2. Представление информации в эвм

2.1. Системы счисления

2.1.1. Основные понятия

Под системой счисления понимается способ записи и счета чисел с помощью цифровых знаков. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры непостоянно и зависит от места (позиции) в изображении числа.

Например, в числе 333 цифра 3 изображает и 3 сотни, и 3 десятка, и 3 единицы в зависимости от позиции в числе. В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одинаковое значение в любой позиции числа. Примером непозиционной является дошедшая до нас римская система счисления. В ней для изображения числа используются буквы латинского алфавита I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, M - 500, D - 1000.

Значение числа получается путем сложения или вычитания значений цифр. Если цифра с меньшим значением стоит слева от цифры с большим значением, то она вычитается из большего, а если справа, то прибавляется. Такие системы счисления называются аддитивными.

XXVII=10+10+5+1+1=27,

XL=50-10=40,

XIV=10+(5-1)=14,

CLXIV=100+50+10+(5-1)=164.

Непозиционные системы счисления неудобны не только для изображения чисел, но более всего для их счета.

В позиционных системах счисления некоторое число X изображается в виде:

+- X _m X_m-1 ...X₁ X₀ .X_-1 X_-2 ...X _–n ,

где X_i при m, m-1,...,1, 0, -1,...,-n — символы, используемые для записи числа, называются цифровыми знаками, базисными цифрами или просто ЦИФРАМИ. Цифры до десятичной точки '.' задают целую часть числа, после — дробную. Xm<>0 называется старшей цифрой числа. Множество значений всех различных цифр системы счисления образует БАЗУ системы счисления. Значение числа Х, изображенного в виде (2.1), вычисляется по формуле:

X=X_m P_m +X P_m-1 +...+X P₁ +X P₀ + X P_-1 + X P_-2...X P_-n , (2.1)

где Хi - базовые значения цифр Xi, Pi - веса, определяющие значение единицы i-ой позиции числа. Наибольший интерес представляют системы счисления, в которых веса образуют геометрическую прогрессию с некоторым знаменателем Р, т.е.

X=X_m P^m +X _m-1P^m-1 +...+X ₁P¹+X₀ P ⁰ +X_-1 P^-1 +...X_-n P^-n. (2.2)

Знаменатель прогрессии p=-i называется ОСНОВАНИЕМ системы счисления, а формула (2.2) - разложением числа Х по степеням основания.

Количество различных цифр, необходимых для записи любого числа в системе счисления с основанием Р, равно Р, и их базовые значения находятся в диапазоне

0 <= Xi <Р. (2.3)

Неравенство (2.3) обязательно не для всех систем счисления. Системы счисления, в которых базовые значения всех цифр удовлетворяют (2.3), называются системами счисления с НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ БАЗОЙ.

Пример: Р=10, цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 2 0 -1 -2 –3.

X=325,303=310² +210¹+510⁰ +310^-1 +010^-2 +310^-3.

2.1.2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Для выполнения арифметических действий в позиционных системах счисления используются одинаковые правила и таблицы сложения, вычитания, умножения. Можно обойтись без таблиц, если хорошо знать эти правила для десятичной системы счисления и в процессе вычисления всегда помнить, что есть число 10 в данной системе счисления.

В дальнейшем числа в системе счисления с основанием Р будем помечать (p), в десятичной — без индекса.

В очевидных случаях индекс будем опускать. Базовые значения цифр будем записывать в десятичной системе счисления.

Современные вычислительные машины на аппаратном уровне работают в двоичной системе счисления, т.е. они оперируют с двумя числами: 0 и 1. Но числа, записанные в виде 10011101001000110, трудно воспринимаются человеком. Мы привыкли работать в десятичной системе.

Для решения этой проблемы возможно либо представлять базовые цифры десятичной системы в двоичной форме (так называемая двоично-десятичная система), либо разработать алгоритмы перевода десятичных чисел в двоичные.

В вычислительной технике широко используются:

• двоичная система (основание= 2), базисные цифры:

0 и 1;

• восьмеричная (основание= 8), базисные цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7;

• десятичная (основание= 10), базисные цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;

• шестнадцатеричная (основание= 16), базисные цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

Особое положение занимает смешанная двоично-десятичная система, в которой каждая десятичная цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами:

24₍₁₀₎ = 0010 0100_(2-10).

7485₍₁₀₎ = 0111 0100 1000 0101_(2-10).

1001001001010000111_(2-10)= 0100 1001 0010 1000 0111_(2-10)= 49287₍₁₀₎.