Inzhenernaya_grafika_Lektsii_Shibaeva

Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра механики и графики (М и Г)

И Н Ж Е Н Е Р Н А Я Г Р А Ф И К А

Лекции для студентов 1 курса факультета электронной техники

специальности 200100, 200300

Разработчик Ст. преподаватель Шибаева И.П.

ТОМСК

2003

2
С О Д Е Р Ж А Н И Е
1. Введение	3
2. Принятые обозначения	3
3. Методы проецирования	4
3.1. Центральное проецирование	4
3.2. Параллельное проецирование	4
4. Комплексный чертеж точки	5
4.1. Точка в системе плоскостей проекций	6
4.2. Комплексный чертеж и координаты точки	9
4.3. Положение точки относительно плоскостей проекций	10
5.Комплексный чертеж прямой	11
5.1. Проекции отрезка прямой линии	11
5.2. Частные случаи расположения прямой линии относительно
плоскостей проекций	11
5.3. Точка на прямой. Следы прямой	13
5.4. Взаимное положение двух прямых	15
6. Комплексный чертеж плоскости	20
6.1. Различные способы задания плоскости на чертежах	20
6.2. Положение плоскости относительно плоскости проекций	22
7. Взаимное положение двух плоскостей, прямой и
плоскости	27
7.1. Пересечение прямых линий проецирующими плоскостями	27
7.2. Взаимное пересечение двух плоскостей	28
8.Многогранники	29
8.1. Изображение многогранников	29
8.2. Пересечение многогранников плоскостью и прямой	31
8.3. Взаимное пересечение многогранников	33
9. Кривые линии и поверхности	35
9.1. Кривые линии	35
9.2. Кривые поверхности. Поверхности вращения	36
10. Пересечение поверхностей вращения плоскостью и прямой
линией	41
10.1. Пересечение поверхностей плоскостью	41
10.2. Пересечение поверхности вращения прямой линией	45
11.Пересечение одной поверхности другою, из которых хотя
бы одна поверхность вращения	47
11.1 .Применение вспомогательных секущих плоскостей	48
11.2. Построение проекций геометрического тела со сквозным
вырезом	49
Список литературы	52

3

1.В В Е Д Е Н И Е

Вчисло предметов, составляющих основу инженерного образования, входит инженерная и компьютерная графика. Компьютерная графика будет представлена графическим редактором AutoCAD. Инженерная графика является синтезом двух дисциплин - начертательной геометрии и черчения.

Рабочая программа предмета для данной специальности составляет 95 часов, из них 10 часов лекций, 28 часов практических занятий, 16 часов лабораторных работ (AutoCAD) и 43 часа самостоятельной работы.

Мы начнем изучение предмета с начертательной геометрии. Основа изучения курса начертательной геометрии - курс геометрии средней школы.

Начертательная геометрия изучает способы построения изображений пространственных форм на плоскости, дает графические способы решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету.

Целью курса начертательной геометрии является развитие пространственного воображения, изучение теоретических основ для выполнения чертежей на любом носителе информации. Если чертеж называют "языком техники", то начертательная геометрия является "грамматикой этого языка".

Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод изображений является основным методом начертательной геометрии.

2.П Р И Н Я Т Ы Е О Б О З Н А Ч Е Н И Я

1. Точки в пространстве – прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D, ... , а также цифрами I, II, III, ... .

2.Линии в пространстве – по точкам, определяющим линию.

3.Плоскости – строчными буквами греческого алфавита , , , и

прописными буквами латинского алфавита P, Q, R, S.

4.Плоскости проекций: горизонтальная - H , фронтальная - V, профильная - W .

5.Оси проекций – строчными буквами x, y, z. Начало координат – прописной буквой O.

6.Проекции точек:

на горизонтальную плоскость		H	–	a, b, c, ...		1,	2,	3... ;
на фронтальную плоскость	V	–	a',	b',	c', ...	1',	2',	3', ... ;
на профильную плоскость	W	–	a'',	b'',	c'', ... 1'',		2'', 3'', ... .

4

3. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Рассмотрим методы проецирования, начиная с построения проекций точки, так как при построении изображения любого объекта проецирования рассматривается ряд точек, принадлежащих этому объекту.

	3.1. Центральное проецирование
	При центральном проецировании						S
	проецирующие лучи выходят из одной					A1
	точки – центра проецирования S.						B
					A
	Для получения центральных
	проекций надо задать:
	1.	Центр проекций – точку S.
					a
	2.	Плоскость проекций – плос-
	кость	.
	3.	Объект проецирования – точ-					b
	ку А (рис. 3.1).					α
	Проведем через точки S и		А
				Рис.3.1- Центральное проецирование
	прямую линию (проецирующий луч)
	до пересечения еѐ с плоскостью		,

получаем точку а. Также поступим, например, с точкой В. Точки	а, в	явля-
ются центральными проекциями точек А, В на плоскости .	Они полу-
чились при пересечении проецирующих прямых (проецирующих лучей)		SА,
SВ с плоскостью проекций.

Если даны центр проекций и плоскость проекций, то можно построить центральную проекцию любой точки пространства и это будет единственная точка. Но, имея центр проекций и центральную проекцию, нельзя определить положение точки в пространстве. Действительно, для центральной проек-

ции а объектом проецирования могут быть точки	А, А1,	расположенные на
проецирующем луче S а. Для единственного решения в этом случае необхо-
	димы	дополнительные
А	условия.

А1	В

А2

a

b

α

Рис. 3.2– Параллельное проецирование

3.2. Параллельное проецирование

Параллельное проецирование можно считать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удалѐн.

При параллельном проецировании задаѐтся

5

направление проецирования S. Условимся считать все проецирующие лучи параллельными направлению проецирования.

Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

Так построены (рис.3.2) параллельная проекция точки А – а, точки В – в. Заметим, что для точки А единственной проекцией будет а, точки В – в.

Но для параллельной проекции а объектом проецирования могут быть точки А, А1 и А2 и любая другая точка, расположенная на проецирующем луче А - а. То есть по проекции точки невозможно представить положение точки, как объекта проецирования, в пространстве. Так же, как и для центральной проекции необходимы дополнительные условия.

Параллельные проекции делятся на прямоугольные и косоугольные.

При косоугольном проецировании направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 900. При прямоугольном проецировании направление проецирования, а значит и проецирующие лучи, перпендикулярны плоскости проекций.

Центральные проекции используют при построении перспективы, обладающей большой наглядностью. Но размеры изображений при этом не соответствуют действительным. Поэтому метод центрального проецирования в техническом черчении почти не употребляют.

Наиболее широко используется при составлении чертежей прямоугольное проецирование, так как даѐт изображения, удобные для простановки размеров.

Но мы уже заметили, что наличие одной проекции не определяет положения объекта проецирования в пространстве (Рис. 3.1, 3.2: по проекции а невозможно определить положение самой точки А в пространстве).

Существуют разные варианты дополнения однопроекционного изображения. Наиболее широко используется метод, предложенный французским ученым Гаспаром Монжем в 1792 г. В основе этого метода - прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости. Этот метод обеспечивает выразительность, точность и удобоизмеримость изображений объектов проецирования на плоскости и является основным методом составления технических чертежей.

4. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ

Метод Монжа основан на том, что точку (или любой объект) проецируют на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, используя прямоугольное проецирование, а затем эти плоскости совмещают с одной плоскостью. Обьект проецирования находится между наблюдателем и плоскостью проекций.

6

4.1. Точка в системе плоскостей проекций

На рис.4.1 изображены две вза-

V

имно

перпендикулярные

плоскости.

Примем их за плоскости проекций. Од-

на из них, расположенная горизонталь-

x

но, обозначена буквой

Н. Другая, пер-

пендикулярная плоскости

Н,

обозна-

H

чена буквой

V.

Эти плоскости имеют

названия :

Н – горизонтальная,

V

–

фронтальная.

Плоскости

проекций

Н и

V об-

Рис. 4.1–Система плоскостей

разуют систему плоскостей

Н, V. Ли-

ния пересечения плоскостей проекций

называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей Н

и V на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение x или

обозначение в виде дроби V / Н.

Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций,

считается первым тот, грани которого на рис.4.1 обозначены Н и V.

На рис. 4.2 показано построение проекций некоторой точки А в систе-

ме

Н, V.

Проведя из точки А пер-

V

пендикуляр к

горизонтальной

плос-

a'

кости проекций

Н, получаем гори-

зонтальную проекцию точки, обозна-

A

ченную

а.

Для

получения

проекции

на

x

ax

плоскости V

проводим из точки

А

перпендикуляр к плоскости

V,

полу-

чаем фронтальную проекцию точки,

a

H

обозначенную а'.

Проецирующие

прямые,

соот-

Рис. 4.2–Проекции точки

ветственно перпендикулярные к

Н и

V

V,

определяют плоскость, перпендикулярную к

плоскостям и к оси проекций. Эта плоскость пе-

a′

ресекается с плоскостями Н и

V по двум взаим-

A

но перпендикулярным прямым аах и а'аx, кото-

рые пересекаются в точке

ах

на оси проекций.

ax

Следовательно, проекции некоторой точки полу-

x

чаются расположенными на прямых, перпенди-

кулярных к оси проекций и пересекающих эту ось

a

H

в одной и той же точке.

Рис. 4.3–Положение

Проверим,

определяет

ли наличие двух

проекций положение точки в пространстве. Если

точки в пространстве

даны проекции

а и а' для некоторой точки А,

	7
то, проведя перпендикуляры – через	а к плоскости Н, и через а' к плоско-
сти V – получим в пересечении этих	перпендикуляров определенную точку, в

данном случае точку А (рис. 4.3).

Следовательно, две проекции точки вполне определяют еѐ положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Если совместить плоскость проекций

Н с плоскостью проекций V

вращением вокруг оси проекций x

в направле-

a'

V

нии, указанном стрелками на рис.6,

то получим

одну плоскость – плоскость чертежа; проекции

а и а'

расположатся на одном перпендикуляре

к оси проекций. Этот перпендикуляр будем

называть линией связи (рис. 4.5).

ax

В

результате

указанного

совмещения

x

a

плоскостей

V

и

Н

a'

получается

чертеж,

H

известный

под

назва-

нием эпюр

или ком-

H

плексный

чертеж

ax

(рис. 4.5).

Рис. 4.4–Образование

x

На

рис.

4.1–4.4

эпюра

плоскости

проекций

изображены в виде четырехугольников, на самом деле

a

они бесконечны. Поэтому на чертежах, а также в зада-

чах по начертательной геометрии, выполняют лишь

Рис. 4.5–Эпюр точки

проекции заданного геометрического образа, а конту-

ры плоскостей проекций

не

z

показывают (рис. 4.5).

При

сравнении

про-

V

странственного

чертежа

с

a

׳

az

эпюром мы видим, что на

эпюре

утрачена

простран-

ственная

картина располо-

A

a״

W

жения плоскостей проекций

и точки. Но эпюр обеспечи-

вает точность и удобоизме-

римость

изображений

при

значительной простоте

по-

x

ax

O

строений. Чтобы предста-

вить

по

нему

простран-

a

ay

ственную картину требуется

работа воображения: напри-

H

у

мер,

по рис. 4.5

надо пред-

Рис. 4.6–Проецирование точки на три

плоскости проекций.

8

ставить изображение на рис. 4.2.

В ряде случаев при решении задач оказывается необходимым вводить в

систему плоскостей V, Н и другие плоскости проекций.

Введем в систему V, Н	вертикальную плоскость проекций, обозна-
ченную W. Еѐ называют профильной плоскостью проекций. Плоскость W
перпендикулярна и к плоскости	Н и к плоскости V. Плоскость V и плос-

кость W пересекаются по оси проекций z, а плоскость Н и плоскость W по оси проекций y; эти оси перпендикулярны к оси x. Буквой О обозначена точка пересечения всех трех осей проекций. Так как ось x перпендикулярна W, ось y перпендикулярна V, а ось z перпендикулярна Н, то в точке О совпадают проекции оси x на W, оси y на V, оси z на Н.

Для образования комплексного чертежа из трех плоскостей проекций проведем совмещение плоскостей Н,V,W в одну плоскость, как показано на рис. 4.7. Для оси y дано два положения: yн и yw.

	z		a′	z	a״
	V	W
	W
x	O	x		o	yw
		yW
	H
	yH
	H		a
Рис. 4.7–Образование эпюра из				yh
		Рис. 4.8–Проекция точки на
трех плоскостей проекций		три плоскости проекций

Пространственное изображение на рис. 4.6 и чертеж на рис. 4.8 содержат горизонтальную – а, фронтальную – а', и профильную – а'' проекции точки А. Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной показано на рис. 4.8. Можно воспользоваться или дугой окружности,

проведенной из точки	О или биссектрисой угла		yн	o	yw (постоянной пря-
мой чертежа).
Горизонтальная и фронтальная проекции (а			и а'		') расположены на од-
ном перпендикуляре к оси		х – на линии связи	а'	а, фронтальная и про-
фильная проекции (а'	и а'' )	– на линии связи а'	а''	(рис. 4.8).

Отсюда вывод: две проекции точки находятся на одном перпендикуляре к оси, которая их разделяет.

						9
	4.2. Комплексный чертеж и координаты точки
	Три плоскости проекций (рис. 4.6) носят и другое название - плоскости
	координат. В этом случае линии их взаимного пересечения называют осями
	координат и обозначают x,			y,	z. Точка пересечения осей называется началом
	координат и обозначается буквой О.
	На рис. 4.6 показано образование отрезков, определяющих координаты
	некоторой точки А: из точки					А проведены перпендикуляры к каждой из
	плоскостей координат. Первая координата точки А,								называемая абсциссой,
	выразится числом, полученным от сравнения отрезка								Аа'' (или равного ему
	отрезка оах на оси х ) с некоторым отрезком, принятым за единицу масшта-
	ба. Также отрезок Аа'	(или равный ему отрезок оаy						на оси y ).определит вто-
	рую координату точки	А, называемую ординатой;						отрезок Аа		(или равный
	ему отрезок аzо на оси z)		–	третью координату, называемую аппликатой.
	При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой x,
	ордината – y, аппликата –				z.	Координаты точки			обозначают заключен-
	ными в круглые скобки буквами					x, y, z:	А (x, y,	z ) или цифровыми вели-
	чинами, например, так: точка				А (40 ,20 ,30 ). Это значит, что координата x
	равна 40, y = 20, z	= 30		масштабным единицам.
	Точка может быть задана либо своими проекциями (рис. 4.5), либо
	координатами, например, В (30,					10, 20 ). Для построения комплексного чер-
	тежа точки, заданной координатами, эти координаты последовательно откла-
	дывают на соответствующих осях (или параллельно им), затем проводят ли-
	нии связи и в их пересечении получают								z
	проекции b', b и b'' (рис. 4.9) точки В.									b″
							b′
	Для получения горизонтальной проекции
	любой точки, например		В,		надо отло-
	жить на осях координаты			x и		yн, для	x		o	yW
	фронтальной проекции – x и z, для
	профильной проекции – z		и yw.				b
	Итак, точка В (x, y, z ) : b : x, yн ; b': x, z ;
	b'' : z, yw .
	Плоскости координат в своем пе-									yH
	ресечении делят пространство на восемь
							Рис. 4.9–Построение эпюра
	частей – октантов, которые нумеруются
							точки по ее координатам
	в порядке, указанном на рис. 4.10. Точка,
	или любой другой объект проецирова-
	ния могут быть расположены в любом октанте. В курсе инженерной графики
	при выполнении изображений объект располагают в первом октанте, поэтому
	в дальнейшем будет рассматриваться только этот октант. Причем объект
	предполагается расположенным между наблюдателем и плоскостью проек-
	ций, на которую он проецируется.

		10
		+z	VI
II	-y		V
+x	I		-x
			+y
III	IV		VIII
		-z
	Рис. 4.10– Октанты

4.3. Положение точки относительно плоскости проекций

Точка относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения:

•точка общего положения. Это точка, не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций; точка, у которой ни одна из координат не равна нулю

(рис. 4.11).

•точка частного положения: это может быть точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, тогда одна из координат равна нулю. Например,

на рис. 4.12 точка В принадлежит плоскости Н, тогда координата	z точки
В равна нулю; точка С принадлежит плоскости V, тогда координата	y точ-
ки С равна нулю;

• точкой частного положения может быть точка, принадлежащая оси проекций, тогда у этой точки две остальные координаты равны нулю. Напри-

мер, на рис. 4.12 точка D принадлежит оси x.
					c′
	a′
					b′		o
x		o	x
					c	d≡ d׳
	a
Рис. 4.11–Эпюр					b
				Рис. 4.12–Эпюр точек
точки общего по-
					частного положения
	ложения