Integraly_MTUSI

ВАРИАНТ 11

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. òsin 5xe

cos5 x

dx ;

4. ò

dx

;

x3 + x

3

2.

ò xarctgxdx ;

5. ò

xdx

;

(2x - 8)dx

1 +

x

3.

ò

;

6. òsin4 x ×cos5 xdx .

1 - x - x

2

II. Вычислить определенные интегралы:

a

e

dx

a

2

- x

2

1.

ò

;

4. ò

dx ;

x

x

2

x

1

1 - ln

1

p

dx

5

2

x -1

2. ò

, (ab ¹ 0); 5. ò

dx

a

2

sin

2

x + b

2

cos

2

x

0

1

x

3

x

3. òx arcsin

dx ;

0

3

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

2 / 5

dx

1.

ò

;

3. ò

.

x ln

3

x

x

25x

2

-1

e2

1/ 5

1dx

2.ò0 (3 - x)1 - x ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

p

¥

3x2 + 7x -1

2

ln sin x

4. ò 4

dx ;

5. ò

dx .

15

10

- 8

x

1

15x

- x

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éx2 + y2 + 6x - 2 y + 8 = 0,

1.

ê

( x ³ -3) ,

ê y = x2 + 6x +10,

êx = -3

ë

2.

ér = 2a cos3j,

(r ³ a

> 0),

-

p

£ j

£

p

ê

9

9

ër = a

3.Вычислить длину дуги всей кривой y = 3x (x -1)2 , которая расположена в вертикальной полосе, левее прямой x =1.

ВАРИАНТ 12

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

tg

dx ;

dx

x -1

4. ò

;

3

+ 5sin x

x -1

ò

(x +1)

5. ò

2.

dx ;

8 - x2 + 2xdx ;

(x

2

- 4x

+ 4)(x - 5)

3. ò

arcsin

x

dx ;

6. ò

ex

+ 2

dx .

x

e2 x + 4

x

II. Вычислить определенные интегралы:

-

p

4

3

xdx

1/ 2

arcsin

x

1.

ò

cos

;

4.

ò

dx ;

3

-

p

sin x

1/ 4

x(1 - x)

2

3

3

x

x2 -1

2.

ò

xarctg

dx ;

5. ò

dx

x

4

0

3

1

+1

a

3. ò x2

a2 - x2 dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

¥

dx

1. ò

;

3. ò

.

x

2

x 1 + x

2

+ x

4

1

1

+ 4x +13

8

x3dx

2. ò

;

64 - x

2

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

x2 + x + 3

¥ arctgx

4.

ò

dx ;

5. ò

dx .

x

5

x

20

+ x

10

+1

1

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éx2 - 4 y2 =1,

ér =1 + cosj,

1.

ê

(r

£1

+ cosj, r £1).

ê y = 0,

2. ê

ê

ër =1

ëx = 4 y.

3

(

)

3. Вычислить длину дуги той части кривой y =

1

x2 + 2

3 , которая

расположена в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми

y = 8 и y = 9 . 3

ВАРИАНТ 13

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

x

dx ;

4. ò

x -1

dx ;

2x3 + 3x2 + x

2 - x2

5. ò

1 +

3

dx ;

2.

ò x3 ln xdx ;

x -1

3

x +1

x -1

ò

dx ;

6. ò

cos xdx

3.

.

sin2 x - 6sin x + 5

x2 - 2x + 3

II. Вычислить определенные интегралы:

e

sin (ln x )dx

1

xdx

1. ò

;

4. ò

;

2

1

x

-1

x

- x +1

p

2

dx

1

15

8

2. ò

;

5. òx 1 + 3x

dx.

1 + a

2

sin

2

0

x

0

p

2dx

3.pò3 + cos x ;

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

¥

dx

1. ò

;

3. ò

.

x

2

+ x -1

2

1 x 3x

- 2x -1

2

1

xdx

2. ò

;

2

0

x + 5x

Определить сходимость несобственных интегралов:

2

cos (1/ x2 )dx

p

1

dx

4. ò

;

5. ò

.

x

3

x

4

0

0

-1

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é

é y = x,

êr = 2 / (1 + cosj),

1.

x Î[0;p ].

ê

ê

2. êr =1/ (sinj + cosj ),(j ³ 0),

ë y = x + sin2 x

ê

p

ê

.

j =

2

ë

2

1

-

3. Вычислить длину дуги той части кривой y =

x3

, которая

x

3

2

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x =1 и x = 4 .

ВАРИАНТ 14

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

dx

4. ò

x2 - 3

;

dx ;

x

x3 + 2x2 - 3x

4 - ln2 x

2. òe

5. ò

dx ;

dx ;

1 - x2

x

3. ò

x - 3

dx ;

6. ò

dx

.

cos2 x + 2 sin x ×cos x + 2sin2 x

3 - 2x - x2

II. Вычислить определенные интегралы:

1

x3dx

-1

dx

1. ò

;

4. ò

;

x

8

x 2x

2

-1

0

+1

-2

p

2

cos xdx

3

x

2

+ 2x

2. ò

;

5. ò

dx

6 - 5sin x + sin

2

0

x

2

x

e

3. ò(1 - ln x)2 dx ;

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

e2

dx

1. -ò¥

;

3. ò1

.

x2 - 6x +12

x

ln x

6

dx

2. ò

;

2

2 3 (4 - x)

Определить сходимость несобственных интегралов:

p

¥

xdx

4

sin xdx

4. ò

;

5. ò

.

e

x

x

x

0

-1

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

ê

(

y

- ex

)

= sin x,

éx

ê

3

j

1. ê2xy = 2s in x + x

,

2. r = sin3

.

êx = 0,

3

ê

ëx =1.

5

-

5

5

, которая

3.Вычислить длину дуги той части кривой y =

5 x6

x4

6

16

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x =1 и x = 32 .

ВАРИАНТ 15

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

e2 xdx

4. ò

sin3 2x

;

dx ;

e4 x + 3

cos2 2x

2. ò(x -1)e3 xdx ;

5. ò

dx

;

x

2

4 - x

2

(

)

x2 + 9x +10

dx

3. ò

x

dx ;

6. ò

.

(x + 2)(x

2

+ 4x + 6)

x + 3

II. Вычислить определенные интегралы:

p

3

dx

3

1.

ò

;

4. ò xarctgxdx ;

2

x

4

x

p cos

×sin

1

6

1/ 4

4

xdx

arcsin xdx

2.

ò

;

5. ò

x(1 - x)

2 + 4x

1/ 8

1

5dx

3.ò3 x2 1 + x2 ;

III. Вычислить несобственные интегралы:

4

2

dx

¥

dx

1. ò

x

;

3. ò

2

+ 5x +11

2

-4

16 - x

-¥ x

¥

dx

2. ò

;

2

1 x

(1 + x)

Определить сходимость несобственных интегралов:

1

¥

xn dx

x3

+ x2 +1

4. ò

, n Î N ;

5. ò

dx .

x

4

+ 2x

2

-1

1 - x

4

0

1

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = x2 + 4x + 5, x = 0,

1.

ê

= const (прямая проходит через точку минимума функции

ê y

ê

= x

2

+ 4x + 5).

ë y

2.

ér = 2 + sin 2j,

ê

= 2

+ cosj (r £ 2 + sin 2j, r ³ 2 + cosj)

ër

3. Вычислить длину дуги той части кривой, y = 1 x4 + 1 x-2 , которая

4 8

расположена в вертикальной полосе, ограниченной прямыми x =1 и x = 2 .

ВАРИАНТ 16

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

(

x -1 dx

dx

1. ò

)

;

4. ò

;

3 (x +1)

2

(x2 - 9)

5

2.

òtg5 xdx ;

5.

ò

xdx

;

8 - 2x + x

2

2dx

3. ò

;

6.

ò x ln (x +1)dx .

x (x +1)

(

x

2

+1

)

II. Вычислить определенные интегралы:

p

ln 5 ex

ex

+ 2

4

dx

, (ab ¹ 0);

1. ò

dx ;

4. ò

e

x

+

3

2

cos

2

x

2

s in

2

0

0 a

+ b

x

p

3

dx

2. òex cos2 xdx ;

5. ò

.

5 + 4x - x

2

0

2

4

xdx

3.

ò

;

-1

x + 5

III. Вычислить несобственные интегралы:

5

¥

5 + x

dx

1. ò

dx ;

3.

ò

x

2

+ 8x + 25

0

5 - x

-¥

¥ (1 + 2x)dx

2. ò1 x(1 + x)2

;

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

¥

sin (1/

x)

4.

ò x sin xdx ;

5.

ò

dx .

x

0

1 2 + x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éy = x4 - 2x3 + x2 + 3

ê

1.êи прямой, проходящей через точки минимума функции

êë y = x4 - 2x3 + x2 + 3.

		ì	1
	2.	ïx =			cos t,
			3
		í

ïî y = 2sin t.

x

3. Вычислить длину дуги всей кривой y = ò t +1dt, которая

-1

расположена в вертикальной полосе, левее прямой x = 4 .

ВАРИАНТ 17

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. òcos(ln x)dx ;

4. òsin 4

x

dx ;

3

(3x - 2)dx

2.

ò

;

5. ò

2xdx

;

(x -1)(x

2

+ 8)

3

2x + 1

3. ò

x2 dx

6. ò

;

e

x

-1dx .

(

)5

x2 +1

II. Вычислить определенные интегралы:

2

ex

9

1. ò

dx ;

4. òx 3 1 - xdx ;

x

-

1 e

1

1

p

2

2

2

dx

1 + x

2.

ò

dx ;

5. ò

.

0

1 - x

0 5

+ 2cos x

e

3. ò(x ln x)2 dx ;

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

xdx

¥

1. ò

;

3. òe-2 x cos xdx .

(

3

4x

2

)

0

+1

0

1dx

2.ò0 x(1 - x) ;

Определить сходимость несобственных интегралов:

1	ln 1	+ 3		x2	)		¥
									x	3	+	x	2	+1
4. ò	(					dx ;	5. ò									dx .
	e	x	-1							3
0							1		x		+ 3x +1

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

	é y = x2 - 2x + 2,
1.	ê	= 0
	êx
	ê	касательной к кривойy = x	2	- 2x
	ëи

ìx = 2 + 3cost,

2.í

îy = 3 + 2sin t.

3.Вычислить длину дуги всей кривой:

+ 2 в точке(3;5 .)

ìx = cos 2t,

í

îy = sin 2t.

ВАРИАНТ 18

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

x3

+ x +1

1. ò

dx ;

4. ò

xdx

;

x

(

x

2

)

x + 2

+1

2.

ò

dx

;

5. ò

dx

;

3

+ 2sin x

x

x

2

+ 2x + 2

3. òx2e3 xdx ;

6. ò

(2 + x)dx

.

1 - 2x - x

2

II. Вычислить определенные интегралы:

ln 3

x

5

e

e

x

+1

dx

1. ò

dx ;

4. ò

;

e

x

0

+ 3

0 2x + 3x +1

1

dx

1

2. ò

;

5. òx3e2 xdx.

2

)

2

-1

(1 + x

0

2p

dx

3.

ò

;

0

5 - 3cos x

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

¥

xdx

1.

ò

;

3. ò

.

2

(x2 +

5)

3

-¥ x

- 4x + 24

2

2 / 3

dx

2.

ò

;

x

9x

2

-1

1/ 3

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥		dx			¥	dx
4. ò				;	5. ò				.
						(1 + x)
		3
0		x + x			0		x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = -x2 + 2x

1.ê

êëи касательными, проведенными к кривой в точках (0,0

	ì	3	t,	ìx = a cost,
2.	ïx = a cos
	í			и í
	ïy = a sin3 t			îy = a sin t.
	î

ìx = et (cost + sin t ),

ï

3. Вычислить длину дуги кривой: í 0 £ t

ïîy = et (cos t - sin t ).

)и 3;(-3).

£ p .

ВАРИАНТ 19

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

ln3

(x -1)

dx ;

4. ò

(2x + 4)dx

;

x -1

1 - x - x

2

2. ò

dx

;

5. ò

x5 +1

dx ;

2 + sin x

x3 - x2

3. ò(x

2

+ x +1)e

- x

dx ;

6. ò

x2 -1

dx .

x2

II. Вычислить определенные интегралы:

6

dx

1

arcsin xdx

1. ò

;

4. ò

;

+ 3x - 2

1 1

0

x +1

p

2

dx

2

dx

2. ò

;

5. ò

.

5 + cos x

2 + 3x +

3x

2

0

1

1

3. ò

3 - 2x - x2

dx ;

-1

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

(1 + 2x)dx

2

dx

1. ò

x

2

(1 + x)

;

3. ò

.

2 + 3x - 2x

2

1

3 / 4

2

x -1

2. òx

dx;

1

2 - x

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

2

æ

1

ö

dx

¥

(3 + sin x)dx

4. òctg

ç

÷

×

;

5. ò

.

x

2

3

x +1

x

0

è

ø

1

IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é			1
ê y =						,
	x	2
ê				x
êx = 4,

êê y = 0. êë

ìïx = 3t2 ,

2. Вычислить площадь петли кривой: í

ïîy = t - t3.

		ìx = 2	(cost + t sin t ),		p		p
	3. Вычислить длину дуги кривой:	ï		-		£ t £		.
		í	(sin t - t cost ).
					2		2
		ïy = 2
		î

ВАРИАНТ 20

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

dx

;

4. ò

x4dx

;

(x +1)

x4 -1

x2 +1

2.

òsin6 xdx ;

5. ò

x2dx

;

(9 + x2 )

5

3.

ò

xdx

;

dx

.

sin2 x

ex (3 + e-x )

II. Вычислить определенные интегралы:

p

3

p

dx

1

1. ò

×

;

4. ò x arcsin xdx ;

2

2

p

3

2sin

x + 3cos

x

2

4

2

(

p

3

7x +1 dx

sin 2xdx

4

2. ò

)

;

5. ò

.

6x

2

+ x

1 + sin

2

2

-1

p

x

6

3 / 2

3.

ò

2x + x2 dx ;

1/ 2

III. Вычислить несобственные интегралы:

2

3

1

3x

2

+ 2

dx

x dx

1. ò

;

3. ò(

)

.

4 - x

2

3

x

2

0

0

¥

dx

2. -ò¥

;

x2 + 6x +17

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥ sin (1/ x)

1

xdx

4.

ò

dx ;

5. ò

.

2

4

+ x

x

1 - x

6

1

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é

a3

(a > 0)

ìx = a cos t,

1.

ê y =

a

2

+ x

2

2.

ï

ê

í

= bsin t ×cos

2

t

(a > 0;b > 0).

ïy

êи асимптотой

î

ë

ì

t

sin t,

p

3. Вычислить длину дуги кривой:

ïx = e

0 £ t £

.

í

t

ïy = e cos t.	2
î