Zadachi

№15(9). Дано: a, Р1(t=0)=1, P2(t=0)=0 Найти: Р1(t), P2(t)/

dP2

aP

aP

dt

1

2

dP1

aP aP

dt

2

1

P

1

dP1

P

2

a

dt

1

1 d

2 P

dP

aP

dP

1

1

1

a dt 2

dt

1

dt

d 2 P

dP

1

2a

1

0

dt 2

dt

k 2 2ak 0;

(k 2a)k 0

k1 0

k2 2a

P (t) C ek1t C

ek2t

1

1

2

P1 (t) C1 C2 exp( 2at) P2 (t) 2C2 exp( 2at)

aP1

C1 C2 exp( 2at)

Константы С1 и С2 находим из начальных условий: Р1(t=0)=1, P2(t=0)=0

P1 (0) C1 C2 1

P2 (0) 2C2 C1 C2 0

2C2 1

C2 12

C1 12

Ответ

P1 (t) 12 12 exp( 2at) P2 (t) 12 12 exp( 2at)

№11(2) Дано:
U вых aUвх		b
a,b const
										)2
						(U	вх	U
								1
w1 (U вх )		1					2 21
					e
	1		2

U 2 U вх ?

2

2 D[U вых ] ?

_________

Стат. Радиофизика

w1 (U вх )dUвх w2 (U вых )dUвых

замена:: U

Uвых

b

, dU

1

dU

вх

a

a

вх

a

вых

U

вых

b

1

w (U

вых

)dU

w

dU

2

вых

1

a

a

вых

a

U

вых

b

2

U

2

a

a

1

(Uвых b aU1)

1

2 21

1

2a2 21

e

e

a

a

2

2

1

1

))2

(U

вых

(b aU

1

1

e

2a2

21

a

2

1

2

2

2

2

a

1

; U 2

aU1 b

____

№13(5) Дано:

t k (t ) 2e

W ( ) ?

				i t dt
W ( ) k (t )e
		t				t (i	1	)
2	2e e i t 2 2				e
0					0

		2				t (i	1	)			2
	2									2
dt					e
	(i		1	)						i 1
									0

_______

№14(6) Дано:
W ,
W ( )	0	в				в
0,
					в

k (t ) ?

1

k (t )

W ( )ei t d

2

W

0

в

ei t d

W

0

i

в

t

i

в

t

W

0

i

i

в

t

2i

в

t

(e

e

)

e

(1 e

)

2

2 t

в

2 it

замена:

e2i вt 1 2i

в

t

k(t)

W0 в

e i вt

№16(10) Дано:
						x2
		1		e		2 2
		2

Доказать:

2n 1 0

2n 2n ( )

_______

_______

№12(3) Дано:

Случайный процесс:

u(t) U m cos( 0t ),

U m , 0 const

- случайная величина

распределена равномерно на [ , ]

Найти: u , u2

Доказать:

u(t) - стационарен

Используем соотношение :

x

(U )

(iU )n

n

(1)

n!

Найдем x (U ) для :

(

x2

iUx )

iUx

1

2 2

(U )

dx

dx

x

w( x )e

e

2

(

x

i U )

2U 2

2U 2

(

x

i U )

1

e

2

x

2

2

dx

2

i U )

e

e

e

d (

2

2

2U 2

2U 2

2

e

2

2 e

(2)

2

Разложим(2) в ряд:

(

2U 2

)n

2n

2n 2n

i

x

(U )

2

U

(3)

n!

2n n!

Приведем (3) к виду (1):

(iU )2n

2n ( 2n )!

x

(U )

2n n!

( 2n )!

2n

2n ( 2n )!

; 2n 1 0

2

n

n!

										U m
u U m cos( 0t )													cos( 0t )d 0
										2
		U	m	2								U	2		cos2 (	0	t ) 1			U	m	2		2		U	2
2						cos2 (			t )d				m						d								m
		2										2								2
u							0								2									2			2

Для доказательства стационарности покажем, что корелляционная

функциязависит ттольк от разностивремен:

							2
k(t			,t		)		U m		cos(				t		) cos(			t		)d
							2
	1			2									0 1				0		2
	U m			2			cos					t		) 2		d	U m			2	cos				t	)
										(t													(t
		4															4
									0	1			2									0		2	1
				2
		U m				cos 0 (t 2					t1 )
			4

1.Два одинаковых LC контура связаны общей емкостью. Показать, что нормальные моды колебаний описываются формулами

I

1

I

2

при 2 1/ LC

и I

1

I

2

при 2

3 / LC . I

1

- ток в первом контуре, I

2

- ток во

1

1

втором контуре.

Решение

L

i1

L

i2

C

C

i3

C

i1=i3+i2, i3=i1-i2 – закон Киргофа

Падение напряжения на катушке

L

di1

1

i dt

1

i i

dt 0

2

dt

C

1

C

1

di2

1

1

i i

dt 0

L

i

dt

2

dt

C

2

C

1

Дифференцируем по t

Li1 C1 i1 C1 i1 C1 i2

1 1 1

Li2 C i2 C i1 C i2

Li				2		i						1		i			0
																2
	1			C			1					C
	Li							1
											i		0
			2					C 1
							1				2i
	i															i		2		0
		1			LC								1
				i						1
															i		0
			2							LC						1

1 случай. I1=I2

0

0

					1			2i			i						1
i													0	i							i				0
	1			LC				1				1			1		LC						1			2		1
																															- уравнение гармонического осциллятора
		i						1		i		0		i			1				i 0							LC
		1				LC					1				1		LC						1
1 случай. I1=-I2
					1			2i			i						1
i													0		i								3i			0
	1			LC				1				1			1			LC					1			2			3
																																- уравнение гармонического осциллятора
		i							1		i 0					i				1				i		0			LC
					1				LC			1				1			LC						1

1.№1 За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние l между точками 1 и 2, если температура воздуха между ними меняется линейно от Т1 до Т2? Скорость звука в воздухе T , α – постоянная.

Решение:

Введём координаты:

	1			2
	0			x
				l
	v T
				(1)
	T(0) T1			(2)
	T(l) T2			(3)

T T(x) kx b (4)

Cначала подставим (2), а потом и (3) в выражение (4)

b T				T2 T1
	1	и	k
	kl T1			l
T2

Конкретный вид Т(х) :

T (x)

T2 T1

x T1

(5)

l

Пусть

T2

T1

(6)

l

Подставим (5) в (1)

v x T1

(7)

dx

x T1

(8)

dt

Решаем (8)

dx

dt

x T1

1

d(

x T1

)

dt

x T1

2

x T1 t

C

(9)

Здесь С обозначает некоторую произвольную константу.

Начальное условие для t=t(x)

t(0) 0					(10)
Подставим (10) в (9)
2				C
			T1		(11)

Подставим (11) в (9), получим конкретный вид t t(x)

	2
t(x)				x T					T
			1					1
Время прохождения расстояния l
			2l										)	2l				1
t(l)						(		T				T
	(T2 T1 )							2				1		T				T
													1					2

2.№2 Уравнение плоской звуковой волны имеет вид 60 cos(1800t 5.3x) , где ξ – в мкм, t – в секундах, х – метрах.

Найти: а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны; б) амплитуду колебаний скорости частиц и ее

отношение к скорости распространения волны; в) амлитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебаний относительной скорости частицы среды.

Решение:

а) В общем виде уравнение плоской звуковой волны имеет вид mCos( t kr) ,откуда находим амплитуду смещения частиц m 60мкм

Фаза волны t kr , где k

2

2

k

Откуда

находим,

что

отношение

амплитуды

смещения

частиц

среды к длине волны равно

m

m k

2

(1)

Из уравнения плоской звуковой волны

k=5.3

Подставляя численные данные в (1), окончательно получим

m

60 * 5.3

50.64мкм

2 * 3.14

б) Скорость частиц

t 60 *1800S in(1800t 5.3x)

где -60*1800=108000 мкм/c=108 м/с – амплитуда скорости Um

скорость волны находим из условия

φ=const

или 1800t-5.3x=const

, откуда

x=(1800t-const)/5.3

xt

- скорость волны

x

1800

339.6 м/с

t

5.3

Искомое отношение

Um

60 *1800

318.02

xt

339.6

в) x ;

x A;

x

;

4 A

=2*10 -4.

x

4

x

A A

№3 Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины l из немагнитного вещества, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения 1 на передней поверхности до 2 на задней. Найти время распространения данной фазы волны через этот слой.

Решение:

1 - диэлектрическая проницаемость вверху пластинки.

2 - диэлектрическая проницаемость внизу пластинки

0

l

x

Общий вид (x)

(x) Ce x (1)

(0) 1
									(2)
	(l)			2
Из соотношения (2) определим γ и С
	1	C				2	e l
									1
					2					1				1
l ln													ln			(3)
					1						l			2

Фазовая скорость электромагнитной волны

v(x) c /

(x) В нашем случае среда немагнитная, поэтому μ=1

v(x)

c

e x / 2

где с – скорость света в вакууме

dx

c

e x / 2

(4)

1

dt

e x / 2dx

c

dt

1

2

e x / 2

c

t C

(5)

1

1

Для определения константы С1 используем начальное условие t(0) 0 , подставив его в (5), получим

C				2		, поэтому
1
t(x)					1				2			1 e x / 2 , а искомое время
				c
		2l
																2				2l
t									1				1
																							1		2
	c ln 1						/ 2									1				c ln( 1 /	2 )

3.№4 Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью w = 21 рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке

Ф0 = 4,0 мВт.

Решение:

Согласно закону Малюса, Ф Ф0Cos2 t _ или _ I I0Cos2

Тогда энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, т.е. за один период T 2 / , определим следующим выражением

	T			Ф0	2
W Ф0Cos2 tdt					Cos2 d
	0				0
Здесь введено обозначение φ=ωt
2	2		Cos2						S in2
	1						1
Cos2 d						d (				)	02
0	0		2				2		4

W Ф0

4.№5 При падении естественного света на некоторый поляризатор проходит h1 = 30 % светового потока, а через два таких

поляризатора - h2 =13,5 %. Найти угол j между плоскостями пропускания этих поляризаторов.

Если при прохождении через поляризатор свет становится частично поляризованным и частично поглощается, то можно связать входящий и выходящий поток уравнением:

I1 = a I0 || , где а – коэффициент поглощения пластинки поляризатора , а I0 || составляющая входящего светового потока,

параллельная оси поляризатора; т.к. свет естественный то

I0 || + I0		┴ = I0	и I0 || = I0 ┴	; отсюда I0 || = I0 /2;
I1	= a I0	/2.
h1= I1/ I0 = a/2 ;				=>	a = h1 / 2;
Для второй пластинки, используя закон Малюса:
I2	= a I1	cos2 j	= a ∙ a ∙ (I0 / 2)		∙ cos2 j =>	I2 / I0 = (a2 / 2)∙ cos2 j = h2 = 2 h12 ∙ cos2 j

a arccos		h2			30
		2h	2
		1

5.№6 На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора составляет угол j = 45° с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.

Дано:

В общем случае коэффициент отражения равен:

φ=45°

J отр

(1)

J пад

?

J пад n Eпад 2

Eпад|| 2

J отр n Eотр 2 Eотр|| 2

1

0

2

0

Для естественного света

E

2

E

пад

2 .

пад ||

В данном случае свет плоскополяризован, разложим его на составляющие Е

пад||

E 0

cos ,

Е

пад

E 0

sin , где

пад

пад

φ – угол между плоскостью поляризации падающего плоскополяризованного света и плоскостью падения, Eпад0 - модуль вектора

электрической напряжённости падающего света. Если свет падает под углов Брюстера, то отражённый свет плоскополяризован в плоскости перпендикулярной плоскости падения, т.е. Eотр|| 0 .

Формулы Френеля:

E

tg (i1

i2 )

E

E

sin(i1

i2 )

E

(2)

отр

пад

отр ||

tg (i1

i2 )

пад ||

sin(i1

i2 )

Таким образом получаем:

	n Eотр											sin(i1	i2 )			0	2
				2							sin(i
													i	2	)	Eпад	sin
											1
	n E	2	E			2							2				2
											0					0
		пад ||			пад					Eпад cos					Eпад sin

Из (3) получаем:

		i2 )
sin(i1
		i2 )
sin(i1

2

sin (3)

		i2 )	2			cos i2	sin i2	cos i1		2
	sin(i1			sin 2	sin i1					sin 2
		i2 )				cos i2	sin i2	cos i1
sin(i1				sin i1

Т.к. свет падает под углом Брюстера, то n tg (i1 ) и

i1

i2

. Если учесть, что

n

sin(i1 )

. Далее, с учётом:

2

sin(i2 )

sin i

n cos i ,

cos i

i

sin i ,

cos

имеем:

1

1

2

2

1

1

												cos i	2	1		2
							2		n														2
n cos i1		cos i2		cos i1	cos i1							cos i1						n2		1
								2									2							2
n cos i		cos i	2	cos i	cos i			sin				cos i2					sin	n2		1			sin
	1			1	1				n					1
												cos i1

Таким образом, коэффициент отражения плоскополяризованного света при падении под углом Брюстера равен:

n2			1		2	2
						sin
		2
			1
n

nводы 1,33

0.038

[(n2 1) /(n2 1)]sin 2 0.038

6.№7 Электромагнитная волна с частотой w распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна n0. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:

а) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты;

б) фазовой скорости от длины волны l в плазме.

Решение:

В изотропной нелинейной среде n ε=1+χ, где χ – диэлектрическая восприимчивость, которая является

коэффициентом в соотношении P=χε0Е , где Р – поляризованность. Т.е. дипольный момент единицы объёма.

	Т.о.,	1		Px	(t)	(1)
				0 Ex (t)

Где Рx –проекция вектора Р на ось x, вдоль которой совершаются колебания вектора Е, известно, что Px n0px

(2)

где n0 – концентрация диполей.

Рx – проекция дипольного момента отдельного диполя.

Рассмотрим простейшую модель невзаимодействующих друг с другом атомов. При наличии внешнего поля Е электронное облако смещается относительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент P=ql l – вектор, проведённый из центра облака к ядру.

px ql x		q( x) qx				(3)
Подставим (2) и (3) в (1)
1	n	0 ( qx)				(1.а)
		0 Ex
Задача сводится к нахождению x(t). Для этого запишем уравнение движения
mx kx rx qE m Cos t						(4)
x 2 x 2 x f					Cos t
				m
		0
Где ω0=k/m		2β=r/m				fm=qEm/m

Для теории дисперсии имеет смысл не общее, а частное решение уравнения (4)

X=a Cos(ωt-φ)

Подстановка этого решения в (4) даёт возможность с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды и фазы,

а именно:

a			fm
		( 2	2 )2 4 2 2
0

2 tg

02 2

Для анализа решения ограничимся простейшим случаем, когда 2βω<<(ω0 2-ω2), т.е. если ω<ω0, то

x(t)		fm					Cos t		(5)
	2		2
	0
Подставляя (5) в (1.а) окончательно получаем
1		n0 ( q)fm Cos t
			E	x	( 2 2 )
	0					0
Учтём также, что qEmCosωt= -qEx
1			b				где b n0q2 / 0m N0e2		/ 0me
		2	2
	0

Где N0 - концентрация электронов, здесь учтено, что q=ze , m=zme , N0=zn0

В случае плазмы(электроны свободные ) собственная частота колебаний электронов ω0=0, поэтому диэлектрическая

проницаемость 1

b

, где b N

e2 /

m

e

2

0

0

Здесь me – масса электрона.

c

Фазовая скорость равна v c /

1 b / 2

2 / T 2 c /

v

c

1

b 2

4 2c2