Integraly_MTUSI

ВАРИАНТ 21

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1. òx2 ln xdx ;

4. ò

(

2x - 8

)

dx

;

1 - x + x

2

(

5x3 + 2)dx

2. ò

5. ò

dx

;

;

x3 - 5x2 + 4x

x4

x2 -1

1 - 3

dx

3. ò

2x

dx ;

6. ò

.

sin3 x ×cos3 x

2x

II. Вычислить определенные интегралы:

x

2

+

3

dx

p

p

4

1

2

3

4

1. ò(

)

ò

x dx

; 3.

òtg 4 xdx ;

4. ò

dx

;

; 2.

x + 2

6

1

+ 3sin

2

3

0

1 + x

p

0

x

6

e

5. òln2 xdx.

1

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

2

x

¥

sin x

p

1. ò

sin

dx (если известно, что ò

dx =

);

2

0

x

0

x

2

e

dx

¥

dx

2. ò

;

3. ò

.

x

3

x

+

e

x

1

ln x

0 e

Определить сходимость несобственных интегралов:

2					1
		dx						x		+1dx
4. ò					5. ò
				;										.
	x	8	-1			3
							e		x	- e		-x
-2					0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éy = x(x -1)(x - 2),

1.ê

ë y = 0.

éy = 2

êx = t - sin t, (и двумя первыми арками циклоиды)

2. ê

ê y =1 - cos t.

ë

3. Вычислить длину дуги кривой:	ïìx = (t2 - 2)sin t + 2t cos t,	0 £ t £ p .
	í
	ïy = (2 - t 2 )cos t + 2t sin t.
	î

ВАРИАНТ 22

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

x3 +1

1 -

1. ò

x

dx ;

4. ò

dx ;

1 +

x3 - x2

x

2.

ò

dx

;

5.

òe-x sin 3xdx ;

5 + 4x - x

2

3.

ò

dx

;

6.

òsin

5

2x

×cos

4

2xdx .

x ln p x

II. Вычислить определенные интегралы:

2

x3 + 4x

2

3

1. ò

dx ;

4. òsh

xdx ;

2

+1)

0 (x +1)(x

0

p

3

xdx

1

ex dx

5. ò

2. ò

;

.

2

x

e

x

+ e

-x

p cos

0

6

ln 8

dx

3.

ò

;

x

ln 3

e

+1

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

3a

2xdx

1. ò2

;

3. ò0

;

(x -1)2

(x2 - a2 )2 / 3

¥

dx

2. -ò¥

;

x2 - 4x + 7

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥ ln cos(1/ x)

¥ 5

x2 - 4 + 8 x32 + x10 +

1

4.

ò

dx,a Î R ;

5.

ò

dx .

x

a

4

x

36

15

+1

1

1

+ x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

éìx = at - bsin t,

1.

y

2

= x

2

- x

4

.

2.

êí

- b cost

(0 < b £ a)

êîy = a

ê

ëи касательной, к ней в низших точках.

3. Вычислить длину дуги кривой:

ìx = 2cos t - cos 2t,

p

£ t £

p

.

í

-

2

2

îy = 2sin t - sin 2t.

ВАРИАНТ 23

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

dx

;

4. ò

dx

;

(x -1)

x3 + 8

x + 6

2.

ò

sin 2xdx

;

5.

ò

dx

;

1 + sin2 x

sin4 x

3.

ò

x cos xdx

;

6.

ò

dx

.

sin3 x

2

(x +1)(x - 3)

II. Вычислить определенные интегралы:

p

2

2x -1

4

1. ò

dx ;

4. òx2 cos 2xdx ;

0

2x +1

0

29 3

dx

2

e1/ xdx

(x - 2)2

2. ò

;

5. ò

.

x

2

2)

2

1

3 3 + 3 (x -

2

dx

3. ò

;

x

2

+ 2x + 3

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥ e-

x

dx

2

dx

1. ò

;

3. ò

.

x

x

3x

2

0

1

- 2x -1

2

dx

2. ò1

;

x ln p x

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

x2 -

2

1

x2dx

4.

ò

dx ;

5.

ò

.

x

3

x

2

-1

1

- x

4

1

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

1. y2 = -x (x +1)

2

.

ìx = a sin 2t,

2. í

îy = bsin t, a > 0,b > 0,t Î[0;2p ].

3. Вычислить длину дуги кривой:

r =

ej , 0 £ j £

p

.

2

3

ВАРИАНТ 24

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

x3dx

;

4. ò

dx

;

x

2

+ 3

x

x

2

-1

2.

ò

x9dx

;

5. ò

dx

;

(

+ x

5

)

2

1 + 2sin2 x

1

)

dx

(

+ x

dx

3. ò

ln 1

6. ò

;

.

x2

(x2 - 4x + 4)(x2 - 4x + 5)

II. Вычислить определенные интегралы:

p

dx

1

dx

1. ò0

;

4. ò0

;

3 + 2cos x

4x2 + 4x + 5

p

2

3

x2 + 4

4

sin x + cos x

ò

2.

dx ;

5. ò

dx.

x

2

3

+ sin 2x

2

0

1

3. ò

2x - x2 dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

4

x2dx

-2

dx

1. ò

;

3. ò

;

16 - x

2

x

2

-1

0

-1 x

	¥	arctgx
	2. ò0		dx;
		(1 + x2 )3 / 2

Определить сходимость несобственных интегралов:

1		dx			¥
4. ò				;	5. ò	xe-xdx .
	tg	2	2
0		x - x			0

IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: y2 = x2 - x3 .

		ì		t			(3			2	),
2.	Вычислить площадь петли кривой:	ïx =							- t
				3
		í
		ï			2
		îy = t
3.	Вычислить длину дуги кривой: r =		1					, 0 £ j £				p	.
			cosj
											3

ВАРИАНТ 25

I. Вычислить неопределенные интегралы:

1. òx2 cos xdx ;

4. ò

dx

;

(x

2

+16) 9 - x

2

2. ò

dx

5. òcos

5

xdx ;

;

x3 - 5x2

3. òx

2

- x3

6. ò

dx

e

dx ;

.

x

10x

2

- 6x

+1

II. Вычислить определенные интегралы:

-1

x +1 dx

;

2a

1. ò (

x

3

) 2

4. ò 2ax - x2 dx ;

-2

- x

0

a

p

x sin xdx

2

a - x

2. òx

dx, (a > 0) ; 5. ò

a + x

1

+ cos

2

x

0

0

p

3xdx

3.pòsin2 x ;

4

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

1

dx

1. òxne-xdx, n Î N ;

3. ò

.

0

0 (2 - x)

1 - x

1

dx

2. ò

;

2

) 1 - x

2

-1 (20 - x

Определить сходимость несобственных интегралов:

(1 + 5

)

¥ arctgxdx

1 ln

x3

4. ò

,a Î R ;

5. ò

dx .

x

a

e

x2

-1

0

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = ln (x + 2),

ìx = 4cos3 t,

1.

ê

= 2ln x,

2.

ï

ê y

íy = 8sin3 t,

ê

= 0.

ï

ë y

îy ³ 3 3

	3. Вычислить длину дуги той части кривой r =	1	, которая
		sinj

расположена в прямом угле, биссектрисой которого является ось ординат.

ВАРИАНТ 26

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

dx

;

4. ò

2x5 - 2x +1

dx ;

1 - x4

(4 + x2 )3

2.

òx2 sin 2xdx ;

5.

ò

xdx

;

3

2

2x -10

x - x

3.

ò

dx ;

6.

ò

dx

.

5 + 3sin2 x

1 + x - x2

II. Вычислить определенные интегралы:

4

dx

4

x2 + 3

1. ò

;

4. ò

dx ;

0 1

+

x

3

x - 2

2

3

2. òx2 ln xdx ;

5. òarctg

xdx.

1

1

p

4

3. òln (1 + tgx )dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

1.	¥			dx						;	3. ¥		xdx			.
	ò1 (1 + x)
									x		ò2 x3 -1
	p
	4
2. ò				ctgxdx;
	0
	Определить сходимость несобственных интегралов:
	1			dx							¥		ln xdx
4.	ò								;		5. ò								.
			5
					10								x x		2		-1
	0			1 - x							1
IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
		é y = 2x2 ,
	ê				x3
	ê
		ê y =					.
					3
	ë

ìx = at - t2 ,

ï

2. Вычислить площадь петли кривой: í

ïîy = at2 - t3 , a > 0.

3. Вычислить длину дуги кривой: r = a cos3 j , a > 0. 3

ВАРИАНТ 27

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

x2 + 9

dx ;

4. ò

x4 + x3 + 2x2 + x + 2

dx ;

x4

x4 + 5x2 + 4

2.

òx

2

cos 2xdx

;

5.

ò

xdx

;

3x +

3

x

2

2x - 8

3.

ò

dx ;

6.

ò

dx

.

1 + sin2 x

1 - x + x2

II. Вычислить определенные интегралы:

9

1

x2 + 3x

xdx

1. ò

;

4. ò

dx ;

2

+1)

x -1

4

0 (x +1)(x

1

2

2. òarccos xdx ;

5. òx ln xdx.

0

1

ln 2

3.

ò

ex -1dx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

¥

dx

1 x3 arcsin x

1.

ò

;

3. ò

dx.

(x -1) x

2

- 2

1 - x

2

2

0

p

2

2. ò

tgxdx;

0

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

sin2 3x

2

(x - 2)dx

4. ò

dx ;

5. ò

.

x

3

- 3x

2

+

4

3

x

4

+ 2

0

1

IV. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = x - x2 ,

ê

êë y = x 1 - x,

ìx = t2 - a2 ,

ï

2. Вычислить площадь петли кривой: í

ïîy = t3 - a2t, a > 0.

3. Вычислить длину дуги кривой: r = a sin 4 j , a > 0. 4

ВАРИАНТ 28

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

dx

4. ò

5dx

;

;

x4 + 3x2 - 4

(9 + x2 )3

2.

òxarctg 2 xdx ;

5. ò

xdx

;

3

3x + 4

1 - x

ò

6. ò

dx

3.

dx ;

.

2sin2 x - sin 2x + cos2 x

x2 + 6x +13

II. Вычислить определенные интегралы:

4dx

1.ò0 1 + 2x +1 ;

		p
		2			dx
	2. ò					;
			1		+ sin x + cos x
	0
	1/ 2

	3	dx
	4. ò2		;
		x2 - 2x - 8
	1
	5. òxe-xdx.
	0

3. ò arcsin xdx ;

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

	¥	(	x2		+12		)	dx		-	1
										4				dx
1.	ò							2 ;	3.							.
			(				)			-
					2								x	2x +1
				x		+1				ò1
	0
											2

¥ ln x

2. ò dx;

0 1 + x2

Определить сходимость несобственных интегралов:

2

¥ ln 1 + x5

)

x

4. ò

dx ;

5. ò

(

dx .

e

sin x

x +

x

0

-1

0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é	x2
ê y =		,		ér2 = a2 (1 - 2cos 2j),
	2
1. ê		2.		ê
ê	x2 - 4x +16			ër = a, r £ a.
ê y =
		6
ë

3. Вычислить длину дуги кривой: r = a cos5 j , a > 0. 5

ВАРИАНТ 29

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

x2dx

;

4. ò

x3 + 8x - 2

dx ;

x4 + 4x2

9 - x2

2.

òxctg 2 xdx ;

5.

ò

xdx

;

4

4x +1

1 +

x

3.

ò

dx ;

6.

ò

dx

.

6 - 3cos2 x

2 + x - x2

II. Вычислить определенные интегралы:

-2

dx

1

xdx

1. -ò3

;

4. -ò1

;

x

x2 + x +1

x2 -1

3

x

1

dx

2.

ò

xarctg

dx ;

5. ò

.

x

2

1

4

0

+ 2x + 2

p

dx

2

3. ò

;

0 2 - sin x

III. Вычислить несобственные интегралы:

p

1

x4dx

2

1.

ò

;

3. òln (sin x)dx.

(

)

x

2

+

1 - x

2

-1

0

1

¥

x ln xdx

2. ò0

;

(1 + x2 )2

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥	1 + arcsin (1/ x)					1		dx
4. ò						dx ; 5. ò				.
	1 +		x	3			3 x(ex - e-x )
1						0

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

				é			a sinj,
				êr =		3
é	2	(y -1),		ê					j
1. êx = y			2.	êr =	2a sin2						,
ëx = 0.				ê	2
				ê				j
				êr ³ 2a sin2						, a > 0
				ë	2

3. Вычислить длину дуги всей кривой y = 4 - x2 , расположенной в

2

верхней полуплоскости.

1 + x2

ВАРИАНТ 30

I.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ò

16 - x2

4. ò

x3 - x -1

dx ;

dx ;

x4

x4 - x2

2.

òxtg

2

xdx ;

5.

ò

xdx

;

3

4x -

x

2

5x - 3

ò

ò

tgxdx

3.

dx ;

6.

.

sin2 x + 3cos2 x

2x2 + 4x - 5

II. Вычислить определенные интегралы:

	p
	4				dx
1. ò0									;
			1 + 2sin			2 x
	p
2.	òxsin xdx ;
	0
	sh 2				dx
3.	ò							;
				1 + x		2
	sh1

4. ò2 2x -1 dx ;

1 x3 + x

5. ò1 ln (1 + x)dx.

0

III. Вычислить несобственные интегралы:

	¥ arctg (1 - x)dx												p
1.	ò											;	3. òx ln (sin x)dx.
				3 (1 - x)					4
	0												0
	-1						dx
2.	ò											;
			x		3x		2	+ 2x -1
	-2

Определить сходимость несобственных интегралов:

¥

æ

x3

ö3 dx

p

æ

1 ö

dx

4. ò

ç arctg

÷

;

5. òsin ç

÷

.

1 + x

2

x

2

0

è

ø

0

è cos x ø

x

IV.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

é y = 2x2ex ,					ér2 = 2sin 2j,
					ê
1. ê	3	x	.	2.	êr =1,
ë y = -x		e			ê
					ër ³1.

3.Вычислить длину дуги всей кривой y2 = 8x, расположенной в вертикальной полосе, левее прямой x = 2 .