Входной и выходной токи связаны с токами невырожденных контуров выражениями

, ,

которые могут быть представлены в виде матричного уравнения:

, (6.12)

где , .

Объединив (6.10) и (6.12) в одно матричное уравнение

и решив его относительно и , получим

(6.13)

Сравнивая (6.13) с (6.5) получаем выражения, связывающие z-параметры четырехполюсника с матрицей эквивалентных параметров схемы:

, ,

(6.14)

, .

Так как элементами матриц ,,,являются значения 1, -1, 0, то определители, стоящие в числителях выражений (6.14) могут быть приведены к определителям (n-1)-го порядка, а определитель, стоящий в знаменателе этих выражений – к определителю (n-2)-го порядка, гдеn– порядок матрицы.

Определитель матрицы равен суммарному алгебраическому дополнению матрицы относительно преобразующих векторови с обратным знаком:

. (6.15)

Обычно векторы исодержат значительное число нулевых составляющих. Поэтому эти векторы чаще всего отображают множеством номеров их ненулевых составляющих, разбивая каждое из них на подмножества номеров положительных и отрицательных составляющих, называемых положительными и отрицательными подмножествами.

Суммарное алгебраическое дополнение матрицы относительно преобразующих векторовиполучают следующим образом:

• Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе. Прибавляютp-ую строку матрицы к строкам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитаютp-ую строку из строк, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого p-ую строку вычеркивают.

• Выбирают опорный элемент в преобразующем вектореПрибавляютq-ый столбец матрицы к столбцам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитаютq-ый столбец из столбцов, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого q-ый столбец вычеркивают.

• Находят определитель преобразованной матрицы (n-1)-го порядка.

• Результат умножают на , где - знак произведения опорных элементов; p и q – номера опорных строки и столбца.

Определитель матрицы равен двухкратному

суммарному алгебраическому дополнению матрицы относительно преобразующих векторов,и,:

. (6.16)

Множества номеров ненулевых составляющих векторов и (как и векторов и ) могут содержать общую часть, определяемую их пересечением, и собственные подмножества, включающие те элементы, номера которых имеются только в таком векторе. На первом этапе определения опорные элементы в преобразующих векторах следует выбирать из тех, которые содержатся в собственных подмножествах. Невозможность такого выбора указывает на линейную зависимость векторов и (или векторов и ), следствием чего является равенство нулю двухкратного алгебраического дополнения .

Двухкратное суммарное алгебраическое дополнение матрицы относительно преобразующих векторов,и,получают следующим образом:

• Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе. Прибавляют-ую строку матрицык строкам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают-ую строку из строк, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого-ую строку вычеркивают.

• Выбирают опорный элемент в преобразующем вектореПрибавляют-ый столбец матрицык столбцам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают-ый столбец из столбцов, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого-ый столбец вычеркивают.

• Выбирают опорный элемент в преобразующем векторе. Прибавляют-ую строку матрицык строкам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают-ую строку из строк, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого-ую строку вычеркивают.

• Выбирают опорный элемент в преобразующем вектореПрибавляют-ый столбец матрицык столбцам, определяемым элементами подмножества противоположного знака, и вычитают-ый столбец из столбцов, определяемых элементами подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого-ый столбец вычеркивают.

• Находят определитель преобразованной матрицы (n-2)-го порядка.

• Результат умножают на , где- знак произведения опорных элементов; ,,,– номера опорных строк и столбцов;

.

Учитывая (6.15) и (6.16), выражения (6.14) для z-параметров могут быть представлены в виде:

, ,

(6.17)

, .

Подставляя (6.17) в выражения (6.7)-(6.9) и учитывая, что , получаем:

, (6.18)

, (6.19)

. (6.20)

Обобщенные топологические матрицы:

Компонентные матрицы:

Обобщенная компонентная матрица:

Матрица эквивалентных параметров схемы:

Столбцы матрицы невырожденных контуров,

соответствующие входному и выходному ребрам

Преобразующие векторы для суммарных

алгебраических дополнений матрицы W