 + 2 + 4 – 1/3 – ½ + 2 = 8 – 3 -1/2 = 9/2
y
2
x = y2-1 x = y +1
-1
x
-1
Двойной интеграл в полярных координатах.
M(ρ, φ) – полярные координаты точки М.
● M(ρ,φ) ρ – полярный радиус, φ – полярный угол.
ρ
φ
0
Формулы связи между декартовыми и полярными координатами имеют вид:
y
:
ρ y x = ρ cos φ, y = ρ sin φ
φ
0 x x
y
x = ρ cosφ, y = ρ sin φ, dS = dx dy = ρdρdφ
dφ dρ
x
ρ ρ + dρ
ρdφ
Двойной интеграл в полярных координатах имеет вид:
П р и м е р 1 .
Найти объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1, z = x2 + y2, z = 0.
ρ = 1
z
φ
z = x2 + y2 φ ρ
y
x
П р и м е р 2. Найти объем, ограниченный поверхностями z = x2 + y2, x2 + y2 – 2y = 0, z = 0.
z
(D)
ρ = 2sin φ
z = x2 + y2
φ
y 0 ρ x
Тройной интеграл.
Рассмотрим функцию u = f(x,y,z), в замкнутой области (V) трехмерного пространства.i
P(x, y, z) Рассмотрим задачу об определении массы тела (V) при
условии, что плотность распределения вещества не является
постоянной величиной. Рассмотрим частичный объем ∆V c массой ∆m. ∆m/∆V – средняя плотность.
(V) - плотность в точке P(x, y, z).
Pi(ξi, ηi, ςi ) Разобьем объем (V) произвольным образом на частичные объемы ∆Vi. В каждом частичном объеме ∆Vi возьмем точку Pi(ξi, ηi, ςi ) и найдем f(Pi)∙∆Vi. Это произведение равно массе ячейки ∆Vi при условии, что плотность постоянна и равна плотности в точке Pi.
(V)
Составим сумму Эта сумма называется интегральной суммой.
За массу следует принять предел при условии, что все ячейки сжимаются в точки.
(*) .
λ – наибольшая из хорд, стягивающих границы ячеек.
Предел (*), если он существует, если он не зависит от способа разбиения области (V) на частичные области и от выбора точек Pi, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) .
Очевидно, масса тела равна
.