C3 2012

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

(a 1)(a 2) 0. Отсюда получаем

2 a 1.

Выполняя обратную замену, имеем2 log2 x 1. Отсюда с учетом того, что

3

основание логарифмической функции

меньше 1, получаем 2 x 9 . 3 4

3. Так как 0 log5 1 log5 3 log5 5 1,

то для получения ответа необходимо

сравнить числа log5						3 и		2		.
							3
			2				2
Так как					log5		5		3			log5	3	25	, а
		3
log5 3 log5	3			,		то			из неравенства
		27

327 325 следует log5 327 log5 325 и

2 log5 3.

3

Следовательно, решениями данной системы неравенств являются все значения

					9
	x	log	5	3;		.
					4

	Ответ:				9
		log	5	3;		.
					4

Пример 43. Решить систему неравенств

log7 x (x 2) log7 x (3 x),32 9x 60 3x 7.

Решение. 1. Для решения неравенства log7 x(x 2) log7 x(3 x) системы рас-

смотрим	два случая.
Пусть	7 x 1, т.е.	x 6. Тогда рас-

сматриваемое неравенство будет равносильно следующему двойному неравенству 0 x 2 3 x. Отсюда получаем

2 x 1 с учетом x 6. 2

Пусть 0 7 x 1, т.е. 6 x 7. Тогда рассматриваемое неравенство будет равносильно следующему двойному неравенству x 2 3 x 0. Отсюда получаем

1 x 3, что не удовлетворяет неравен- 2

ству 6 x 7. Следовательно, в этом случае решений нет.

Получили, что данное неравенство имеет решение 2 x 1 .

																																							2
			2. Неравенство																														32 9x										60 3x 7																			сис-
темы запишем в виде
																	32 (3x )2 60 3x 7 0.
			Пусть 3x																					t ,						где t								0. Тогда неравен-
ство							примет																				вид:							32t2 60t 7 0																												или
					1																7
t							t																				0. Отсюда с учетом нера-
					8																4
венства t																		0 получаем																						1		t								7				.
																																							8
																																																	4
			Выполняя																								обратную																	замену,															имеем
	1		3x													7					или log													1		x log																	7			.
8																																3 8																	3		4
											4
3.											Сравним																				числа													log					1			, log										7			и
						1																																									3 8													3	4
2,									.
					2																																				1														1
Так как																	0 log													1 log														log														2,							а
																													3										3 8												3 9
						7																																								1
log				3						log												3		1,75 log													3				3							,					поскольку
																																														2
					4
	7								49																		.			Следовательно, решение
																								3
4							16
системы																					неравенств																				есть										множество
							1							1
log					3							;							.
							8
														2
																																				Ответ:																							1		1
																																																	log									3			;				.
																																																											8
																																																													2
			Пример 44. Решить систему нера-
венств
																															x	4		2
																		log																					1,
																											2x 1 2x 1
																										x	3 12								x		4 9								x	0.
																		16
			Решение. 1. Для решения неравенства
log2x 1												x4						2								1 системы рассмотрим два
												2x 1
случая.
			Пусть																		2x 1 1,																	т.е.									x 1.													Тогда
2x 1 0 и
			log2x 1																x		4			2					1									x4 2								2x 1
																			2x 1																			2x 1
												x4															2 (2x 1)(2x 1).

24.11.2011. www.alexlarin.net 21

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Из неравенства x4 4x2 3 0,										полу-
0 x2 1,										x 1
чаем		2 3.				. С учетом условия
x
имеем x					.
				3				0,5 x 1. То-
Пусть 0 2x 1 1, т.е.
гда 2x 1 0 и
		x4	2				x4	2
log2x 1						1 0			2x 1
		2x 1
							2x 1

x4 4x2 3 0 1 x2 3.

Сучетом условия 0,5 x 1 получаем,

что во втором случае решений нет. Следовательно, решением первого не-

равенства данной в условии системы яв-

ляется множество [3; ).

2. Неравенство 16x 3 12x 4 9x 0 системы запишем в виде

16x					12x											4		2x										4 x
	3							4 0													3											4 0.
9x						9x
																3										3
							4					x
	Пусть													t , где t						0. Тогда нера-
							3
венство							примет									вид:		t2			3t 4 0																или
(t 4)(t 1) 0.																Отсюда					с			учетом												нера-
венства t							0							получаем 0 t 4.
	Выполняя													обратную							замену,														имеем
		4				x	4. Отсюда x log4 4.
0
		3
																								3
	3. Сравним числа log4 4																							и									. Так как
																														3
																			3
log4 4 log4													16		2, то log4									4											.
																																3
														9
	3						3													3
	Следовательно, решение системы нера-
венств есть множество																					3; log4 4
																																		.
																											3
																Ответ:												3; log4 4
																																						.
																																				3

Тренировочные упражнения

Решите систему неравенств:

			x	10 3			x	9 0,
82.	9
		2	2				3		.
	x					x 1
			1		3x2				x 3

83.3 32

| 2x 1| 2x 1.8 2 ,

					x 2					9				x 1		810 0,
84.	3
								2			x 4log													x 3 0.
	log																				3
								3
																			x 1						3 28 3									x	,
85. (МИОО).															9
																									(x2 2x) 3.
															log							2
																								x			65 2					x	8 0,
86. (МИОО).															8 4
																						2				(x			4 ) log						(x2 ) 18.
															log																			3
																						|x|
							2	8x 12)																	x		2		10x 21 0,
	(x
87.					x 1									x 2						3
	4									2														0.
																				2
	log										3x 2							3log													(x 1)3					1,
								2																					8
												x 1																			3x 2
88.
																		2										8 2x x2
	8 2x x
																																							.
								2x 9																						x 10
89. (МИОО).
													x	2				x			70
					3 64																								3,
															2
												64x
										2		(x 3) 3log3 (x 3) 2 0.
				log						3
						2x				2		5x 2												0,
												2
90.							2x						6x																	.
					log 1log 5x2																log 1log 9x2
								9							5										5					.
	9
	2x2 3x 3 2x2 3x 5 96 0,
91.											2x 1
	log1																	1.
												x 2
								3
				2		x 1					45				0,
92.				2	x 1					4,4
																														1
										(x 3) log0,5
	log2																																.
																														6 x

24.11.2011. www.alexlarin.net 22

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

										2x 4											245 3											x		3 0,
93.	2 3
											(x2										4x 5) 2.
	log								2
94.
			2x				15 5															2x 1					8 15												x	,
5 3
																																																		2
														x									1																									x			2x 1
log				log																								log														log
		2										3		x									1																	1					1					2
																																								8					9	x					2x 1
				2			x			32 3															x		27									0,
95.																																								.
								x2 5x 14
									2					x 1 0.
	log								0,1
										x
			1											x 4,
96.			3																																															.
											x2										4 3log																			x 2
	log																																												2.
									2																												2
																																								x 2
	24x 2														1,
97.
	4x 1
	1 log3 (x 4) log3 (x 21).
	log3 (1 2x x2 )																																						0,
																	(x 1
	log3																															2)
															5
98.
	log0,5 (1 2x)																																	1				.
															8																			2
																							x
						log2
															3
				7		x			30											14,
99.
	7x 1										1
	log3 (1 2x) log3 (5x 2).
								x 2						2									x 3				2				x 4						5					x 1		5				x 2			,
100.				2
																	( x								2		6x 3) 2.
					log								1
														5
													x 2								2 5								x 2					5						x 3			3				x 3		,
101.				4 3
													2				2x 2)															0.
				lg(x
								2x 1								5								x	4,
102.				5
													(x2										x) log																	(3x 2).
				log							3																											3
												2x2									4 3									x2 2							,
103.				2 3
													(x2										4x 3) 1.
				log							8

		x							x
104.	3		1 12 3							,
					1			ln(5 2x) 0.
	2ln
				3x 2
	x 2						8
						x

0,

2x 4

log2 x 5 2log2 x.

1 2logx 2

		2x2 11x 15
																									0,
									2	x			6
106.
		1
				log												x2					log												2x 3.
		2							tg																		tg
													12
																					12
								log				1 (2x2 3x 1)
	1											9
																									1,
107.	2
									log22 x
																							log2 x.
	2
							1 log2 x
				4			x									2		x			12					,
108.		2x					1
																					3
							4 (3 4										x 1					8) 2x 1.
	log
				x								|x|
						2									2						2,
109.	2
										(6| x | 3) log																								(4 x2 ).
	log						0,5																									0,5
		2		x 1					22								1,
110.				2x
									2
							2		x |log5 x | 6.
	log						5
													1																1		,
		4				x			3 2											x		2							6
111.
											5
	log
							1								x 1 2.
											2
							x

25x 30 5x 125 0,

112. (МИОО).

logx (x 1) logx (x 1) 0.

113. (МИОО).

2

2

x

36 78 log3 (x 3),

x

x

78 log3 (x 3).

12x 2

log

log x 2x

(5x 2) 0,

114. (МИОО).

x

x

x

9 5

3

9 0.

15

24.11.2011. www.alexlarin.net 23

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

log

log x3x

(4x 1) 0,

115. (МИОО).

x

x

x

9 7

3

9 0.

21

x

1

x

116. (МИОО).

6

2,

6

2

4 2x.

2x

x

1

x

117. (МИОО).

7

2,

7

3x2

9 3 x.

118. (МИОО).

2 (100 x

2

) 2 log2 (x 1),

log

(2| x 5| | x 11| 30) 1.

log

0,3

119. (МИОО).

4 (81 x

2

) 2 log4 (x 4),

log

(3| x 4| | x 10| 38) 1.

log

0,2

120. (Демовариант 2012).

x

9 2

x

22,

4

log

3

(x2

x 2) 1 log

3

x 1

.

x 2

121. (МИОО).

25x 3 10x 4 4x 0,

(x

2

12| x

| 37) log

x2 (x

2

log

x2

1

1

37

37

12| x| 37)

0.

122. (МИОО).

16x 12x 2 9x 0,

(x

2

10| x

| 26) log

x2 (x

2

log

x2

1

1

26

26

10| x| 26)

0.

123. (МИОО).

2

6

x

4 44 log5 (x 3),

x

x

44 log5 (x 3).

4x 6

x 1

17 2

x

4 0,

124. (МИОО).

4

2

x2

log

x2

6.

log

2

|x|

					4,5) 1 3		4x2		9	,
4log9 (x
125. (МИОО).								9 4x2
					9 (x 4,5) 3					.
3 4log
			(x	2	9) 1
log		7
126. (МИОО).	2x2 x 28
						0.
	6x 6
			5x 5 4
		2	(x	2	4x 20) x 3
log		7
127. (МИОО).		2		2
			(x		2x 14) 3 x.
log		7

128.

		2x2 3x 1			2 3	2x2	3x	3	2x	2 3x 3	72,
5 3
				(x 1)	log3 (x 2).
log1
	3

	4x2 x											10 2x2														22x 4 0,
129.
												3x log																	9x2										5
	log							9x																			2
																									3x													2
130.																																												4
(2																					(2																										,
							3)log2 x																							3)log2 (4x)
																																										2			3
					(x2							4x 3) 2log																										(4 x) 0.
log																																					1
			1
			3																																		3
	9x 0,5												1							3				2x			1,
			3 3										2x
131.
				log3								(1 2x												x				2	)
																																		0
	log																(x 1												2)
								3					5
132. (МИОО).
						x			10 3													x	1) logx 1 | x 3,5| 0,
(9 9
	x 1																																										x
					logx 1																| x 3,5| 1 10 3																							.
9
133. (МИОО).
					x 1																		x
	4										33 2														8 0,
																	x 1								log2 (2x 3)2
	2log2																																										2.
															2x 3
134. (МИОО).
			x		16 2														x				17,
	2
											(4x2										1) log															(3x2 4x 1).
	2log								9																									3
																					4x 6 2x 8 0,
135. (МИОО).
																												2x				2			3x 5
																						log																			1.
																										3
																																		x 1

24.11.2011. www.alexlarin.net 24

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

													x 3										x	x					16x 0,
136. (МИОО).												4						2								2
																								8
													x							1 x				6 0.
												7			7
																						2 (x			2	4x 4) 0,
												log
137. (МИОО).																(x 1)
																						2	3x 3) 1.
												log2 (x
138. (МИОО).
	5x		x	2	logx2 5x 2,
log
	4		(x		2 17) log2																		(x 3) log										25 79.
log																		2													5x
	x 3															x				17
139. (МИОО).
				x 1				7			x	7	x 1					171,
			7
									1
										log3(x							2			3x 9)
		log3
									x
																					2					1
											log3 x												3x						10			.
																											x
140. (МИОО).
			x 3			9				x 2		9		x 1					511,
	9
						3
									log7 (x							2		7x 11)
	log7
							x
																							2						3
												log7								x				7x						10				.
																													x

141. (МИОО).

9x 1 244 3x 27 0,

2log2 x 1 log2 (10x 11)2 2.10x 11

142. (МИОО).

4x 12 2x 32 0,

logx (x 2) logx (x 2) 0.

143. (МИОО). 17 log17 (x 14) x2 8,

17 log17 (x 14) 6x 1.

2x 16 10,

144. (МИОО). 2x

logx 2 (x 2) 0.

3 9x 28 3x 9 0,

145. (МИОО). log (x 1)2 1.

x2

x 6

ln

2

(x 7) 13,

146. (МИОО).

13

x 12

13 x 7

.

7

x 3 log2 (x 5) 0,

147. (МИОО).

x

33 2

x

4 0.

8 4

148. (МИОО).

x

3

x

87

2 81

2,

81x 3

2

log

2 (x 4) 5log2 (x 4) 6 0.

149. (МИОО).

9 2x 24

2

x

4,

2x 4

log2 (x 1)

log

2

(x 1)

.

log2 (x 1) 1

x

4 3

x

3 0,

9

150. (МИОО).

2

| x | 0.

log

3x 1

2x

3x 1

x 1

1) lg(7 2

x

12),

(x 1)lg2 lg(2

logx (x 2) 2.

x2 4

152.x2 16x 64 0,

lgx 7 lg(x 5) 2lg2.

(x 8)(2 x)

																0,
								10
153.	log0,3											log	2 5 1
							7
			x 3		31 0.
	2
				log22 x 3log2										x 2
																0,
								1
154.			log		5						log3		5 1
							3
						x 2 0.
	x

logx 3 (x2 x) 1,

155. logx2 3x (3 2x ) 0.

2

24.11.2011. www.alexlarin.net 25

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

	log3 2x					x 2,
156.			(log							(4x		6)) 1.
	log	x						2
	log	32x		x					log		3x		4
												2		3,
157.	3
			x 6 5log											x.
	log	2											2
		2
					6		log5 x log5 x									2	lg x	3	,
	1 lg x
158.											2
						x (x						10x 22) 0.
	log
		log 2
						2

159. Найдите все натуральные значения x, удовлетворяющие системе неравенств

x					x 5		2x	,
					x		3 x
x 3
				(x 1) 4.
log 2

160. Найдите все целые значения x, удовлетворяющие системе неравенств

x 8		2,
x 2

lg(x 1) 1.

Ответы

1.	a b. 2.		a b.	3. a b.			4. a b.
5.	a b. 6.		a b.	7. a b.			8. a b.
9.		a b. 10.	a b.	11.	a b.		12.	a b.
13.		a b.	14.	a b.		15.		a b.
16.		a b. 17.	a b.	18.	a b.		19.	a b.
20.		a b. 21.	a b.	22.	a b.		23.	a b.
24.		a b. 25.	a b.	26.	a b.		27.	a b.
28.		а) a b. Указание. log0,5				5 log0,6 5
log0,6 6. б)			a b.	Указание.			log5 0,7
log5 0,6 log4 0,6.				в)	a b.		Указание.
log0,6 0,7 log0,5 0,7 log0,5 0,8.							г)	a b.

Указание. Из неравенства log2 3 log3 4

0	примера 21 получаем		1				1
							log3 4
			log2 3
и	log3 2 log4 3. 29.	a b.		Указание.
Сравните разность		чисел		с		нулем.
30.	a b. Указание. Использовать тожде-

ство alog c b blog c a . 31. a b. 32. a b.

Указание. Использовать «укрупнение» чи-

сел. 33. a b. 34. a b. Указание. Ис-

пользовать неравенство Коши. 35. a b.

36. a b. 37. a b. 38. a b. 39. a b.

40. a b. 41. [ 1;1) (3;5].

42.	(3;3,5] [5; ).																								43.									1
																																							;0 (0;1].
44.	[ 98;2) (2;102].																																	3
		1									3
45.				;0										;2					. 46.										[2; ).
		2									2
47.		5;				7													;			5							48. ( ;0].
																										.
						6
														6					6
																											16
49.	( ;1). 50. ;log7																														.
																													3
51.	( ,1] log3 4, .
52.	( 1;2log3									5] (3; ). 53.
																																		1;log7										3 .
																																										5
54.		;log																																						;log
								3		3 (1; ).																				55.																	4		3 .
								5																																						3
56.	( ;1]. 57. ( ; 1] [1
																																				2;1								2]
											3																3
[3; ). 58.																					5			;								5
																																		.
																													2
														2
						1											9																						9
59.																				. 60.
	log42							;log						7															log4												;					.
					63												7																				10
														6																					3
			1 3log										3	11
																													( ; 2) ( 2; 0).
	;
61.																			. 62.
				2 log3 11

63.; log2 3 0,5; 0,5 . 64. 0; 2.

3

65.2;2 6 2 6; .3

		2		5		34
66.			;				. 67.	( 1; 0) (4; 5].
		3			9

68. 1. 69. ( ; 2) ( 2;2 15)

[6; ). 70. (0;1) (1; 2)

71. ( ; 1 2) ( 1 2;1) (1; ).

	72.	(		1;1			73.	7	.	74.
			2		3].
								4

( ; 2 3 5) ( 3; 2 3 5)

( 2 3 5; 1) ( 2 3 5; ).

75. ( ;0). 76. ( ; 3) (3; ).

77. ( 7; 6) [ 3;0) (0;1) (1;4].

24.11.2011. www.alexlarin.net 26

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

	1
78. [ 9; 4) ( 4; 1)			;0	.
	81

79.( log2 6; log2 3].

80.( ; 2] [0; 2 lg101). Указание.

Воспользуйтесь					тождеством						x log5 5x .
81. 3. 82.	1 x 2. 83. x						7		.		84. x 2.
						9
85. { 2} (2;4]. 86.						[ 3; 1) ( 1;0)
(0;1) (1;3]. 87.					[1; 2] 3 [7; ).
		2						1
88. 1	2;			{2}		. 89. 0;					{6}.
	3							6

90. ( 3; 1) {2}. 91. (0,5;1).

92. (log2 8,8; log2 22,5]. 93.

[ 4; 2 3) ( 2 3; log3 1,5].

94. x 2. 95. (2; 5]. 96. ( ; 2).

		1		3			2		3
97. (4;16,5]. 98.			;			. 99.			;		.
		6		8				5	7

100.(0;3 7] [3 7;3 23).

101.[ 1;1 3) (1 3;3]. 102. [2 6; ).

												2		5				34
	103.	( 1;1)						.				;								.
									104.							9
												3
			1
	105.		0;					(1;2). 106.								[ 1;0) (0;2,5)
			2
														1					3
	(log2 6;3). 107. 0;															1;								.
														4					2
								2								3
	108.	log4							;0			log2					;2 .
								3								2
	109.	( 2;log2 (									1)] [1;2).
										2
			1
	110.		0;						[25; ).
			25
			1
	111.			;1				(4; ). 112. 2. 113. 6.
			2
	114.	(0,4;0,5) (1;2]. 115.																	1					1
																						;			(1;2].
																		4						3
	116.	[ 1;0) (0;2]. 117.														[ 2;0) (0;1].
	118.	(9,3;10). 119. (8,1;9). 120. (2;log2 11].

121. 6. 122. 5. 123. 2. Указание. Второе неравенство привести к виду 4x 6x44 log5(x 3) и сложить левые и правые части неравенств. 124. [ 2; 1)

( 1;0) (0;1) (1;2]. 125. –1,5. Указа-

ние. См. указание к №123. Учесть далее,

что 34x2 9

2 39 4x2

32x2 4,5

34,5 24x2 2 .

126. { 4} [3,5;4]. Указание. Учесть, что y 6x 6 и y 5x 5 – возрастающие функ-

															1 13
ции. 127.						3.			128.								; 2,5 . 129.
															2
	1						1		1
0;								;					[1;1			2] [3; ) .
	27	3					9		3

130. [0,25;1). 131. [ 2; 2) {0}.

132.(0;2,5] [4,5; ).

133.[ 2; 1,5) {3}. 134. 0; 4.

5

135.; 2 {2}. 136. (0;7]. Указание.

2

Привести первое неравенство к	виду
(2x 7 1)(2x 8x) 0 и рассмотреть	его на

множестве решений первого неравенства

			3	5			3 5
системы. 137.		0;						;3	.
			2				2

138. 5. 139. [2; ). Указание. Учесть, что на ОДЗ неравенство log3 a log3 b

log3(a b 1) равносильно неравенству

(a 1)(b 1) 0. 140. [5; ).

141. [ 2; 1,1) {3}. 142. 3. 143. 3.

144. 3. 145. ( 1;0) (0;0,5] (1;2].

146. (7;13]. 147. { 3} [2; ).

148.		1		{4}. 149.				150.				1
	0;				0;	3.								;0		{1}.
		4
												3
151.	(1;2). 152. (5;8) (8;29). 153. 8. 154.
						1			3
4. 155. ( 3; 2) 1;												;log2			3	.
						2				2

156. (log4 7;1,5).

157. 0 x 1 ; 3 x 4; x 8.

3

158.(3;5 3) (7; ).

159.2. 160. 2; 3.

24.11.2011. www.alexlarin.net 27

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Системы неравенств с одной переменной.

Список и источники литературы

1.3000 конкурсных задач по математи-

ке. – М.: Рольф, 1997. – 608 с.

2.ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2011. – 192 с. (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).

3.ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экза-

мен», 2012. – 51 с.

4.Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика ЕГЭ 2011. Типовые задания С3. Методы решения неравенств с одной пе-

ременной. http://alexlarin.net/ege/2011/C32011.pdf

5.Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания. /Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И. – М.: МЦНМО, 2012. – 208 с.

6.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю. В. Конкурсные задачи по математике: Справ. пособие. – М.: Наука. Гл.

ред. физ.-мат. лит., 1992. – 40 с.

7.Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ: 2012: Математика / авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2011. – 93 с. (Федеральный институт педагогических измерений).

8.Сборник задач по математике для поступающих во втузы (с решениями). В 2-х кн. Кн. 1. Алгебра: Учеб. пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский

идр.; под ред. М.И. Сканави. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1994. – 528 с.

9.Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3 / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.:

МЦНМО, 2011.

10.http://alexlarin.net – сайт по оказа-

нию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

11.http://eek.diary.ru/ – сайт по оказа-

нию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.

24.11.2011. www.alexlarin.net 28