- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Линейные пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение линейного пространства
- •§ 3. Свойства линейного пространства
- •§ 4. Линейная зависимость
- •§ 5. Базис и координаты
- •§ 6. Размерность
- •§ 7. Подпространства
- •Глава 2. Евклидовы пространства
- •§ 1. Введение
- •§ 2. Определение евклидова пространства
- •§ 3. Длина вектора
- •§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
- •§ 5. Неравенство треугольника
- •§ 6. Угол между векторами
- •§ 7. Ортонормированный базис
- •Глава 3. Линейные операторы
- •§ 1. Определение линейного оператора
- •§ 2. Примеры линейных операторов
- •§ 3. Действия над линейными операторами
- •Глава 4. Преобразование координат
- •§ 1. Замена базиса
- •§ 2. Ортогональные преобразования
- •§ 3. Матрица оператора при замене базиса
- •§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему
- •§ 2. Несовместные системы линейных уравнений
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава 6. Собственные векторы и собственные числа
- •§ 1. Определение собственных векторов и собственных чисел
- •§ 3. Собственные векторы симметричных операторов
- •§ 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
- •§ 3. Малые колебания механических систем
- •Глава 8. Элементы теории метрических пространств
- •§ 1. Определение метрического пространства
- •§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства
- •§ 3. Принцип сжимающих отображений
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
69
Аналогично находим из второй системы второй единичный собственный вектор: сначала E2 (t,2t), а затем
′ |
|
1 |
|
2 |
|
||
e |
2 |
|
|
; |
|
. |
|
5 |
5 |
||||||
|
|
|
|
Матрица поворота при этом примет вид
|
|
2 |
1 |
|
T = |
|
5 |
5 |
, |
|
− |
1 |
2 |
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
а формулы преобразования координат можно записать в виде
|
2 |
|
|
′ |
|
1 |
|
|
′ |
||||
x= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||
5 |
x |
5 |
y , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
||||
y=− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||
5 |
|
x |
|
5 |
|
y . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что detT =+1. Это значит, что новая система координат (как и старая) – правая.
§2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
Внекоторых вопросах математики и физики требуется решить следующую задачу: привести две квадратичные формы A(x,x) и B(x,x),
заданные в n -мерном пространстве R к каноническому (диагональному) виду
70
и указать соответствующий базис в пространстве R.
Можно показать, что эта задача не всегда имеет решение. Если же
допустить дополнительно, что одна из этих форм, например положительно определенная, то поставленная задача имеет решение.
Для того чтобы в этом убедиться обозначим через B(x,y)симметричную билинейную форму, соответствующую квадратичной форме B(x,x) и в
пространстве R евклидову метрику, положив
(7.13)
Так как квадратичная форма симметричная и положительно определенная, то аксиомы скалярного произведения выполняются.
Ранее было показано, что существует ортонормированный базис (относительно введенной нами метрики), в котором квадратичная форма принимает вид
A x,x |
=λ x2 |
+λ x2 |
+...+λ x2 |
, |
(7.14) |
( ) |
1 1 |
2 2 |
n n |
|
|
где x1, x2, ..., xn – координаты вектора x в построенном базисе.
В этом же базисе вторая квадратичная форма B(x,x)имеет вид
B(x,x)= x12 +x22 +...+xn2 ,
а это значит, что базис, в котором обе квадратичные формы A(x,x)и B(x,x)
имеют канонический вид, существует.
Для того чтобы найти координаты векторов искомого базиса, рассмотрим
вопрос о |
значениях, которые принимает |
квадратичная |
форма |
A x,x |
) |
на |
|||
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
единичной |
сфере |
x,x |
=1 евклидова пространства R |
и о |
нахождении |
||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
стационарных значений |
|
формы. Заметим, |
что дифференцируемая функция |
f (x) определенная в точках |
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
поверхности |
S принимает в точке x0 S |
|||||||||
стационарное значение, если |
в точке |
x0 |
производная |
функции |
f (x) |
по |
||||
любому направлению на поверхности |
S равна нулю. Можно показать, |
что |
||||||||
имеет место следующее утверждение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Квадратичная форма A x,x |
) |
принимает стационарные значения на тех |
||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах единичной сферы, |
которые |
являются собственными |
векторами |
|||||||
D |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
симметричного оператора A , соответствующего форме A x,x |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
Задача об определении стационарных значений есть задача на условный экстремум. Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Будем считать, что
|
|
|
( |
|
) |
и |
|
( |
) |
имели следующие |
||
в исходном базисе квадратичные формы A x,x |
|
B x,x |
|
|||||||||
выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x,x |
) |
= |
n |
x x , |
|
|
|
|
|
|||
∑a |
|
|
|
|
|
|||||||
( |
|
i,k =1ik |
i |
k |
|
|
|
|
|
|
||
B x,x |
) |
= |
n |
x x . |
|
|
|
|
|
|||
∑b |
|
|
|
|
|
|||||||
( |
|
i,k =1ik |
i |
k |
|
|
|
|
|
|
||
В согласии с методом Лагранжа составим функцию |
|
|
|
|||||||||
F(x1, x2, ..., xn )= |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
∑aik xi xk −μ |
∑bik xi xk |
(7.15) |
||||||||||
|
|
i,k =1 |
|
|
|
|
|
i,k =1 |
|
|
|
и приравняем нулю каждую ее частную производную по всем координатам x1, x2, ..., xn . Получим систему n однородных уравнений
(a11 −μb11)x1 +(a12 −μb12 )x2 +...+(a1n −μb1n )xn =0, |
|||||||||||||
(a21 −μb21 )x1 +(a22 |
−μb22 )x2 |
+...+(a2n −μb2n )xn =0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.16) |
|
|
|
)x |
+(a |
|
|
)x |
|
+...+(a |
|
−μb )x |
|
|
(a |
n1 |
−μb |
n2 |
−μb |
2 |
nn |
n |
=0, |
|||||
|
n1 |
1 |
|
n2 |
|
|
nn |
|
72
которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть
|
a11 −μb11 |
a12 −μb12 |
a1n −μb1n |
|
|
|
|
||||
|
a21 −μb21 |
a22 −μb22 |
a2n −μb2n |
|
=0. (7.17) |
|
an1 −μbn1 |
an2 −μbn2 |
ann −μbnn |
|
|
Решив уравнение (7.17), мы найдем n корней μ1, μ2, ...,μn , подставляя
их последовательно в систему (7.16) мы будем находить координаты соответствующего искомого базисного вектора. Доказано, что уравнение (7.17) имеет только вещественные корни, причем каждому кратному корню соответствует столько линейно независимых решений системы (7.16) какова его кратность. Находить эти линейно независимые решения следует используя правила решения однородных систем линейных уравнений.
Показано также, что коэффициенты λ1, λ2, ..., λn в канонической
|
|
|
|
|
( |
) |
совпадают с соответствующими |
||||
записи (7.14) квадратичной формы A x,x |
|
||||||||||
корнями определителя (7.17) |
μ1, μ2, ...,μn . |
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1. Привести квадратичные формы |
|
|
|
|
|||||||
A x,x |
) |
= x2 |
+2x x |
+3x2 |
+2x x −2x x +6x2 |
, |
(7.18) |
||||
( |
|
1 |
1 2 |
|
2 |
2 3 |
1 3 |
3 |
|
|
|
B x,x |
) |
= x2 |
+2x x |
+2x2 |
−2x x +3x2 |
|
|
(7.19) |
|||
( |
|
1 |
1 2 |
|
2 |
1 3 |
3 |
|
|
|
к каноническому виду и получить формулы перехода от старых координат к новым.
73
В нашем случае функция F(x1, x2, x3 )будет иметь вид
F(x1, x2, x3 )= x12 +2x1x2 +3x22 +2x2 x3 −2x1x3 +6x32 −
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−μ x |
2 |
+2x x |
2 |
+2x2 |
−2x x +3x2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
3 |
3 ) |
|
||||
Вычислим частные производные функции F(x1, |
x2, |
x3 )по x1, x2, x3 и |
|||||||||||||||||||||||
приравняем каждую из них нулю. Будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x1 +2x2 −2x3 −μ(2x1 +2x2 |
−2x3 )=0, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x |
+6x |
2 |
+2x −μ(2x +4x |
2 |
)=0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−2x +2x |
2 |
+12x −μ |
(−2x |
|
+6x )=0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сократим каждое уравнение этой системы на 2 и запишем ее в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(1−μ)x1 + (1−μ)x2 +(−1+μ)x3 =0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(1−μ)x1 + (3−2μ)x2 +x3 =0, |
|
|
|
|
|
(7.20) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
(−1+μ)x + x |
2 |
+(6−3μ)x =0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приравняем нулю определитель этой системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1−μ |
|
1−μ |
|
|
−1+μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1−μ |
|
3−2μ |
|
1 |
|
|
=0 . |
|
|
|
|
|
(7.21) |
|
|
|||||||
|
|
|
−1+μ |
1 |
|
|
6−3μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Последнее равенство можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
( |
|
|
) |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1−μ 3−2μ |
|
|
1 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1−μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1+μ |
1 |
6−3μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или после вычисления определителя
(1−μ)(μ2 −5μ+6)=0 .