Курсовая_интегралы_1
.pdfВАРИАНТ 21
I.Вычислить определенные интегралы:
1.∫1 1x+2 dxx6 ;
0
π
2. ∫3 tg4 xdx ;
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫e ln2 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
||
1. ∫sin |
|
x dx (известно, что ∫sin x dx = |
π ); |
2. ∫ |
|
; 3. |
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
x |
|
|
x |
||||||||||||||||||
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
2 |
1 x |
ln x |
|
0 |
e |
|
+ |
e |
|
||
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
dx |
|
|
|
1 |
|
x |
+1dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. ∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
; 5. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
8 |
−1 |
3 |
e |
x |
− e |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y = x(x −1)(x − 2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Вычислить длину дуги кривой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x =(t2 − 2)sin t + 2t cost, |
≤t ≤π, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
=(2 −t2 )cost + 2t sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
ВАРИАНТ 22
I. Вычислить определенные интегралы:
2x3 + 4x
1.∫0 (x +1)(x2 +1)dx ;
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
π∫ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
ln∫8 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln 3 |
|
e +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
∞∫ |
|
dx |
|
|
|
; 2. |
∞∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
3. |
3∫a |
|
|
2xdx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
(x −1) |
2 |
|
2 |
− 4x + 7 |
|
(x2 − a2 ) |
2/3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
−∞ x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
x − 4 + x + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∞ |
ln cos 1 / x |
|
|
|
|
∞ |
5 2 |
|
|
|
8 32 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
5. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
α |
|
|
|
|
4 |
x |
36 |
15 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y2 = x2 |
− x4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2. Вычислить длину дуги кривой: |
x |
= 2cost −cos 2t, |
− |
π |
≤t ≤ |
π |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 2sin t −sin 2t. |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
22
ВАРИАНТ 23
I. Вычислить определенные интегралы: |
|||||||||||||||
1. ∫2 2x −1 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ∫4 |
x2 cos 2xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
3 |
(x − 2)2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 3 (x − 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|||||||||||||||
∞ e− x dx |
|
|
2 |
dx |
|
|
2 |
|
|
dx |
|||||
1. ∫ |
|
; 2. |
∫ |
|
|
|
; |
3. ∫ |
|
|
|
||||
x |
x ln |
p |
x |
|
2 |
− 2x −1 |
|||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
1 x 3x |
|
Определить сходимость несобственных интегралов:
4. ∞∫ |
|
x2 − |
2 |
dx ; |
5. ∫1 |
x2 dx |
|
. |
|
3 2 |
|
1 − x |
4 |
||||
1 x |
x |
−1 |
0 |
|
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: y2 = −x(x +1)2 .
2.Вычислить длину дуги кривой:
ρ= 2eϕ , 0 ≤ϕ ≤ π3 .
23
ВАРИАНТ 24
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
π∫ |
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 2cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
3 |
x2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
∫ |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
∫1 |
2x − x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||
1. |
∫4 |
|
x2 dx |
|
|
; 2. |
∞∫ |
|
arctgx |
dx; |
3. |
−∫2 |
|
dx |
|
; |
|||
|
|
|
2 |
|
( |
2 3/2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
0 |
|
|
16 − x |
|
|
|
|
|
) |
|
|
−1 x x |
−1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 1 + x |
|
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов:
4. ∫1 |
|
dx |
|
; |
5. |
∞∫ xe−x dx . |
tg |
2 |
2 |
||||
0 |
x − x |
|
|
|
0 |
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: y2 = x2 − x3 .
2.Вычислить длину дуги кривой:
ρ= cos1 ϕ , 0 ≤ϕ ≤ π3 .
24
ВАРИАНТ 25
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
−1 (x +1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
−∫2 |
x3 − x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
π∫ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π 1 −sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
n |
|
−x |
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. ∫x |
e |
|
|
dx, n N ; 2. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫ |
|
|
|||||||
|
|
(20 − x |
2 |
) |
1 − x |
2 |
|
(2 |
− x) 1 − x |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||||||
|
∞ arctgxdx |
1 |
ln (1 + 5 x3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. ∫ |
|
|
x |
α |
5. ∫ |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = ln (x + 2),y = 2ln x,
y = 0.
2.Вычислить длину дуги кривой:
ρ= sin1ϕ , π4 ≤ϕ ≤ 34π .
25
ВАРИАНТ 26
I. Вычислить определенные интегралы:
1. ∫2 x2 ln xdx ;
1
π
2. |
∫2 |
|
dx |
; |
|
|
|
||
3 + cos x |
|
|
|||||||
|
π |
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∫4 |
|
x2 + 3 |
dx ; |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1. |
∞∫ |
dx |
|
; |
2. ∫4 |
ctgxdx; |
|||
(1 + x) |
|
||||||||
|
1 |
x |
0 |
|
∞ xdx
3.∫2 x3 −1
Определить сходимость несобственных интегралов:
4. ∫1 |
|
dx |
; |
5. |
∞∫ |
|
ln xdx |
|
. |
5 |
10 |
x |
2 |
1 |
|||||
0 |
|
1 − x |
|
|
1 |
x − |
|
III.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = 2x2 ,
y = x3 .3
2.Вычислить длину дуги кривой:
ρ= a cos3 ϕ3 , a > 0.
26
ВАРИАНТ 27
I. Вычислить определенные интегралы:
1. ∫9 |
xdx |
|
; |
|
x −1 |
||||
4 |
|
2. ∫1 arccos xdx ;
0
1x2 +3x
3.∫0 (x +1)(x2 +1)dx ;
II. Вычислить несобственные интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
x3 arcsin x |
|
|||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
2. ∫ |
tgxdx; 3. ∫ |
|
|
dx. |
|||||||
|
(x −1) |
x |
2 |
|
|
1 − x |
2 |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
− 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
sin2 3x |
|
|
|
|
2 |
(x − 2)dx |
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx ; 5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
3 |
x |
4 |
+ 2 |
x |
3 |
−3x |
2 |
+ |
4 |
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
III.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
|
− x |
2 |
, |
y = x |
|||
|
|
|
|
1. |
1 − x. |
||
y = x |
|||
|
|
|
|
2.Вычислить длину дуги кривой:
ρ= asin4 ϕ4 , a > 0.
27
ВАРИАНТ 28
I. Вычислить определенные интегралы:
1. |
∫4 |
dx |
; |
|
|
1 + 2x +1 |
|
||||
|
0 |
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
2. |
∫ |
|
; |
||
1 +sin x + cos x |
|||||
|
0 |
|
3. ∫1 xe−x dx.
0
II. Вычислить несобственные интегралы:
∞ |
x2 +12 |
dx |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
dx |
|
|||||||||||||
1. ∫( |
( |
|
|
|
|
|
|
)2 |
; |
|
|
3. ∫ |
. |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
−2 |
x 2x +1 |
|||||
0 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ∫0 |
ln x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||
4. ∫2 |
|
x |
|
|
|
dx ; |
|
5. |
∞∫ |
ln (1 + x5 ) |
dx . |
|||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 e |
|
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
x + |
x |
III.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
|
|
x |
2 |
|
|
|
y = |
|
, |
|
|
|
2 |
|
|||
1. |
|
|
|
||
|
x2 |
− 4x +16 |
|
||
|
|
|
|||
|
y = |
|
|
|
. |
|
|
|
6 |
||
|
|
|
|
|
2. Вычислить длину дуги кривой: ρ = a cos5 ϕ5 , a >0
28
ВАРИАНТ 29
I. Вычислить определенные интегралы:
1. |
−∫2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−3 x |
|
x |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
∫3 xarctg |
x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
−∫1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
+ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|||||||||||||||||||||
1. |
∫1 |
|
|
|
|
x4 dx |
|
|
; |
2. |
∞∫ |
|
x ln xdx |
; |
|||||||
( |
|
2 |
|
) |
|
|
|
|
2 |
|
2 2 |
||||||||||
|
−1 |
x |
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
( |
|
) |
|
||||||
|
|
|
+1 1 |
|
|
|
0 1 + x |
|
|
π
3. ∫2 ln (sin x)dx.
0
Определить сходимость несобственных интегралов:
|
|
( |
) |
|
|
dx |
|
|
∞ |
1 + arcsin 1 / x |
|
1 |
|
|
|
||
4. ∫ |
|
|
|
|
dx ; 5. ∫ |
|
|
. |
1 + |
x |
3 |
|
3 |
x(ex −e−x ) |
|||
1 |
|
|
0 |
|
III.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
1. x = y2 (y −1),
x = 0.
2. Вычислить длину дуги кривой: y = 4 − x2 , y ≥ 0 2
29
ВАРИАНТ 30
I. Вычислить определенные интегралы:
π
4
1. ∫ dx ;
0 1 + 2sin2 x
2.∫2 2x −1 dx ;
1x3 + x
3.π∫xsin xdx .
0
II. Вычислить несобственные интегралы:
|
∞ arctg (1 − x)dx |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
3. ∫x ln (sin x)dx |
|||||
|
|
3 (1 |
− x) |
4 |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−2 x |
|
+ 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||
4. |
∞ arctg |
x3 |
|
3 dx2 ; |
5. |
π sin |
1 |
|
dx |
. |
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
∫0 |
|
|
1 + x |
x |
|
∫0 cos x x |
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = 2x2ex ,
y = −x3ex .
2.Вычислить длину дуги кривой: y2 =8x, − 4 ≤ y ≤ 4.
30