§ 4. Умозаключения из суждений с отношениями

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суж­дениями с отношениями, называется умозаключением с отноше­ниями. Например:

Петр — брат Ивана Иван — брат Сергея

Петр — брат Сергея

Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отноше­ниями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным (от греческого sim-metria — «соразмерность»), если оно имеет место как между предме­тами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестанов­ка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Сим­метричными являются отношения равенства (если а равно b , то и b равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновремен­ности (если событие х произошло одновременно с событием у, зна­чит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.

Отношение симметричности символически записывается:

xRy  yRx.

2. Отношение называется рефлексивным (от латинского rе-flexio — «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а = b , то а=а и b = b )и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произо­шло одновременно с самим собой).

Отношение рефлексивности записывается:

xRy  xRx  yRy.

3. Отношение называется транзитивным (от латинского transi-tivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда из отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.

Транзитивными являются отношения равенства (если а равно b и b равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произо­шло одновременно с событием у и событие у одновременно с собы­тием z, значит, событие х произошло одновременно с событием z), отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, а меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, за­паднее)», «быть ниже, выше» и т.п.

Отношение транзитивности записывается:

(xRy  yRz) xRz.

Для получения достоверных заключений из суждений с отноше­ниями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойств отношений.

Из свойства симметричности (xRyyRx) вытекает правило: если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно. Например:

А подобно В В подобно А

Из свойства рефлексивности (xRyxRx  yRy) вытекает прави­ло: если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy. Например:

a=b

   а = а и b = b

Из свойства транзитивности (xRy  yRzxRz) вытекает правило: если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждение xRz также истинно. Например:

К. был на месте происшествия раньше Л.

Л. был на месте происшествия раньше М.

К. был на месте происшествия раньше М.

Таким образом, истинность заключения из суждений с отноше­ниями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным. Так, из суждений «Сергеев знаком с Пет­ровым» и «Петров знаком с Федоровым» не следует необходимого заключения «Сергеев знаком с Федоровым», так как «быть знако­мым» не является транзитивным отношением.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое умозаключение? На какие виды они делятся?

2. Какие знания называются выводными?

3. Какие умозаключения называются непосредственными?

4. В чем сущность операции превращения, обращения, противопоставления пре­дикату?

5. Как строятся умозаключения по логическому квадрату? Какова зависимость истинности или ложности одного суждения от истинности или ложности другого, если эти суждения находятся в отношениях, противоречия, противоположности, частич­ной совместимости, подчинения?

6. Что такое простой категорический силлогизм и каков его состав?

7. Назовите общие правила категорического силлогизма и логические ошибки, связанные с их нарушением.

8. Что такое фигуры и модусы силлогизма? Какие особые правила имеют 1-я, 2-я и 3-я фигуры? Охарактеризуйте значение этих фигур в познании.

9. Что представляют собой умозаключения из суждений с отношениями? Охарак­теризуйте основные свойства отношений.