- •Глава 3. Поляризационные эффекты при взаимодействии релятивистских частиц с плоской электромагнитной волной
- •10. Спонтанное излучение релятивистского электрона в поле плоской электромагнитной волны
- •10.1 Волновые функции и квантовые числа электрона
- •10.2 Вероятность спонтанного излучения поляризованного электрона
- •11. Само поляризация спина электрона в поле плоской электромагнитной волны.
- •11.1. Максимальная самополяризация электрона в плоской волне.
- •11.2 Анализ поведения электронного спина
- •12. Нелинейные эффекты в процессе взаимодействия плоской электромагнитной волны с электроном.
- •12.1 Модель квантовой электродинамики "электрон плюс квантованное поле плоской электромагнитной волны"
- •12.2 Вероятность излучения электрона в квантованной плоской волне
- •12.3 Процесс слияния фотонов на электроне
10.2 Вероятность спонтанного излучения поляризованного электрона
Интерпретируя взаимодействие электрона с вторично квантованным полем излучения как возмущение, можно получить для вероятности излучения фотона в единицу времени в первом порядке теория возмущения формулу [192]:
,, (3.13)
Здесь и- волновые функции начального и конечного состояний электрона определяемые как решения уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле, считающимся классическим. Далее,оператор, уничтожения фотона с импульсом,- четырехмерная матрица Дирака, связанная с двухрядными матрицами Паулисоотношением
(3.14)
Для изучения поляризационных свойств излучения амплитуду выберем в виде [192]
, , (3.15)
,
,,
- единичный вектор.
Используя сферическую систему координат для единичного вектора . Тогда
,,
,,
Здесь положим . Отметим, что подобный выбор векторов поляризацииисоответствует разложению излучения наикомпоненты линейной поляризации.
Для того, чтобы исследовать процессы с участием поляризованных электронов необходимо в явном виде выделить зависимость вероятности процессов от ориентации спина электрона в начальном и конечном состояниях.
Вероятность процесса с участием поляризованных электронов пропорциональна квадрату модуля матричного элемента, который всегда можно представить в виде
(3.16)
где ивекторы, определяющие ориентацию спина электрона в начальном и конечном состояниях,некоторое число,- вектор. С учетом (3.16) квадрат модуля матричного элемента приводим к виду
(3.17)
в этом выражении явно учитывается ориентация спина электрона, аналогичное выражение приводится в [12].
Если необходимо учитывать ориентацию спина электрона только в конечном состоянии, то усредняя в (3.17) по начальным спиновым состояниям, получим
(3.18)
Если просуммировать по конечным спиновым состояниям
(3.19)
В (3.17) векторы ипроизвольны, но если эти векторы совпадают, то (3.17) примет более простой вид
(3.20)
Нас в дальнейшем будет интересовать характер поведения электронного спина при спонтанном излучении в поле плоской волны. Это поведение полностью определяется вероятностью переходов с переворотом спина , где- спиновое число начального состояния,- спиновое число конечного состояния. Это можно объяснить тем, что поскольку вероятность зависит от начального (конечного) спинового состояния в явном виде, тогда различные спиновые состояния имеют разную устойчивость и при излучении спин электрона приобретает преимущественную ориентацию. Оказывается, что для волны круговой поляризации, т.е. для фотонов, имеющих определенную спиральность и спин которых ориентирован в одном направлении, наблюдается очень сильная зависимость вероятности переходов с переворотом спина от начального спинового числа[182, 183, 192, 193]. Физически очевидно, что можно обобщить и на случай электромагнитной волны произвольной интенсивности, что является физически объяснимым.
В связи с этим примем к рассмотрению монохроматическую плоскую волну круговой поляризации, потенциал которой будем определять формулой
,(3.21)
Здесь - амплитуда напряженности электрического поля волны,- частота волны,g=1 иg=-1 соответствуют право и лево поляризованной волнам.
Параметр , заданный 3.5 примет вид
(3.22)
Расчет матричных элементов процесса излучения для выбранного нами типа волны выполняется в аналитическом виде до конца [184-189,109].
Пусть вектор импульса излученного фотона есть . Вектор имеет вид
,,
,,(3.23)
где ,- сферические углы, определяющие направлениераспространения излученного фотона,- частота излучения.
Определим при помощи законов сохранения:
(3.24)
где - номер излучаемой гармоники. Отметим, что (3.24) пригодна для любой поляризации плоской монохроматической волны.
В предшествующих работах при расчетах полагали в начальном состоянии , либо,(это соответствует полному отсутствию дрейфа () в начальном состоянии). Тем не менее удалось выяснить, что это не упрощает расчетов, поскольку переход в систему координат, где, соответствует прео6разованию угловых переменных,. В дальнейшем вместо углов,будем использовать новые углы,связанные соотношениями с,:
(3.25)
,
,
,
,
,,
Частоту фотона из (3.24) определим через углы,следующим образом
,(3.26)
Эти замены позволяют значительно упростить вычисления вероятности Wизлучения с учетом ориентации начального (спиновый вектор, спиновое число) и конечного (спиновый вектор, спиновое число) спинов, её можно представить как
, (3.27)
,
,
,
,
где ,- функция Бесселя и ее производная,
,(3.28)
Для вектора справедливо соотношение
,(3.29)
Таким образом, единичный вектор параллелен конечному поперечному импульсуэлектрона в той системе координат, в которой в начальном состоянии поперечный импульс.