- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Линейные пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение линейного пространства
- •§ 3. Свойства линейного пространства
- •§ 4. Линейная зависимость
- •§ 5. Базис и координаты
- •§ 6. Размерность
- •§ 7. Подпространства
- •Глава 2. Евклидовы пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение евклидова пространства
- •§ 3. Длина вектора
- •§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
- •§ 5. Неравенство треугольника
- •§ 6. Угол между векторами
- •§ 7. Ортонормированный базис
- •Глава 3. Линейные операторы
- •§ 1. Определение линейного оператора
- •§ 2. Примеры линейных операторов
- •§ 3. Действия над линейными операторами
- •Глава 4. Преобразование координат
- •§ 1. Замена базиса
- •§ 2. Ортогональные преобразования
- •§ 3. Матрица оператора при замене базиса
- •§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему
- •§ 2. Несовместные системы линейных уравнений
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава 6. Собственные векторы и собственные числа
- •§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел
- •§ 3. Собственные векторы симметричных операторов
- •§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
- •§ 3. Малые колебания механических систем
- •Глава 8. Элементы теории метрических пространств
- •§ 1. Определение метрического пространства
- •§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства
- •§ 3. Принцип сжимающих отображений
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
42
Глава 4. Преобразование координат
§ 1. Замена базиса
Нетрудно заметить, что если в n-мерном пространстве имеется два базиса e1,e2,...,en и e1′,e′2,...,e′n , то координаты произвольного вектора в
одном базисе будут отличаться от координат того же вектора в другом базисе. Выясним, как связаны координаты произвольного вектора x относительно базиса e1,e2,...,en с координатами этого вектора относительно базиса
e1′,e′2,...,e′n . Не уменьшая общности, рассмотрим трехмерный случай. Обозна-
чив через |
x , x , x |
и |
x′, x′ |
, x′ координаты вектора x относительно базисов |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
e1,e2,e3 и e1′,e′2,e′3 соответственно, сможем написать |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = x1e1 +x2e2 +x3e3 ; |
(4.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ ′ |
′ ′ |
′ ′ |
(4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
= x1e1 |
+x2e2 |
+x3e3 . |
Для каждого из ортов e1′,e′2,e′3 имеют место следующие разложения в
базисе e1,e2,e3
e1′ =τ11e1 +τ21e2 +τ31e3;
|
|
|
|
e′2 =τ12e1 +τ22e2 +τ32e3; |
|
|
|
(4.3) |
|
|
|
|
|
e′3 =τ13e1 +τ23e2 +τ33e3, |
|
|
|
|
|
где τ |
ij |
i, j=1,2,3 |
– координаты вектора e′ |
в базисе e ,e |
2 |
,e |
3 |
. |
|
|
( |
) |
j |
1 |
|
|
43
Подставляя (4.3) в (4.2), получим
x=(τ11x1′+τ12x2′+τ13x3′)e1 +(τ21x1′+τ22x2′+τ23x3′)e2 +
+(τ31x1′+τ32 x2′ +τ33x3′)e3 (4.4)
Сравнивая теперь (4.1) с (4.4) и учитывая единственность разложения вектора x в базисе e1,e2,e3 , получим формулы, выражающие его координаты
относительно базиса e1,e2,e3 через координаты относительно базиса e1′,e′2,e′3
x1=τ11x1′+τ12x2′+τ13x3′; |
|
x2 =τ21x1′+τ22x2′ +τ23x3′; |
(4.5) |
x3 =τ31x1′+τ32x2′ +τ33x3′. |
|
Если ввести в рассмотрение одностолбцовые матрицы
|
|
|
x1 |
|
, X′= |
|
x1′ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
X = |
|
x |
|
|
x′ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x3′ |
|
|
|
|
||||
и матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
T = |
|
|
τ11 |
τ12 |
τ13 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
τ21 |
τ22 |
τ23 |
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
τ31 |
τ32 |
τ33 |
|
|
|
|
то систему (4.5) можно заменить одним матричным равенством.
′ |
(4.6) |
X =T X . |
44
Матрицу T называют матрицей поворота координатной системы. Итак, координаты вектора x относительно базиса e1,e2,e3 линейно выражаются с
помощью формулы (4.5) через его координаты относительно базиса e1′,e′2,e′3 .
Матрица системы (4.5) совпадает с матрицей, получающейся в результате транспонирования матрицы перехода от базиса e1′,e′2,e′3 к базису e1,e2,e3
[см. равенства (4.3)].
§2. Ортогональные преобразования
Вевклидовом пространстве наибольший интерес представляет случай,
когда каждый из базисов e1,e2,...,en и e1′,e′2,...,e′n ортонормированный.
Ограничиваясь по-прежнему трехмерным случаем, будем считать базисы e1,e2,e3 и e1′,e′2,e′3 ортонормированными. Так как векторы e1′,e′2,e′3
единичные и взаимно ортогональные, то имеют место 6 равенств
e1′ e1′ |
=e′2 e′2 =e′3 e′3 =1,e1′ e′2 =e1′ e′3 =e′2 e′3 =0 . |
(4.7) |
Подставляя |
(4.3) в (4.7) и учитывая, что векторы e1,e2,e3 |
тоже |
единичные и взаимно ортогональные, получим
τ112 +τ212 +τ312 =1; τ11τ12 +τ21τ22 +τ31τ32 =0 ;
τ2 |
+τ2 |
+τ2 |
=1; τ τ |
|
+τ |
τ |
23 |
+τ τ |
33 |
=0; |
(4.8) |
|
12 |
22 |
32 |
11 13 |
|
21 |
31 |
|
|
||||
τ2 |
+τ2 |
+τ2 |
=1; τ τ |
13 |
+τ |
τ |
23 |
+τ τ |
33 |
=0. |
|
|
13 |
23 |
33 |
12 |
|
22 |
32 |
|
|
|
Определение. Всякая матрица T, элементы которой удовлетворяют
соотношениям (4.8), называется ортогональной, а соответствующее
45
преобразование – ортогональным преобразованием.
Можно показать, что при ортогональном преобразовании сохраняются длины векторов и углы между ними. Докажем, что если матрица T
ортогональная, то обратная для нее T−1 и транспонированная TT совпадают,
т.е. |
|
T−1 =TT . |
(4.9) |
Для доказательства вычислим произведение TT T
TT T= |
|
|
|
τ11 |
τ21 |
τ31 |
|
|
|
|
|
|
|
τ11 |
τ12 |
τ13 |
|
|
|
=E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
τ12 |
τ22 |
τ32 |
|
|
|
|
|
|
τ21 |
τ22 |
τ23 |
|
|
|
(4.10) |
|||
|
|
|
|
τ13 |
τ23 |
τ33 |
|
|
|
|
|
|
|
τ31 |
τ32 |
τ33 |
|
|
|
|
|
Умножая обе части матричного равенства TT T=E справа на T−1, получим (4.9). Справедливо утверждение, обратное доказанному. Иногда условие (4.9) берут за определение ортогональной матрицы. Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей, можем, используя (4.10), написать
detTT detT =detE.
Но так как detTT =detT, а detE=1, то предыдущее равенство можно записать в виде
(detT)2 =1,
откуда следует
detT=±1.