Курсовик 1 сем.Мат.анализ.МТУСИ. 18.10.2012г

					Вариант 21
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
		(2x - p )2	æ (1	+ x)	1
	а) lim				1 x ö x
			; б) lim ç	e	÷ .
	x®p 2 cos2 x		x®0 ç		÷
			è		ø
2.	Провести исследование и построить график функции y = xarctgx .
3.	Построить график функции в полярной системе координат r =10cosj + 3.
4.	Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной
	пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех
	таких пирамид наибольшую боковую поверхность.
5.	Вычислить y(21)		функции	y = 2x cos2 (x / 3).

6.Cчитая, что ln10 » 2,30258 , вычислить lg11с помощью формулы Тейлора с точностью до 10-4 .

ìx = et

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

îy = arcsin t

t

= 0 и вычислить y¢¢

(x ).

0

xx

0

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x2 - y2 = p 2 .

ln 1

- x

2

)

2

e

-x2

+ x

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

(

.

x3

x®0

на отрезке

10. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции y = 3 8x - x2

[0;8].

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 22

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1

а) lim x3 ln2 x ; б)

x®+0

lim xln(shx) .

x®0+

2.Провести исследование и построить график функции y = ln (x + x2 + 1).

3.Построить график функции в полярной системе координат r = 2(1 - cosj).

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких пирамид наибольший объем.

5.Вычислить y(22) функции y = (x2 + x)cos2 x .

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

				n	x	k
приближенной формулы: ex » å							,0 £ x £1.
				k =0	k!			ìx = cost
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой								ï			в точке
								í	(t / 2	)
								ïy = sin4
	p							î
t =		и вычислить y¢¢	(x	).
0	3	xx	0

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y - 0.5sin y = x .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	ex2	-1 - xsin x	.
		x4
x®0

10.В какой точке касательная к параболе y = x2 параллельна хорде, соединяющей точки A(-1;1) и B (3;9)?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 23

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

æ 1

а) lim ç

x®0 è x3

	arctgx ö					2	x		x
-			÷; б)	lim	(3x		+ 3 )	1	.
	x	4
			ø	x®+¥

1

2.Провести исследование и построить график функции y = (x - 2)e x .

3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = 3ctgj .

4.На правой ветви гиперболы y = 12 , x > 0 , найти точку C , ближайшую к

прямой l : 3x + 4 y +16 = 0 .		x
5. Вычислить y(23) функции y =		x		.
	1 - 5x

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: sin x » x - x3 + x5 , x £1.

3! 5!

ìx = arctgt

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

îy = t 2 / 2

	t	=1 и вычислить y¢¢	(x ).
	0	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ex - ey = y - x .
	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim			ln (1 - x)	+ xe-x
9.						.
				x2
			x®0

10.Проверить, что между корнями функции f (x) = x 2 - 4x + 3 находится корень

еепроизводной. Пояснить графически.

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 24

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) lim	arctg (x -1)			; б)	lim (p - 2x)cos x .
x®1+ x2 + x - 2					x®p 2-

- 1

2. Провести исследование и построить график функции y = xe x2 .

3. Построить график функции в полярной системе координат(r ³ 0) r = 3cos-1 j . 3

4.Найти сторону основания a и боковое ребро b правильной шестиугольной призмы, вписанной в сферу единичного радиуса и имеющей среди всех таких призм наибольшую полную поверхность.

5. Вычислить y	(24)		y =		x2
		функции					.
				1 - 2x

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: cos x »1 - x2 + x4 - x6 , x £ 0,5 .

2! 4! 6!

ìx = tgt

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

îy =1 / sin 2t

	t =	p	и вычислить y¢¢	(x	).
	0	3	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y ln y = x .
9.	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim					ex - ln (1	+ x)2 - e-x	.
							x2
					x®0

10.Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = x3 - 5 и найти c на [-1;2].

11.По графику функции построить график ее первой производной

								Вариант 25
1.	Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
	а) lim	arcsin x - arctgx				; б)	lim (tgx)cos x .
	x®0	(	+ x	2	)		x®p	-
		ln 1
							2
									2	1
2.	Провести исследование и построить график функции y = ln (x									-1)+		.
											x2 -1

3. Построить график функции в полярной системе координат(r ³ 0) r = 3sin-1 j . 3

4.Найти радиус основания R и высоту H прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольший объем.

5. Вычислить y	(3)		x/2	æ		3	ö
		функции y = e		cosç				x ÷.

èø

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: tgx » x + x3 , x £ 0,1.2

3

7.	Составить уравнения касательной и нормали к кривой					ìx = cos t + sin t	в точке
						í
						îy = sin 2t
	t =	p	и вычислить y¢¢	(x ).
	0	2	xx	0
8.	Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: y = cos(x + y) .
	Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim				ln (1 - 2x) + 2x2 + sin 2x
9.								.
						x3
				x®0

10.На кривой y = x3 найти точку, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(-1;-1) и B (2,8).

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 26

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

æ	1				1	ö		lim xx .
а) lim ç		-				÷	; б)
			e	x	-1
x®0 è tgx						ø		x®+0

2. Провести исследование и построить график функции y = ln x . x

3.Построить график функции в полярной системе координат (r ³ 0) r = sinjj .

4.На отрезке прямой между точками A(2;1) и B (4;5) найти такую точку C ,

чтобы сумма квадратов расстояний от неё до двух прямых: l1 : 4x - y - 8 = 0 , и l2 : x + y -10 = 0 , была наименьшей.

5.

Вычислить y(3) функции

y = e2 x sin2 x .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

приближенной формулы: ln (1 + x) » x -

x2

+

x3

-

x4

,

x

£ 0,1.

2

3

4

ìx = t

3

в точке

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

í

и вычислить y¢¢ (x ).

îy = sin t

t = p

0

xx

0

8.

Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x2 - 3xy + y2 =1.

9.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim

ex -1 - x

.

x®0

1 - x - cos x

10. Написать формулу Коши для функций

f (x) = x2 - 2x + 3

и

g (x) = x3 - 7x2 + 20x - 5 , и найти c на [1;4].

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 27

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

æ	2				1 ö		; б) lim x	(ln 3) / (1 - x)
а) lim ç				-		÷			.
		2
x®0 è sin			x		1 - cos x ø		x®1

2. Провести исследование и построить график функции y =

x

3x2 -1

.

3.Построить график функции в полярной системе координат r = 1 + 2sin 2j .

4.Найти основание a и боковую сторону b равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольший периметр.

5. Вычислить y(4) функции y = x2 sin2 x .

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: 1 + x »1 + x - x2 + x3 ,0 £ x £ 0,2 .

2	8	16
			ì
				t
			ïx =			t0 = 26
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой			í		в точке
			ïy = 3	t
			î

ивычислить y¢¢xx (x0 ).

8.Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: ey = 4x - 7 y .

xcos x - arctgx

9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim (1 - x3 ) .

10. Написать формулу Лагранжа для функции f (x) = 3x3 + 3x и найти c на

[0;1].

11. По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 28

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

p

(

tgx + 2 /

(

2x - p

))

p

(

cos x

)

-çæln(p -2x)÷ö-1

; б)

è

ø .

а) lim

lim

x®

x® 2-

2

2. Провести исследование и построить график функции y = 18(x + 2)2 . x3

3.Построить график функции в полярной системе координат r = 2sinj + 3 .

4.Найти основание a и боковую сторону b равнобедренного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса и имеющего среди всех таких треугольников наибольшую площадь.

5. Вычислить y	(28)		y =	3 - 2x2
		функции				.
				2x2
					+ 3x - 2

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: 1 - x »1 - x - x2 - x3 ,0 £ x £ 0,2 .

2	8	16	ì
				-t
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой			ïx = 2	в точке t0 =1
			í
			ïy = 22t
			î

ивычислить y¢¢xx (x0 ).

8.Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: x - y = ex+y .

9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim 1 + 2tgx - ex + x2 .

-sin x

10.Применима ли теорема Ролля к функции f (x )= 3 x2 - 3x + 2 на отрезке [1;2] ? Если да, то найти c .

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 29

1.

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

æ 1 ö-1 /

1 - ln x

а)

lim (p - 2arctgx )×ln x ; б) lim ç

÷

.

2

x®+¥

x®+0 è x

ø

2.

Провести исследование и построить график функции y =

e2-x

.

2 - x

3.

Построить график функции в полярной системе координат

r =

1 - 2sin 2j

На правой ветви квадратичной гиперболы y =

4

4.

2

, x > 0 , найти точку C ,

ближайшую к началу координат.

x2

5.

Вычислить y(3) функции

y = x28 ln x .

6.

Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность

æ

p ö

æ

p ö2

p

£ x £

p

приближенной формулы: ctgx »1 - 2ç x -

÷ + 2

ç x -

÷

,

.

4

2

è

4 ø

è

4 ø

7.

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

ìx = sin 2t

в точке

í

t

= 0 и вычислить y¢¢

(x

).

îy = et

0

xx

0

8. Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: 3 x + 3 y = 36 .

9. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim	1	+ 2x3 - cos x4
			.
x®0		tgx - x

10.В какой точке касательная к кривой y = ln x параллельна хорде соединяющей точки A(1;0) и B (e;1)?

11.По графику функции построить график ее первой производной

Вариант 30

1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

(p / 2) - arctgx

-1 /

а) lim

; б)

(

+ x

2

)

ln x

.

(

) (

( ) (

))

lim 1

x®+¥ 1 / 2 ln

x -1 / x

+1

x®+¥

2. Провести исследование и построить график функции y =

4x3

+ 3x2 - 8x - 2

.

2 - 3x2

3.Построить график функции в полярной системе координат r = 1 + 2cos 2j .

4.Найти радиус основания R и высоту H прямого кругового цилиндра, вписанного в сферу единичного радиуса и имеющего среди всех таких цилиндров наибольшую полную поверхность.

5.Вычислить y(3) функции y = x20ex .

6.Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближенной формулы: arcsin x » x + x3 , 0 £ x £ 0,5 .

6

ìx =1 - t2

ï

7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой í в точке

ïîy = t - t3

t0 = 2 и вычислить y¢¢xx (x0 ).

8.Вычислить производную 2-го порядка от неявной функции: 3x - 5 = y2 .

9.Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim x1 + sin x + ln (1 - x) .

x®0	tgx - sin x

10.Удовлетворяют ли функции f (x) = ex и g (x) = x2 / (1 + x2 ) условиям теоремы Коши на отрезке [-3;3]?

11.По графику функции построить график ее первой производной