7.2.3 Аппроксимация Чебышева

При аппроксимации частотной характеристики ФНЧ полиномами Чебышева при одинаковом числе звеньев n обеспечивается большее затухание в полосе заграждения по сравнению приближением АЧХ по Баттерворту. При такой аппроксимации нормированная частотная характеристикаY(S) задается формулой:

(7.9)

где ζ<1- постоянное число, называемое коэффициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания,

Т_n(S)-полином Чебышева порядкаn:

(7.10)

Если перейти в область комплексного переменного, то можно получить выражение полинома Чебышева в бесконечном интервале нормированных частот:

. (7.10^/)

Полиномы Чебышева имеют следующие особенности:

в интервале –1<S<+1 функцияТ_n(S) заключена между –1 и+1. Поэтому выбирая коэффициент неравномерности ζ достаточно малым, можно аппроксимировать функциюY(S) сколь угодно близко к единице в полосе пропускания при любом порядке фильтра.

В

интервале 1<S<∞ функция резко возрастает с увеличениемS, при большихSиз (7.10^/) следует:приS>>1.В результате затухание в полосе заграждения с увеличениемSрезко увеличивается. Так в приведенном выше примере приS_З=3 иn=4 фильтр Баттерворта обеспечивал затухание равное 30дБ.

Фильтр Чебышева при тех же условия и коэффициенте неравномерности в полосе пропускания равном ζ=0,5 вызывает затухание сигнала равное:

т.е. на порядок выше, при этом максимальное отклонение нормированной АЧХ в полосе пропускания не превышает:

или 20|lg1,11|~0,969дБ.

Необходимый порядок фильтра Чебышева находится при удовлетворении следующего соотношения:

где М_З- необходимая величина затухания фильтра в полосе заграждения в децибелах на нормированной частотеS_Зпри заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания -ζ.

В технической литературе посвященной проектированию и расчету активных фильтров помимо формул приводятся номограммы для определения порядка фильтров Чебышева, Баттерворта и других типов на основании технических требований к ним.[4,5]

Полюсы фильтров Чебышева находятся из соотношения аналогичного (7.6) Очевидно, для этого необходимо исследовать уравнение:

. (7.11)

Метод решения уравнения (7.11) достаточно громоздкий. Окончательный результат состоит в том, что после определения порядка фильтра Чебышева- n_Ч(например, с помощью номограмм в[4,5]), находят нормированные полюсы фильтров Баттервортаn_Бв предположении, что порядок этих фильтров одинаковый:

n_Ч=n_Б.

Далее вычисляется вспомогательный параметр:

Переход к полюсам фильтра Чебышева осуществляется умножением действительных частей полюсов Баттерворта на Sh(a), а мнимых- наCh(a). Таким образом, полюсы фильтров Чебышева располагаются не на окружности единичного радиуса, как у фильтров Баттерворта, а на эллипсе, уравнение которого в плоскости комплексного переменногоР=σ+jSимеет вид:

(7.12)

Структура фильтра Чебышева определяется также, как и фильтров Баттерворта, т.е. действительному полюсу соответствуетзвено первого порядка, а двум комплексно-сопряженным полюсам-звено второго порядка.

После определения порядка фильтра (Баттерворта или Чебышева) и его полюсов можно записать коэффициент передачи устройства выраженный через нормированную S, а затем и ненормированнуюωчастоту с тем, чтобы получить возможность до реализации звеньев фильтра проверить соответствие его частотной характеристики требованию технического задания. Приn=1 фильтр содержит только одно звено-первого порядка. Каждому звену второго порядка соответствует произведение двух комплексно- сопряженных полюсов или корней знаменателя нормированного коэффициента передачиK(P): (P-P_i)(P-P_i^*) Учитывая, что:

где α_iβ_i-действительные и мнимые части этих полюсов, получим:

Следовательно, коэффициент передачи К(P) может быть записан:

(7.13)

Коэффициенты 2α_j=В_j, (α_j²+β_j²)=C_jназываются полиномиальными, они однозначно определяются при известномnиз таблицы 7.1 для фильтров Баттерворта или с учетом (7.12)- для фильтров Чебышева. В выражении (7.13) первый нормированный полюс равен –1, поэтому (P-P₁)=(P+1).

Для фильтров Баттерворта К(0)=1, поскольку

(7.14)

Действительно, нормированные полюсы такого фильтра с координатами α_j,β_jв комплексной плоскости всегда расположены на единичной окружности, следовательно, квадрат длины модуля вектора полюсов равен единице:, поэтому справедливо выражение (7.14) т.е. коэффициентыС_jдля таких фильтров всегда равны единице. В фильтрах Чебышева нормированные полюсы расположены на эллипсе и условие (7.14) не выполняется.

Переход от коэффициента К(P) к комплексному коэффициенту передачи фильтраК(jω) производится заменой в (7.13) аргументаPнаjω/ω_СР, гдеω_СР- частота среза, и переходом от нормированных полюсовP_iк ненормированным. Частотная характеристика фильтра записывается обычным образом, т.е. как зависимость модуля его комплексного коэффициента передачи |К(jω)| от частоты.