- •Двойной интеграл. Задача об объеме цилиндрического тела.
- •Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двойного интеграла.
- •Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.
- •Двойной интеграл в полярных координатах.
- •Тройной интеграл.
- •Теорема существования.
- •Вычисление тройного интеграла.
- •Вычисление объема с помощью тройного интеграла.
- •Криволинейный интеграл по координатам.
- •Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Теорема существования.
Если функция определена и непрерывна в замкнутой области (V), то существует тройной интеграл от этой функции по области (V).
Вычисление тройного интеграла.
z z = φ2(x, y) Пусть область (V) такова, что любая прямая, параллельная оси z и проходящая через внутреннюю точку
области (V), пересекает границу
z = φ1(x, y) области ровно в двух точках.
Y Тогда
P(x,y)
(D)
Если областью (D) является круг, то при вычислении внешнего двойного интеграла переходят к полярным координатам x = ρ∙ cosφ, y = ρ∙sinφ. Тогда
Вычисление объема с помощью тройного интеграла.
П р и м е р . Вычислить объем, ограниченный поверхностями z = x2 + y2,
z = 2 – x2 – y2. z z = 2 – x2 – y2 x = ρcosφ, y = ρsinφ
ρ = 1
φ
z = x2 + y2 ρ
y
x (x, y)
Криволинейный интеграл по координатам.
Задача о работе переменной силы. Пусть в точках некоторой кривой (L) задана сила
y (L) F ={X(x, y); Y(x, y)}. Необходимо вычислить Fi работу этой силы при перемещении из точки А в
yi+1 Mi+1 точку В. Разобьем дугу АВ на частичные дуги MiMi+1.
yi Mi
xi xi+1 x
Будем считать, что сила на каждом участке МiMi+1 постоянна и равна силе в точке Мi.
Fi = {X(xi, yi); Y(xi, yi}.
Дугу MiMi+1 заменим вектором MiMi+1 {∆xi, ∆yi}. Тогда
∆Ai = (Fi AiAi+1) - частичная работа. Составим сумму
За истинное значение работы принимаем предел
Этот предел называется составным криволинейным интегралом по координатам x и у.
Очевидно, работа равна
.
Свойства криволинейного интеграла по координатам.
1. ●В
● С
●А
-
При изменении направления интегрирования знак криволинейного интеграла по координатам меняется на противоположный.
.
Замечание. Криволинейный интеграл можно вычислять и по замкнутому контуру.
При этом указывается направление интегрирования.
П р и м е р . где (L) – кривая y = x3 от точки М(1,1) до точки N(2, 8).
y = x3 , dy = 3x2dx
y
●N
●M
1 2 x
Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
●A Криволинейный интеграл зависит не только от начальной
L1 и конечной точек интегрирования, но и от кривой, по L2 которой совершается интегрирование.
A0●
y
A
A0 x
● N Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути
интегрирования. Тогда
C
D
M●
Т.е. интеграл по любому замкнутому контуру оказывается равным нулю.
Обратно, если т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Рассмотрим (*)
Можно доказать следующую теорему.
Для того чтобы интеграл (*) не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y).
Следующая теорема указывает окончательный признак, по которому можно судить о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Теорема.
Для того чтобы выражение X(x,y)dx + Y(x,y)dy было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство