Zadachi

7.№8 Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой v = 100 МГц ее показатель преломления n = 0,90.

Решение:

Для плазмы ω0=0, поэтому 1

b

принимает вид

2

2

0

1

b

где b N

e2

/

m

e

2

0

0

ε=n2

n2

1

N0e2

0

m

e

4 2 2

n2 1

N0e2

m

e

4 2 2

0

N

m

4 2 2

0

0

e

(1 n2 ) 2.4 *107 см 3

e2

8.№9 Найти зависимость между групповой u и фазовой v скоростями для следующих законов дисперсии:

a) v 1/
б) v k
в) v 1/ 2

Здесь l, k и w - длина волны, волновое число и круговая частота.

Решение:

А) Для решения применим формулу Релея U v

dv

d

Пусть v a /

, где а – некоторая произвольная константа

d

a

a

a

3v

U v

v

v

d

3/ 2

2

2

	Б) По определению	U	d	, где vk , тогда U	d	(vk ) v k	dv
			dk		dk		dk
	Пусть v ak ,	где а- некоторая постоянная , в этом случае U v ak 2v

dk

d

( )

d

3

В) Пусть v a / 2 , где а – постоянная, тогда

3 / v

d

d v

a

d

Поэтому групповая скорость U

d

v

dk

3

9.№10 В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид uv=c2 где с -

скорость света в вакууме. Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты волны, e(w).

		d				n
	Решение: Исходим из выражения для групповой скорости U		, где k				, учитывая, что n	,
		dk		v		c

перепишем k в виде k

c

dk

1

d

1

(1)

d

c

d 2

dk

1

1

v

c

1

(2)

d

c2

nc2

U

U

c

Приравнивая (1) и (2), получаем

1

d

1

1

c

d 2

c

d

1

/умножая полученное выражение на ε, получим

2 d

d

1

2 d

Разделяя переменные ε и ω получаем

1 d

2 d

	d		2	d
	1

ln( 1) 2ln ln A , где А-константа.

Потенцируя последнее выражение , получаем

1 A

2

1 A

2

Задачи к государственному экзамену по курсу «Электродинамика»

17. Вычислить напряженности электрического и магнитного полей, создаваемых

зарядом q , движущимся в постоянной скоростью v.

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории r ro (t) .

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения P(x, y, z)

в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t , для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда ro (t ) в точку наблюдения Р как раз совпадают с разностью t t .

Пусть R(t) r ro (t) -радиус вектор от заряда е в точку наблюдения Р; вместе с ro (t)

он является заданной функцией времени.

t - момент времени, предшествующий времени наблюдения заряда t.

Тогда момент t определяется уравнением.
t		R(t )		t	(1)
			c
Для каждого значения t это уравнение имеет всего один корень t
В системен отсчета, в которой в момент времени					t частица покоится, поле в
точке наблюдения в момент t дается просто кулоновским потенциалом, т.е.
	e			А = 0	(2)
			,
	R(t )

Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь,

написав такой 4-вектор, который бы при скорости V = 0 давал для и А значения (2).

Замечая, что скорость согласно (1) из (2) можно написать также в виде

e c(t t )

находим, что искомый 4-вектор есть

	A	eV			и	e			-потенциалы ЛиенараВихерта.
							VR
		c(R	VR	)		R
							c
			c

			grad			1 A
		E
						c t
	H rot A
	grad i			j		k
			t		t		t
	R2 x2 y2			z2	-радиус-вектор точки наблюдения.

Rx R x

		e						v x
						1
		VR			2
								c R
	R
			c

аналогично для y и для z.

В результате:

grad			e					R
		2			V R
	R		1
					c

С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля E и H :

Опуская промежуточные вычисления, приведём получившийся результат:

V 2

1

RV

e

RV

E e

c2

(R

)

[R[(R

)V ]] ,

RV

RV

(R

)

3

c

c

2

(R

)

3

c

c

c

где V

V

t

H R1 [RE ]