C3 2012

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

2. Область определения выражения (функции)

В данном пункте ограничимся нахождением области определения логарифмических выражений.

Отметим, что решение логарифмических неравенств включает в себя нахождение области определения данного неравенства или по-другому области допустимых значений (ОДЗ) неизвестной неравенства, поэтому напомним, что:

а) выражение loga f (x), где a – посто-
янное положительное число, не равное 1
(a 0, a 1), определено при всех	x,
принадлежащих множеству решений	не-

равенства	f (x) 0;
б) выражение logg(x) f (x) определено
при всех	x, принадлежащих множеству
решений системы неравенств
	g(x) 0,
	g(x) 1,
	f (x) 0.
Рассмотрим несколько подготовитель-
ных задач.
Пример 24. Найти область определе-
ния выражения
log3 2x2	10x 5 log3 2 3x x2 .

Решение. Данная задача сводится к решению следующей системы неравенств

	2	10x 5 0,
2x
			2
				0.
2 3x x

Решение первого неравенства этой системы есть множество

		5 15			5 15
	;					; .
		2			2

Решение второго неравенства есть множе-

		3	17		3	17
ство				;			.
			2		2

Сравним числа 3 17 и 5 15 . 2 2

3 17 5 15

22

3 17 5 15 8 17 15

(8 17)2 15

81 1617 15 66 1617

33 817 1089 1088.

Следовательно	3	17			5			15			.
					2
2
		3								3
							17						17
Ответ:									;						.
					2			2
Пример 25. Найти область определе-
ния функции
y log3 2logx 3 0,5		1						1				.
						log3 (2x 6)

Решение. Область определения данной функции задается системой неравенств

x 3 0,		x 3,
x 3 1,		x 4,
2x 6 1,		x 3,5,
2logx 3 0,5 1 0		log			0,5 0
				x	3
	x 3,
			3 x 3,5,
	x 3,5,
	x 4,		3,5 x 4.
	x 3 1
	Ответ: (3;3,5) (3,5;4).
Пример	26. Найти область определе-

ния выражения log2,5 x 10 3x x2 .

Решение. Из определения логарифма получаем систему неравенств

		2	0,		x	2	3x 10 0,
10 3x x
2,5 x 0,				x 2,5,
2,5 x 1				x 1,5
	(x 5)(x 2)			0,			5 x 2,
	x 2,5,				x 2,5,
	x 1,5						x 1,5

24.11.2011. www.alexlarin.net 11

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

5 x 1,5,

1,5 x 2.

Объединение промежутков ( 5;1,5) и (1,5;2) составляют область определения данного выражения.

Ответ: ( 5;1,5) (1,5;2).

Тренировочные упражнения

Найдите область определения функций:

41. y 1 log8 (x2 4x 3) .

42.	y	log21		(x 3) 1.
			2
43.	y	log			x		2	1.
			1	x 1
			4

44.y 42 lg| x 2| .

45.y log3 log12 x2 32x .

46. y log		log		x 1	.
	1		3
				x 1
	2

47. y sin x 0,5 log3(25 x2).

3.Решение показательных

илогарифмических неравенств

При решении показательных, логарифмических и смешанных неравенств в основном достаточно использования стандартных методов решения неравенств. К таковым методам можно отнести:

метод равносильных переходов;

решение неравенства на промежутках;

метод замены;

обобщенный метод интервалов.

Более подробно различные методы решения неравенств рассмотрены в пособии

[4].

3.1. Показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство имеет вид

ax b,

где a 0, a 1, и символ заменяет один из знаков неравенств: , , , .

При a 1 решение соответствующих неравенств записывается следующим образом:

ax b x loga b	при b 0	и	x R
при b 0;
ax b x loga b	при b 0	и	x R
при b 0;
ax b x loga b	при b 0	и	x
при b 0;
ax b x loga b	при b 0	и	x
при b 0.

При 0 a 1 решение соответствующих неравенств записывается следующим образом:

ax b x loga b	при b 0	и	x R
при b 0;
ax b x loga b	при b 0	и	x R
при b 0;
ax b x loga b	при b 0	и	x
при b 0;
ax b x loga b	при b 0	и	x
при b 0.

24.11.2011. www.alexlarin.net 12

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

К числу простейших показательных неравенств относят неравенства вида

af (x) ag(x)

(или af (x) ag(x) ), где a 0,

a 1. Для их решения используется следующая стандартная схема:

● Если число a 1, то

af (x) ag(x)

f (x) g(x).

● Если число 0 a 1, то

af (x) ag(x)

f (x) g(x).

Замечание. В случае строго неравенства в схеме знаки нестрогих неравенств и заменяются на знаки > и < соответственно.

Пример 27. Решить неравенство

2x

2 2 x 2.

1

Решение. Так как 2 22 , то неравенство преобразуется к виду

2x 2x 2 ,

которое равносильно неравенству

x 0,

x 0,

x x 2 x 2 0, x 2,

x2 x 2

x2 x 2 0.

Так как

2x 1,

xx 2 0

x 2,

то решением системы является множество

[2; ).

Ответ: [2; ).

Пример 28. Решить неравенство

4 3x 2 2 5x 2 5x 3 3x 3.

Решение. Приведем данное неравенство к следующему виду

4 3x 2 3x 3 5x 3 2 5x 2

3x 2 (4 3) 5x 2 (5 2)

	x 2		x 2		3	x 2		3	x 2	3			0
3		5					1					.
					5			5
										5

Учитывая свойство строго убывающей

t

функции y 3 , получаем x 2 0 и

5

x 2.

Ответ: [ 2; ).

При решении показательного неравенства вида f (ax ) 0 используется замена

ax t , где t 0, в результате которой неравенство приводится к виду f (t) 0.

Пример 29. Решить неравенство

3 22x 1 5 6x 2 32x 1.

Решение (сведение к алгебраическому неравенству). Запишем неравенство в виде

6 22x 5 2x 3x 6 32x 0.

Полученное неравенство имеет вид

t a2 f (x) p a f (x) bg(x) q b2g(x)

0,

где t, p, q фиксированные действительные числа. Общий метод решения неравенств такого вида состоит в делении на

выражение

a2 f (x) 0

(или

на

af (x) bg(x) 0, или на b2g(x) 0) и последующей замене переменной.

Разделим обе части исходного неравенства на 32x 0

					2			2x	2		x
			6					5				6 0.
			3						3
			2 x					t ,
Положим									где t			0. В итоге по-
			3
лучим квадратичное неравенство
		2										2		3
6t			5t 6 0 6 t										t			0.
												3		2
Отсюда с учетом условия t 0														получаем
t	2	.
3

Выполняя обратную замену, получим

	неравенство		2	x		2	, решение которого
			3			3

есть множество (1; ).

Ответ: (1; ).

24.11.2011. www.alexlarin.net 13

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Пример 30. Решить неравенство			log2 6 2,5 log2 6 log2 22,5			6 22,5
2	6 5(x 2)(x 1) 24 52(x 2) 0.		62 25	36 25 , то log2		6 2,5 .
52x
Решение. Перепишем неравенство в
				2,5	log26	x
виде
52x2 6 5x2 x 2		24 52x 4 0.			Рис. 2
Учитывая, что 52x 4		0 при любом значе-		Ответ: ( ;2,5) (log2 6;3).
нии x, разделим обе части неравенства на			Тренировочные упражнения
52x 4 :

52x2 2x 10 5x2 x 6 24 0.

Пусть 5x2 x 5 t, где t 0. Тогда получим квадратичное неравенство

t2 1t 24 0 5t2 t 120 0 5

5(t 5)(t 4,8) 0.

Учитывая, что t 0, получаем 0 t 5. Переходя к переменной x, получим

неравенство 0 5x2 x 5 5. Неравенство

0 5x2 x 5 справедливо при всех x, а не-

равенство 5x2 x 5 5 x2	x 5 1.
Решая неравенство x2	x 6 0, по-

лучим 2 x 3.

Ответ: [ 2;3].

Пример 31. (МПУ). Решить неравенство

2x2 11x 15 0. 2x 6

Решение. Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1.Пусть f (x) 2x2 11x 15. 2x 6

2.D( f ) ( ;log2 6) (log2 6; ).

3.Найдем нули функции f (x).

2x2 11x 15			x 2,5,
			0
2	x	6
			x 3.

4. Сравним число log2 6 с числами 2,5 и 3, и затем определим (рис. 2) промежутки знакопостоянства функции f (x):

log2 6 log2 8 3

и так как справедлива цепочка сравнений

Решите неравенство:

48.9 32x 2 3 32x 1 9x 89.

49.31 x 21 x 3x 2 x 10,5.

50. (МИФИ).	7x 30
			14.
	7x 1
		1

51.3x 1 2 3x . 3x 4

52.(МИЭМ). 3x 25 3x 25.

x 1

x 3

53.(МГАП). 3 49x 16 21x 21 9x 0.

54.(МГАП). 5 9x 18 15x 9 25x 0.

55. 16x 2 12x 32x 1 .

56. 7	2x		7 x			1 2x	0.
		33			14 5

5

57.(МГАП) 4x2 x 10 2x2 22x 4 0.

58.22x2 6x 3 6x2 3x 1 32x2 6x 3 0.

59.(МГАП). 6x 2 4 7|x 1| .

60.3x 2 21 2x 20.

61.32x 1 113 x .

x

62. 1 (x 2)2 (2 x)2 .

3

63.x2 2x 2 12x2 3x 3x 1 2x.

64. 3x 4x 9 8 3x 4x 1.

3.2.Логарифмические неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид

loga x b,

где a 0, a 1, и символ заменяет один из знаков неравенств: , , , .

24.11.2011. www.alexlarin.net 14

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

При

a 1

решение соответствующих

неравенств записывается следующим об-

разом:

x

loga x b x ab ;

10 3

2

10

loga x b x ab ;

Рис. 3

loga

x b 0 x ab ;

Ответ: [ 10; 3) (2;

10].

loga

x b 0 x ab .

Обратим внимание на правильное ис-

При

0 a 1

решение соответствую-

пользование

формул

при

выполнении

щих неравенств записывается следующим

равносильных преобразований.

образом:

Рассмотрим следующие формулы:

loga x b 0 x ab ;

loga f (x) g(x) loga

f (x) loga g(x) (1)

loga

x b 0 x ab ;

loga x b x ab ;

и

f (x)

loga

loga

f (x) loga g(x),

(2)

loga

x b x ab .

g(x)

К числу простейших относят неравен-

где a 0, a 1, f (x) 0

и g(x) 0.

Заметим, что равенства (1) и (2) в об-

ства

вида

loga f (x) loga

g(x)

(или

loga f (x) loga g(x)), где a 0, a 1. Для

щем случае не являются тождествами, по-

скольку области определения левой и пра-

их

решения

используется

следующая

вой частей равенства могут не совпадать.

стандартная схема:

Так в левой части равенств (1) и (2) выра-

● Если число a 1, то

жение будет определено при таких значе-

loga

f (x) loga

f (x) g(x),

ниях x, когда и f (x) 0 и g(x) 0. Пра-

g(x)

вая часть при таких значениях x не имеет

g(x) 0.

смысла.

● Если число 0 a 1, то

Формулы (1) и (2) используются как

f (x) g(x),

для преобразования логарифма произве-

loga

f (x) loga

дения (частного) в сумму (разность) лога-

g(x)

f (x) 0.

рифмов соответственно, так и в обратную

Замечание. В случае строго неравенст-

сторону.

В общем случае переход слева направо

ва в схеме знаки нестрогих неравенств

может привести к потере решений.

Если

и заменяются на знаки > и

< соответ-

даны

выражения

loga f (x) g(x)

или

ственно.

Пример 32. Решить неравенство

loga

f (x)

и есть желание преобразовать

log0,5 (x2

x 6) log0,5 (x 4).

g(x)

их в сумму или разность логарифмов, рав-

Решение. Так как основание 0,5 лога-

носильный переход выглядит так

loga f (x) g(x) loga |

f (x) | loga | g(x) |

рифмов, стоящих в обеих частях неравен-

ства, удовлетворяют условию

0 0,5 1,

и

то, получаем, что данное неравенство рав-

loga

f (x)

loga

| f (x)| loga | g(x)|.

носильно системе

g(x)

x2

x 6 x 4,

10) 0,

В общем случае переход справа налево

(x 10)(x

2

в формулах (1) и (2) может привести к

x 6 0

(x 2)(x 3)

0.

x

приобретению посторонних решений. Од-

На рис. 3 представлена графическая

нако эти посторонние решения могут быть

интерпретация получения решения по-

исключены, как не входящие в область

следней системы неравенств.

определения переменной исходного вы-

ражения.

24.11.2011. www.alexlarin.net 15

logx 1(x2 2x) 1logx 1(x2 2x) logx 1(x

Отметим, что в данном случае левая и правая части равенства определены на од-ном и том же множестве. Таким образом,

имеем неравенство

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Пример 33 (ЕГЭ-2011). Решить нера-

венство

11log9(x2 12x 27) 12 log9 (x 9)11 . x 3

Решение. Значения x, при которых определены обе части неравенства, задаются условиями

x2 12x 27 0,			(x 3)(x 9) 0,
(x 9)11			(x 9)11
		0			0
	x 3			x 3

x 3,

x 9.

Область определения данного неравенства – есть множество ( ; 3) (9; ). Для таких значений x из этого множества исходное неравенство приводится к виду:

log9 |(x 3)11 | log9 |(x 9)11 |

12 log9 |(x 9)11 | log9 | x 3|

log9 |(x 3)11 | log9 | x 3| 12

log9 (x 3)12 12

(x 3)12 912 | x 3| 9

6 x 12.

Учитывая, что значения x ( ;3)

(9; ), получим ответ [ 6; 3) (9;12].

Ответ: [ 6; 3) (9;12].

Рассмотрим неравенство вида

logh(x) f (x) logh(x) g(x) .

Данное неравенство равносильно сово-

купности двух систем:
(1)	h(x) 1,		0 h(x) 1,
		и (2)		f (x).
	0	f (x) g(x),	0 g(x)

Замечание. При решении строгого неравенства logh(x) f (x) logh(x) g(x) в системах знаки нестрогих неравенств заменяются строгими.

Пример 34. Решить неравенство logx 1(x3 3x2 2x) 2.

Решение. Так как

x3 3x2 2x x(x 1)(x 2),

то

logx 1(x3 3x2 2x)

logx 1 x(x 2) logx 1(x 1)

1 logx 1(x2 2x).

1). (*)

Так как основание логарифма в этом неравенстве может быть как больше, так и меньше единицы, то рассмотрим два случая.

1-й случай. 0 x 1 1, то есть

1 x 0. В этом случае неравенство (*) равносильно неравенству

x2 2x x 1 x2 x 1 0
					1 5
	x						,
					2		.
					1	5
	x							.
					2
	1					а			1
Поскольку		5			1,					5		0,
2						2

то полученное множество не имеет общих точек с промежутком ( 1; 0) и, следова-

тельно, при	x ( 1; 0)	неравенство	(*)
решений не имеет.
2-й случай.	x 1 1,	то есть x 0.	В

этом случае неравенство (*) равносильно неравенству

x2 2x x 1 1 5 x 1 5 . 2 2

Учитывая условие x 0, получим, что решением неравенства (*) является про-

		5 1
межуток	0;			.
		2

		5 1
Ответ:	0;			.
		2

24.11.2011. www.alexlarin.net 16

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Тренировочные упражнения		log log	x2		4
	0,5						1
		3	1/ 5		5

Решите неравенство:

	65.	(МПГУ). log3 (x2		x) log3 (3x 2).
	66.	(МГУ). 2ln	1	ln(5 2x) 0.
			3x 2

67.(ЕГЭ 2011). 2log3 (x2 4x) 1. log3 x2

68.(МИОО, май 2010).

log1 (x2 3x 1) log1 (2x2 3x 2)

3 3

log1 (x2 2x 1)2

log3 4 2.

69.

3

log5 (x2 4x 11)2 log11

(x2 4x 11)

3

0.

2 5x 3x2

70.

(ЕГЭ 2010).

log4

(2 x) log14 (2 x)

log4 49.

log14 x log49 x

71.

log

log

x2 1

0.

0,1

2

x 1

72.

(МИОО 2010).

log2x 1 log2 (x2

2x)

0.

log2x 1(x2 6x 10)

73.

(МИОО, 2011).

log

2

1

log

(9x2

30x 25) 7

2x 3 3x 5

2x 3

3.

2 log2x 3(6x2 19x 15) 1

74.

(ЕГЭ 2010).

log(x 2)2

x(x 1)(x 3)(x 4) 1.

3.3. Смешанные неравенства

			2		4
log3	log1/5	x					0.
					5

Функция y log3 t возрастающая, с обла-

стью определения t 0. С учетом того, что 0 log3 1, последнее неравенство рав-

носильно системе

					2							4																									2					4												1
log	1	x													1,											log1								x											log1												,
												5																														5												5
	5																														5																	5
												4																														4
					2																																2
log	1	x													0											log						1		x											log1 1
	5											5																				5										5								5
																	2					4							1
													x																		,
																						5							5
																																									2		1,
																	2					4															x
									x																	0,																			9
																						5																			2
																																					x										.
																																													5
																	2					4
													x													1
																						5
Далее,												x2			1											x 1,															и					x2				9
				3																3						x 1.																						5
											x													. Учитывая, что																												3
																																																	5
								5							3					5														3
и,	значит,																			1,							а													1, запишем
															5																			5
решение																		исходного																									неравенства
		3																				3
							; 1 1;																						.
		5																								5
															Ответ:																			3														3
																																						; 1 1;																		.
																																		5
																																																				5
	Пример 36. (ЕГЭ 2010). Решить нера-
венство
log5 7 x2												5 7 x2 16 1 log5																														7			x		2
																																															5
																																											7 x			2	16	1

Пример 35. Решить неравенство

0,5 log 3 log 1/5 x2 4/5 1.

1 t

Решение. Так как функция y 2

0

убывающая и 1 1 , то получим

2

log5 72 x2 1 2 .

Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

		x2		5 7	x2 16	1 0,
7
	2 x		2
				1 0.
7

24.11.2011. www.alexlarin.net 17

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Сделаем замену 7 x2 t. Так как неравенство x2 0 выполняется при всех x, то по свойству степени с основанием боль-

ше единицы получаем 0 7 x2

70

1.

Отсюда 0 t 1. С учетом последнего неравенства, запишем полученную выше систему

			16	t 1 0,
	(t 5) 7
		2 t 1 0,			0 t 7 16 .
	7
	0 t 1
	Исходное неравенство с переменной t
	будет иметь вид
	log5 (t 5) 716 t 1 log5					t 5
						716 t 1
	log5 (49t 1)2				, где 0 t 7 16 .

Используя свойство логарифма (при допустимых значениях переменной сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения), получим

log5 (t 5)2			log5 72 t 1 2
		(t 5)2		(49t 1)2 ,
так как	(t 5)2		0	и (49t 1)2		0 при
0 t 7 16 .
Решим последнее неравенство:
	(t 5)2		(49t 1)2
	(t 5)2 (49t 1)2				0

(t 5) (49t 1) (t 5) (49t 1) 0

	(48t 4)(50t 6) 0		1		t	3	.
		12			25
С учетом ограничения		на t получаем
0 t 7 16 .
Выполнив обратную		замену,			имеем
7 x2	7 16 . Отсюда

2x 4,

x16

x 4.

Ответ. ( ; 4) (4; ).

Пример 37. Решить неравенство

7log 27x xlog 7 x 247.

Решение. Заметим, что выражения, входящие в неравенство, определены при всех x 0, и для любого x 0 справедливо тождество x 7log 7 x .

Следовательно, неравенство можем записать в следующем виде.

	7log 72x (7log 7 x )log 7 x												24
																		7
																			1
	2 7log 72x 24													7log 72x 7
									7																		4
	log72	x		1					|log7							x |					1
			4																2
	log		x		1			,					x
		7																		7,
			2
																			1
								1
	log	7	x										0 x																		.
								2											7
			Ответ:										1
																	[ 7; ).
												0;
													7

Тренировочные упражнения

Решите неравенство:

75.log2 (2x 1) log1/ 2 (2x 1 2) 2.

76.(ЕГЭ 2010).

log5 (3 x2	5)(3 x2 9 1) log5	3	x2
					5
		3 x		2	9 1

log5 (37 x2 4)2 .

77.(ЕГЭ 2010).

2log

x 1 | x|

log

3

(x 12)

.

2

log

log3(x 7)

x 1 (x 7)

2

78. (ЕГЭ 2010).

log3x 4 27

1

.

log

x 4

( 81x)

log3 log1 3x

3

3

79. (МИОО, 2011).

1

x

(x 1)log

3 6 log3

2

x 1.

6

80.x log2 101 10x 102 2x

log5 101 2x 52 x 22 2x .

81.(МИОО, 2010).

7 |x 3| log2(6x x2 7) 1.

24.11.2011. www.alexlarin.net 18

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

4. Системы неравенств

имеем

3

x

1

или

3

x

3

и решение вто-

Для решения системы неравенств с од-

9

рого

неравенства

системы:

ной переменной

к каждому неравенству

( ; 2] [1; ).

применяют те же методы, которые были

Для решения первого неравенства сис-

рассмотрены выше.

Пример 38. (МИОО). Решить систему

темы рассмотрим функцию

неравенств

f (x)

x 2

log5 (x 3),

x

8 4

x 1

2

x 1

,

8

которая является взрастающей на проме-

logx 1 7 2.

жутке

[ 2; ),

как сумма двух возрас-

Решение.

Решим

первое

неравенство

тающих функций.

Так как

f ( 2) 0,

то

f (x) 0 для всех

системы

значений

x [ 2; ).

Следовательно,

8x 4x 1 8 2x 1 0

решением первого

неравенства

является

4x (2x

4) 2(2x 4) 0

промежуток [ 2; ).

(4x

2)(2x

4) 0

Общим решением двух неравенств сис-

(4x 40,5 )(2x

22 ) 0

темы является множество { 2} [1; ).

(x 0,5)(x 2) 0

x 0,5

Ответ: { 2} [1; )

Пример 40. Решить систему нера-

x 2.

Второе неравенство системы равносильно

венств

x

2

x

1

совокупности двух систем неравенств.

log

1,

2

1

x 2

x

4

2

4

2

2

x 1 1

x

3x 2 0.

7 x 1 7

(x 1)2 7

1

Решение. Рассмотрим первое неравен-

1 x 2

ство. Возможны два случая.

0 x 1 1

7

1

3

3

(x 1)2 7

x 1

2

x

1. Если

0

x

1

, т.е.

x 1

7

4

2

2 ,

то

в

этом

случае

исходное

неравенство

2 x 1

7 ,

равносильно системе неравенств:

так как 1

1 и

2 1

(докажите

7

7

x

2

x

1

0,

самостоятельно).

2

x

2

0,

2

Решением исходной системы является

4

2

2x

2

2

x

x

1

2

1

множество (2;1

7) .

x

2x x 1 0.

4

2

4

Ответ: (2;1

2

7) .

Решением этой системы неравенств явля-

Пример 39. (МИОО). Решить систему

ется множество ( ; 0,5] [1; ).

неравенств

С учетом полученного ранее условия на-

3

1

x 2 log5 (x 3) 0,

ходим все значения x

;

.

2

2

9x 1 28 3x 3 0.

1

Решение. Решение системы начнем со

2.

Если

x

2

1, т.е.

|

x

|

3

,

то в

второго неравенства.

4

2

Пусть 3x

t ,

тогда получим квадрат-

этом случае исходное неравенство равно-

ное

неравенство

9t2

28t 3 0,

имею-

сильно неравенству:

щее

решение

t

1

или

t

3.

Отсюда

x2

x

1

x2

1

.

9

2

4

2

4

24.11.2011. www.alexlarin.net 19

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Отсюда находим все значения x [ 0,5;1]. С учетом полученного ранее

														3
условия получаем значения x															;1 .
														2
Объединим полученные решения:
						1
			3							3
					;							;1 .
		2		2					2

Рассмотрим второе неравенство. Решением неравенства является множество:

		3	17			3	17
	;							; .
		2					2

Чтобы найти решения исходной системы неравенств, заметим, что:

3 17 3 16 7 1;

2						2								2
	3	17					3				16					1			.
2
						2								2
									и	3								.
Сравним числа						3									17

22

3 3 17 3 3 17 2 2

(прибавим к обеим числам 3 17 )

17 3 3 17 12 63

5 63.

Так как

3 1, то

6 3 5 и тогда

3 3 17 . 2 2

Следовательно, решением данной в ус-

ловии системы является множество:
								3
					3					17
							;						.
				2		2
																		3
															3					17
					Ответ:												;					.
												2							2
Пример 41. Решить систему нера-
венств
		x	x
	2 81		3	87					2,
	81x 3

log22 (x 4) 4log2 (x 4) 3 0.

	2 t4 t 87												2 t4 t 87
						2																	2 0
	t4														t4 3
			3
		t 81			0										t 81												0
		t4	3								(t2			3)(t2							3)
					t 81											0 t					4
																									3,
											0
					t2
								3
																	t 81.
Отсюда получаем
							x			4									1
					3							3;			t				4		,
							x
								81								t		4.
					3

Рассмотрим второе неравенство. Пусть log2 (x 4) a. Тогда имеем

a2 4a 3 0 1 a 3.

Отсюда

получаем

1 log2 (x 4) 3

или 2 x 4 8 2 x 4.

В итоге получаем, что решение исход-

ной системы есть множество:

1

2;

{4}.

4

1

Ответ: 2;

{4}.

4

Пример 42. Решить систему нера-

венств

x

2 5

x

3,

25

2

log

2 x log2 x 2.

3

3

Решение. 1. Неравенство 25x 2 5x 3

данной

системы

запишем

в

виде

(5x )2 2 5x 3 0.

Пусть 5x t , где t

0. Тогда неравен-

ство примет

вид:

t2 2t 3 0

или

(t 3)(t 1) 0. Отсюда с учетом неравенства t 0 получаем t 3.

Выполняя обратную замену, имеем

5x 3 5x 5log 53 x log5 3.

2. Второе неравенство системы запишем в виде log22 x log2 x 2 0.

		3	3
Пусть log2		x a.	Тогда неравенство
	3

Решение. Рассмотрим первое неравен-	примет	вид:	a2 a 2 0	или
ство. Пусть 3x t , где t 0. Тогда имеем

24.11.2011. www.alexlarin.net 20