Глава 5

СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК.

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ

ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИ

ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

5.1. ПОЛНЫЙ ИМПУЛЬС СИСТЕМЫ

Будем предполагать, что на систему из Nматериальных точек действуют внешние силы и что силы взаимодействия между точками системы подчиняются третьему закону Ньютона. Силы взаимодействия между точками системы называют внутренними. По предположению внутренние силы между двумя точками системы, скажемi-й иj-й, равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: .Полагаем также, что . Запишем уравнения движенияi-й точки:

(1.5)

и просуммируем (1.5) по всем точкам:

(2.5)

Определим полный импульс системы точек как сумму

(3.5)

Учитывая, что второй член в правой части (2.5) равен нулю, получаем закон изменения полного импульса системы точек в виде

(4.5)

Вектор Р можно записать и в другом виде:

(5.5)

Здесь мы ввели обозначения для полной массы системы материальных точек и

(6.5)

для радиуса-вектора центра масс (или центра инерции) системы. С учетом (6.5) уравнения (4.5) можно переписать в виде

. (7.5)

Систему называют замкнутой, или изолированной, если на нее не действуют внешние силы: . Из (7.5) видим, что внутренние силы не оказывают влияния на движение центра масс замкнутой системы.Они также не будут влиять на движение центра масс системы, если внешние силы не зависят от координат, т. е. являются однородными.

Эти утверждения можно сформулировать в виде теоремы Если сумма внешних сил, действующих на систему частиц, равна нулю, то полный импульс не изменяется во время движения.Полный импульс есть трехмерный вектор¹. Поэтому если проекция силы на какое-то направление равна нулю, то сохраняется,соответствующая проекция полного импульса системы точек. Пусть, например, ,тогда.

5.2. Полный (кинетический) момент импульса системы

Под полным моментом импульса (кинетическим моментом) системы материальных точек понимается сумма

.

Найдем :

. (8.5)

Мы учли, что каждый вектор равен нулю, и использовали уравнения движения (1.5). Преобразуем сумму

.

Здесь мы приняли во внимание, что . Поэтому

(9.5)

Производная по времени кинетического момента равна полному моменту внешних сил.

Теорема. Если суммарный момент внешних сил (проекция на какое-либо направление), действующих на систему материальных точек, равен нулю, то ее кинетический момент (соответствующая его проекция) остается неизменным во времени.

Подчеркнем, что по предположению внутренние силы, действующие в системе, подчиняются третьему закону Ньютона.

Получим удобное представление кинетического момента системы частиц относительно точки О (рис. 1.5). Согласно правилу сложения векторов имеем

,

где -скорость центра масс системы частиц относительно (неподвижной) системы отсчета с центромО,- скоростьi-й точки относительно системы отсчета, движущейся поступательно вместе с центром масс системы частиц. Последняя система отсчета называется системой центра масс. Преобразуем:

. (10.5)

Мы учли, что , так как начало движущейся системы отсчета совпадает с центром масс системы частиц и, значит, радиус-вектор центра масс в этой системе отсчета равен нулю.

Таким образом, кинетический момент равен сумме кинетического момента, возникающего вследствие движения этой системы материальных точек относительно центра масс и момента импульса в предположении, что вся масса системы материальных точек сосредоточена в центре масс. Подчеркнем что зависит от выбора точкиО, так как в явно входитТолько в том случае, когда центр масс неподвижен относительноО(тогда), кинетический момент не зависит от выбор этой точки и сводится к.