Глава 7 уравнения лагранжа

7.1. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПРИ НАЛОЖЕННЫХ СВЯЗЯХ

Под связями понимают не вытекающие из уравнений движения ограничения, налагаемые на положения (радиусы-векторы) и скорости точек системы. Связи можно представить себе реализуемыми поверхностями, стержнями, нитями и т. п.; аналитически связи выражаются уравнениями связей, т. е. соотношениями между . Начальные условия теперь не произвольны, точка не свободна, так как в произвольный момент времени должны выполняться соотношения

. (1.7)

Это голономные связи. Функционально они зависят только от координат и времени. Точнее, если все уравнения связей можно представить в виде (1.7) до интегрирования уравнений движения, т. е. если можно проинтегрировать уравнения связей (которые, как было сказано выше, могут зависеть от скоростей) независимо от уравнений движения, то связи называются голономными. Если уравнения связей проинтегрировать нельзя, так что в них остаются скорости, то связи называют неголономными.

Различают связи, когда ни в одно из соотношений (1.7) время явно не входит (стационарные, или склерономные) и когда (1.7) явно зависят от времени (нестационарные, или реономные связи). Силы, с которыми тела, осуществляющие связи действуют на точки механической системы, называют реакциями связей.

Связи вносят в задачи механики две трудности. Во-первых, не все являются независимыми, так как они связаны определёнными соотношениями. Следовательно, не все уравнения движения являются независимыми. Во-вторых, силы, возникающие в результате действия связей (силы реакции связей), априори не заданы. Они являются неизвестными величинами решаемой задачи и подлежат определению. Наложить на систему связи - это значит просто указать, что в системе действуют силы, которые прямо не заданы, но которые определенным образом влияют на движение системы.

Основная задача механики системы точек, на которую наложены голономные связи, формулируется как задача нахождения законов движения точек системы и реакций связей по заданным силам и заданным уравнениям голономных связей. Если задано соотношение вида (1.7), то она сводится к нахождению совместного решения уравнений движения и уравнений связей:

.

с начальными условиями, заданными в соответствии с уравнениями связей. Это система скалярных уравнений, содержащих неизвестных функций ( функций и ). В тривиальном случае связи полностью определяют движение системы. Если , то рассматриваемая задача является определенной только в том случае, когда известно независимых соотношений между положениями точек и реакциями связей.

7.2. Виртуальные и возможные перемещения

Виртуальным перемещением системы называют бесконечно малое изменение ее конфигурации, согласующееся со связями (наложенными на нее) в данный момент времени. Иными словами, если

(2.7)

то и

, (3.7)

т. е. уравнения (2.7), (3.7) должны удовлетворяться в один и тот же момент времени. Виртуальные перемещения являются геометрическими понятиями, не связанными с движением. Это вариации функций при неизменном значении аргумента, т. е. малые изменения вида функций. Это не перемещения точек системы во времени, а элементарные отрезки, которые по определению должны удовлетворять уравнениям связей в тот же момент времени что и .

Раскладывая из (3.7) и ограничиваясь линейными членами, получим

, (4.7)

или, так как удовлетворяют (2.7),

(5.7)

Так как число уравнений , то в выборе имеется произвол. Из общего числа после удовлетворения условий (5.7) произвольными останутся .

Действительным перемещением -ой точки называют бесконечно малое перемещение этой точки, происходящее под действием как заданных сил так и сил реакций связей¹; оно происходит за время .

Можно также ввести понятие возможных перемещений, удовлетворяющих только уравнениям связей. Действительные перемещения как одни из возможных удовлетворяют уравнениям

или

. (6.7)

К классу виртуальных возможные перемещения относятся только тогда, когда связи стационарны.

Понятие о виртуальных перемещениях позволяет ввести важный класс связей, называемых идеальными. Пусть сумма работ всех реакций связей на любых виртуальных перемещениях точек системы равна нулю:

. (7.7)

Связи, удовлетворяющие этому условию, называют идеальными. В дальнейшем мы будем рассматривать только те системы на которые наложены идеальные связи.

7.3. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ ОБРАТИМЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

ПРИНЦИП Д'АЛАЛМБЕРА.