- •Глава 8 малые колебания динамических систем с степенями свободы
- •8.1. Положения равновесия. Устойчивость
- •Примем далее следующее
- •8.2. Собственные линейные колебания механических систем
- •8.3. Колебания линейных цепочек
- •8.4. Колебания двух связанных математических маятников
- •Найдем теперь, алгебраические дополнения . Для этого нужно вычеркнуть в характеристическом детерминанте последнюю строку, -й столбец и умножить оставшийся определитель на . Имеем
- •8.5. Линейные колебания консервативных систем с одной степенью свободы
- •8.6. Вынужденные колебания
- •8.7. Затухающие колебания
- •Общее решение уравнения (74.8) имеет вид
- •Где . Запишем правую часть как . Частный интеграл ищем в виде , причем . Подставляя решение в уравнение движения, получим
- •Решение, удовлетворяющее начальным условиям , имеет вид
Глава 8 малые колебания динамических систем с степенями свободы
8.1. Положения равновесия. Устойчивость
При рассмотрении задачи о собственных линейных колебаниях механических систем будем предполагать что:
1. Связи, наложенные на систему, стационарны, голономны, идеальны, а внешние силы от времени не зависят и являются потенциальными1.
2. Система обладает положением устойчивого равновесия.
Поскольку мы будем рассматривать линейные (малые) колебания, встает задача линеаризации уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесия. Значит, нужно найти такие положения. С этого и начинается исследование собственных колебаний механической системы. В положении равновесия все обобщенные силы должны быть равны нулю т. е.
. (1.8)
Зная , из (1.8) находим . Если обобщенные силы зависят от и то для нахождения положений равновесия системы нужно в (1.8) подставить значения и решить полученные уравнения относительно .
Мы рассматриваем системы, на точки которой действуют потенциальные силы, поэтому уравнения (1.8) принимают вид
, (2.8)
где - потенциальная энергия системы как функция обобщенных координат. Решения этих уравнений определяют те значения координат, при которых система может находиться в равновесии; этих положений может быть несколько, причем равновесие в некоторых из них может быть устойчивым, а в некоторых - неустойчивым. Устойчивость равновесия удобно рассматривать в фазовом - мерном пространстве (пространство состояний). Механическое состояние в нем представляется в виде точки М -мерного пространства, по осям которого откладываются обобщённые координаты и обобщённые скорости .Точку М называют изображающей точкой.
Так как устойчивость равновесия рассматривается относительно обобщённых координат и скоростей, то уравнения Лагранжа формально удобно переписать в виде системы уравнений 1-го порядка по времени
, . (3.8)
Легко видеть, что (3.8) является системой уравнений 1-го порядка по времени относительно функций и . Уравнениями (3.8) определяется некоторое движение (состояние) системы , , подлежащее исследованию на устойчивость; оно называется невозмущенным движением. Решения и являются частными решениями дифференциальных уравнений (3.8), удовлетворяющими начальным условиям при :
(4 8)
Если теперь изменить начальные условия, придав начальным значениям переменных и небольшие по модулю приращения при ,т.е. переходя к начальным условиям
,
, (5.8)
то соответствующее этим условиям движение называют возмущённым движением, а величины , - возмущениями. Возмущенное движение удобно характеризовать с помощью отклонений, или вариаций, величин:
(6.8)
при этом если все отклонения равны нулю, возмущенное движение и будет совпадать с невозмущенным движением . Мы видим, что невозмущённому движению отвечают нулевые значения переменных и а в фазовом пространстве ему отвечает неподвижная точка .
Заметим, что уравнения (3.8) будут уравнениями возмущённого движения, если считать, что в положении равновесия потенциальная энергия системы равна нулю, а все обобщённые координаты отсчитывать от этого положения, т. е. в формулах (6.8) нужно положить все равными нулю.