7.3. Проектирование фильтров высоких частот,

полосовых и заграждающих

Проектирование ФВЧ, полосовых и заграждающих фильтров производится на основе ФНЧ-прототипа с помощью инверсии нормированной частоты для ФВЧ и сдвига и нормировки частоты для полосовых и заграждающих фильтров.

Рассмотрим таблицу 7.2, с помощью которой легко понять сущность такого проектирования.

Таблица 7.2

Тип фильтра	Преобразование частот	Преобразование комплексной переменной
ФНЧ	S=	P=p/ωСР
ФВЧ		P=ωСР/p
ПФ		P=(p^2+ω0^2)/pΔω
ЗФ		P=pΔω/(p^2+ωЗ^2)

Первая строка этой таблицы иллюстрирует то, что было сказано в разделе 7.2.Исходя из технического задания на проектирование, вводится нормированная частота Sравная отношению реальной угловой частотыωк частоте среза фильтраω_СР. Далее проводятся все этапы проектирования, по заданным в ТЗ аппроксимации АЧХ , затуханию в полосе заграждения и неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания (аппроксимация Баттерворта или Чебышева) находится порядок фильтраn,его нормированные полюсы и звенья устройства. Наконец, с помощью третьего столбца и первой строки указывается обратный переход от нормированной частотыSвК(S) к ненормированной комплексной переменнойр, комплексному коэффициенту передачиК(jω) и, следовательно, возможности построения частотной характеристики синтезируемого фильтра.

Рассмотрим способ проектирования фильтров высоких частот на основании ФНЧ- прототипа. Пусть, например, имеется нормированное звено первого порядка фильтра низких частот с операторным коэффициентом передачи:

(7.15)

где Р-нормированная комплексная переменная. Введем в рассмотрение инверсную (обратную) нормированную комплексную переменную:

.

Подставляя эту переменную в выражение для К(Р), получим:

От нормированной комплексной переменной перейдем к нормированной инверсной частотена основании равенстваТогда

(7.16)

Комплексному коэффициенту передачи (7.16) соответствует частотная характеристика

(7.16^/)

авыражению (7.15) нормированная частотная характеристика:

Последнее выражение соответствует частотной характеристике ФНЧ первого порядка, а соотношению (7.16^/)- частотная характеристика фильтра высокой частоты также первого порядка. Таким образом, инверсия:

комплексной переменной Pи соответственно частотыSпереводит фильтр низких частот в фильтр высоких частот и очевидно обратная инверсия, наоборот, переводит ФВЧ в ФНЧ. Полосе нормированных частот 0<S<1 соответствует полоса инверсной частоты: ∞>>1; полосе частот 1<S<∞ полоса:. На частоте срезаS=1 инверсная частотатакже равна единице.

Следовательно, указанные частотные характеристики оказываются зеркально отраженными и симметричными относительно вертикальной линии при S=1-рис.7.4.

При инверсии комплексной переменной Р полюсы операторных коэффициентовК(Р)иоказываются одинаковыми, однако прив операторном коэффициенте передачипоявляется нуль, т.е. комплексный коэффициент передачиимеет нуль на нулевой частоте=0.

Аналогично цепь второго порядка ФНЧ при инверсии комплексной переменной Р переходит в цепь второго порядка ФВЧ с теми же полюсами и двумя нулями на нормированной частоте=0.

Следовательно, имея техническое задание на проектирование фильтра высоких частот- частоту среза ω_СР, вид аппроксимации АЧХ, требования к затуханию в полосах заграждения и пропускания- его можно проектировать на основе ФНЧ-прототипа, если после введения нормированной комплексной переменнойР=р/ω_СРпроизвести инверсию частоты согласно второй строке таблицы 7.2.При этом фильтр высокой частоты превращается в ФНЧ , его порядок определяется также, как и при проектировании фильтров низких частот.

После определения структуры ФНЧ прототипа, т.е числа звеньев и их полюсов записывается аналитическое выражение его операторного коэффициента передачи.. Далее переходят к реальным частотам проектируемого ФВЧ путем обратной инверсии согласно второй строке и третьему столбцу таблицы 7.2. При этом в числителе коэффициента передачи проектируемого ФВЧ появляются нули на нулевой частоте: ω=0: звено первого порядка фильтра прототипа порождает один такой нуль, а каждое звено второго порядка прототипа- два нуля.

Проектирование полосовых фильтров.

В задании на полосовой фильтр указываются:

центральная частота ω₀, верхняя и нижняя частоты срезаω_В,ω_Н (обычно симметричные относительноω₀) и полоса пропусканияΔω=ω_В-ω_Н; частоты загражденияω_ЗВиω_ЗН(также обычно симметричные относительноω₀) и затуханиеМ_В=М_Нна этих частотах. Приводятся требования к аппроксимации АЧХ фильтра в полосе пропускания и заграждения.

Переход от полосового фильтра к ФНЧ-прототипу с частотой Sпроизводится согласно третьей строке таблицы 7.2:

(7.17)

,

где ω₀²=ω_В ω_Н.

При таком преобразовании частот происходит нормировка S, кроме того центральной частотеω₀соответствует нуль в шкале нормированных частот, верхняя частота среза ω_Встановиться равной нормированной частотеS=+1 ФНЧ- прототипа.

В самом деле, пусть ω=ω₀, тогда согласно (7.17):

При ω=ω_В:

аналогично при ω=ω_НS=-1 (четная симметрия АЧХ ФНЧ -прототипа относительно нулевой частоты).

После указанного частотного преобразования появляется возможность синтезировать ФНЧ-прототип, используя требования технического задания на вид аппросимации АЧХ полосового фильтра, обеспечения необходимого затухания в полосе заграждения и неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания.

Синтезировав фильтр, определив его порядок, число и вид звеньев записывают частотную характеристику ФНЧ-прототипа. После этого с помощью обратного частотного преобразования, записанного на пересечении третьей строки и третьего столбца таблицы 7.2 переходят от выражения частотной характеристики ФНЧ-прототипа к выражению АЧХ полосового фильтра.

Рассматриваемое частотное преобразование показывает, что при подстановке нормированной частоты в выражения операторных коэффициентов передачи звеньев прототипа происходит удвоение порядка звеньев полосового фильтра: звено первого порядка превращается в звено второго порядка, а звено второго порядка прототипа в звено четвертого порядка. Показано, см. ,например, [6], что звено четвертого порядка может быть представлено в виде двух последовательно включенных звеньев второго порядка Одновременно в коэффициенте передачи ПФ появляются нули второй и четвертой кратности при р =0 соответственно для звеньев второго и четвертого порядка.