Zadachi

№15(9). Дано: a, Р₁(t=0)=1, P₂(t=0)=0

Найти: Р₁(t), P₂(t)/

Константы С1 и С2 находим из начальных условий: Р₁(t=0)=1, P₂(t=0)=0

Ответ

Стат. Радиофизика

№11(2) Дано:

_________

____

№13(5) Дано:

_______

№14(6) Дано:
№16(10) Дано:
Доказать:

_______

_______

№12(3) Дано: Случайный процесс:
Найти: Доказать:

1. Два одинаковых LC контура связаны общей емкостью. Показать, что нормальные моды колебаний описываются формулами при и при . - ток в первом контуре, - ток во втором контуре.

Решение

C

C

i₁

i₂

i₃

i₁=i₃+i₂, i₃=i₁-i₂ – закон Киргофа

Падение напряжения на катушке

Дифференцируем по t

1 случай. I₁=I₂

- уравнение гармонического осциллятора­

1 случай. I₁=-I₂

- уравнение гармонического осциллятора

1. №1 За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние l между точками 1 и 2, если температура воздуха между ними меняется линейно от Т1 до Т2? Скорость звука в воздухе , α – постоянная.

Решение:

Введём координаты:

(1)

(2)

(3)

(4)

Cначала подставим (2), а потом и (3) в выражение (4)

и

Конкретный вид Т(х) :

(5)

Пусть (6)

Подставим (5) в (1)

(7)

(8)

Решаем (8)

(9) Здесь С обозначает некоторую произвольную константу.

Начальное условие для t=t(x)

(10)

Подставим (10) в (9)

(11)

Подставим (11) в (9), получим конкретный вид

Время прохождения расстояния l

2. №2 Уравнение плоской звуковой волны имеет вид , где ξ – в мкм, t – в секундах, х – метрах. Найти: а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны; б) амплитуду колебаний скорости частиц и ее отношение к скорости распространения волны; в) амлитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебаний относительной скорости частицы среды.

Решение:

а) В общем виде уравнение плоской звуковой волны имеет вид ,откуда находим амплитуду смещения частиц

Фаза волны, где

Откуда находим, что отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны равно (1)

Из уравнения плоской звуковой волны k=5.3

Подставляя численные данные в (1), окончательно получим

б) Скорость частиц

где -60*1800=108000 мкм/c=108 м/с – амплитуда скорости U_m

скорость волны находим из условия φ=const или 1800t-5.3x=const , откуда

x=(1800t-const)/5.3

- скорость волны

м/с

Искомое отношение

в); ; ; =2*10 ^-4.

№3 Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины l из немагнитного вещества, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения ₁ на передней поверхности до ₂ на задней. Найти время распространения данной фазы волны через этот слой.

Решение:

- диэлектрическая проницаемость вверху пластинки.

- диэлектрическая проницаемость внизу пластинки

Общий вид

(1)

(2)

Из соотношения (2) определим γ и С

(3)

Фазовая скорость электромагнитной волны

В нашем случае среда немагнитная, поэтому μ=1

где с – скорость света в вакууме

(4)

(5)

Для определения константы С₁ используем начальное условие , подставив его в (5), получим

, поэтому

, а искомое время

3. №4 Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью w = 21 рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке Ф0 = 4,0 мВт.

Решение:

Согласно закону Малюса,

Тогда энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, т.е. за один период, определим следующим выражением

Здесь введено обозначение φ=ωt

4. №5 При падении естественного света на некоторый поляризатор проходит h1 = 30 % светового потока, а через два таких поляризатора - h2 =13,5 %. Найти угол j между плоскостями пропускания этих поляризаторов.

Если при прохождении через поляризатор свет становится частично поляризованным и частично поглощается, то можно связать входящий и выходящий поток уравнением:

I₁ = a I_{0 ||} , где а – коэффициент поглощения пластинки поляризатора , а I_{0 ||} составляющая входящего светового потока, параллельная оси поляризатора; т.к. свет естественный то

I_{0 ||} + I_{0 ┴} = I₀ и I_{0 ||} = I_{0 ┴} ; отсюда I_{0 ||} = I₀ /2;

I₁ = a I₀ /2.

h₁= I₁/ I₀ = a/2 ; => a = h₁ / 2;

Для второй пластинки, используя закон Малюса:

I₂ = a I₁ cos² j = a ∙ a ∙ (I₀ / 2) ∙ cos² j => I₂ / I₀ = (a² / 2)∙ cos² j = h₂ = 2 h₁² ∙ cos² j

5. №6 На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора составляет угол j = 45° с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.

Дано: В общем случае коэффициент отражения равен:

φ=45° (1)

Для естественного света .

В данном случае свет плоскополяризован, разложим его на составляющие , , где φ – угол между плоскостью поляризации падающего плоскополяризованного света и плоскостью падения, - модуль вектора электрической напряжённости падающего света. Если свет падает под углов Брюстера, то отражённый свет плоскополяризован в плоскости перпендикулярной плоскости падения, т.е. .

Формулы Френеля:

(2)

Таким образом получаем:

(3)

Из (3) получаем:

Т.к. свет падает под углом Брюстера, то и . Если учесть, что . Далее, с учётом: , , имеем:

Таким образом, коэффициент отражения плоскополяризованного света при падении под углом Брюстера равен:

6. №7 Электромагнитная волна с частотой w распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна n0. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:

а) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты;

б) фазовой скорости от длины волны l в плазме.

Решение:

В изотропной нелинейной среде ε=1+χ, где χ – диэлектрическая восприимчивость, которая является коэффициентом в соотношении P=χε₀Е , где Р – поляризованность. Т.е. дипольный момент единицы объёма.

Т.о., (1)

Где Р_x –проекция вектора Р на ось x, вдоль которой совершаются колебания вектора Е, известно, что (2)

где n₀ – концентрация диполей.

Р_x – проекция дипольного момента отдельного диполя.

Рассмотрим простейшую модель невзаимодействующих друг с другом атомов. При наличии внешнего поля Е электронное облако смещается относительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент P=ql l – вектор, проведённый из центра облака к ядру.

(3)

Подставим (2) и (3) в (1)

(1.а)

Задача сводится к нахождению x(t). Для этого запишем уравнение движения

(4)

Где ω₀=k/m 2β=r/m f_m=qE_m/m

Для теории дисперсии имеет смысл не общее, а частное решение уравнения (4)

X=a Cos(ωt-φ)

Подстановка этого решения в (4) даёт возможность с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды и фазы, а именно:

Для анализа решения ограничимся простейшим случаем, когда 2βω<<(ω₀ ²-ω²), т.е. если ω<ω₀, то

(5)

Подставляя (5) в (1.а) окончательно получаем

Учтём также, что qE_mCosωt= -qE_x

где

Где N₀ - концентрация электронов, здесь учтено, что q=ze , m=zm_e , N₀₌zn₀

В случае плазмы(электроны свободные ) собственная частота колебаний электронов ω₀=0, поэтому диэлектрическая проницаемость , где

Здесь m_e – масса электрона.

Фазовая скорость равна

7. №8 Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой v = 100 МГц ее показатель преломления n = 0,90.

Решение:

Для плазмы ω₀=0, поэтому принимает вид

где

ε=n²

8. №9 Найти зависимость между групповой u и фазовой v скоростями для следующих законов дисперсии:

a)

б)

в)

Здесь l, k и w - длина волны, волновое число и круговая частота.

Решение:

А) Для решения применим формулу Релея

Пусть , где а – некоторая произвольная константа

Б) По определению , где , тогда

Пусть , где а- некоторая постоянная , в этом случае

В) Пусть , где а – постоянная, тогда

Поэтому групповая скорость

9. №10 В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид uv=c2 где с - скорость света в вакууме. Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты волны, e(w).

Решение: Исходим из выражения для групповой скорости , где , учитывая, что , перепишем k в виде

(1)

(2)

Приравнивая (1) и (2), получаем

/умножая полученное выражение на ε, получим

Разделяя переменные ε и ω получаем

, где А-константа.

Потенцируя последнее выражение , получаем

Задачи к государственному экзамену по курсу «Электродинамика»

17. Вычислить напряженности электрического и магнитного полей, создаваемых зарядом q , движущимся в постоянной скоростью v.

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории .

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени , для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда в точку наблюдения Р как раз совпадают с разностью .

Пусть -радиус вектор от заряда е в точку наблюдения Р; вместе с он является заданной функцией времени.

- момент времени, предшествующий времени наблюдения заряда t.

Тогда момент определяется уравнением.

(1)

Для каждого значения t это уравнение имеет всего один корень

В системен отсчета, в которой в момент времени частица покоится, поле в точке наблюдения в момент t дается просто кулоновским потенциалом, т.е.

, А = 0 (2)

Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости V = 0 давал для и А значения (2). Замечая, что скорость согласно (1) из (2) можно написать также в виде

находим, что искомый 4-вектор есть

и -потенциалы Лиенара- Вихерта.

-радиус-вектор точки наблюдения.

аналогично для y и для z.

В результате:

С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля и :

Опуская промежуточные вычисления, приведём получившийся результат:

,

где