2.1.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Под задачей перевода понимается задача нахождения цифр числа Х, заданного в системе счисления с основанием P, в системе счисления с основанием Q.
Перевод чисел из одной системы в другую основан на том, что значение числа не зависит от формы его представления. Число пять пальцев можно записать по разному, но количество пальцев останется равным пяти.
Пусть есть одна система с основанием Р, а другая с основанием Q. Число Х можно представить по формуле полинома (2.2):
X=Am Pm +A m-1Pm-1 +...+A 1P1+A0 P 0+A-1 P-1 +...A-n P-n , (2.4)
Х=Bk Qk +B k-1Qk-1 +...+B 1Q1+B0 Q 0 +B-1 Q-1 +...B-j Q-j. (2.5)
Итак, мы имеем два уравнения со многими неизвестными, т.е. они не имеют аналитического решения.
Однако если мы знаем, как представить каждую базисную цифру системы Р в системе Q и умеем пользоваться арифметикой системы Q, то вычислить значение числа не сложно по формуле (2.4).
Перевод чисел из произвольной системы в десятичную
Удобно переводить числа из произвольной системы в десятичную по формуле полинома (2.4).
В этом случае используется разложение числа Х по степеням основания, в котором базовые значения цифр и степени основания представляют в десятичной системе и выполняют все действия в этой же системе.
Пример.
1. Перевести число 11001.1(2) из двоичной системы в десятичную.
11001.1(2)=124 +123 +022 +021 +120 +12-1 =16+8+1+1/2=25.5(10).
2. Перевести число 123(8) из восьмеричной системы в десятичную.
123(8)= 182 +281+30 =64+16+3=83(10).
3. Перевести число 20А.0С(2) из двоичной системы в десятичную.
20A.0C(16)=2162 +0161 +A160 +016-1 +C16-2 =
=2256+016+101+01/16+121/256=522.046875(10).
Перевод чисел из десятичной системы в произвольную
При переводе из десятичной системы в произвольную можно воспользоваться полиномом (2.4), но нужно пользоваться арифметикой той системы, из которой мы переводим число. А это затруднительно, т.к. мы, как правило, не знаем не только таблицы умножения в системах, отличных от десятичной, но и таблицу сложения и вычитания!
Целые числа и правильные дроби переводятся по разным правилам.
Перевод целых чисел
Пусть задано Х — целое число в системе P. Требуется найти цифры этого числа в системе счисления с основанием (10).
Алгоритм перевода целых чисел основан на делении целого числа на основание системы:
Исходное число X=Am Pm +A m-1Pm-1 +...+A 1P1+A0 P 0 делим на основание Р:
X/P= Am Pm-1 +A m-1Pm-2 +...+A 1P0+ A0 /P.
Разделяем результат на целую и дробную части:
Целая [X/P]= Am Pm-1 +A m-1Pm-2 +...+A 1P0.
Дробная {X/P}= A0 /P.
Т.к. любая базовая цифра меньше основания системы, то A0/P >=0.
Находим А0:
А0= {X/P} P= остатку от деления.
Целую часть снова делим на основание и получаем A1:
[X/P]/P= Am Pm-2 +A m-1Pm-3 +...+A0+A 1P-1.
Повторяем п.4, пока целая часть не станет равной 0.
На каждой итерации остаток от деления представляет собой коэффициент полинома Ai.
Записываем остатки и последнее частное в порядке, ОБРАТНОМ их получению в НОВОЙ системе счисления.
Пример.
1. Перевести число 13 из десятичной системы в двоичную.
13/2= 6, остаток 1 A0;
6/2= 3, остаток 0 A1;
3/2= 1, остаток 1 A2;
1/ 2=0, остаток 1 A3.
Запишем результат:
13(10)=1101(2).
2. Перевести число 13 из десятичной системы в восьмеричную.
13/8= 1, остаток 5 A0;
1/8= 0, остаток 1 A1.
Запишем результат:
13(10)= 15(8).
3. Перевести число 13 из десятичной системы в шестнадцатеричную
13/16= 0, остаток 13 A0.
Запишем результат:
13(10)= 13(16).
Особый случай возникает, если между основаниями систем существует соотношение:
P= Qn . (2.6)
В этом случае каждую базисную цифру системы Р можно представить n-разрядным числом в системе Q.
Для двоичной и восьмеричной системы справедливо:
23 =8.
Каждой восьмеричной цифре соответствует двоичный код из 3-х цифр. Такой код называется ТРИАДОЙ. Запишем триады всех восьмеричных цифр:
0 – 000, 4 – 100,
1 – 001, 5 – 101,
2 – 010, 6 – 110,
3 – 011, 7 – 111.
Пример.
Перевести число 13 из восьмеричной системы в двоичную.
13(8)= 001 011(2).
Перевести число 10100101100101 из двоичной системы в восьмеричную.
10 100 101 100 101(2)= 24545(8).
Перевести число 13 шестнадцатеричной системы в двоичную.
13(16)= 0001 0011(2).
Перевести число 10100101100101 из двоичной системы в шестнадцатеричную.
10 1001 0110 0101(2)= 2965(16).
Перевод правильных дробей
Пусть X(p) — правильная дробь в системе счисления с основанием P=10. Требуется найти цифры этого числа в системе счисления с основанием Q.
Воспользуемся полиномом (2.4), но будем использовать только дробную часть.
Х=0 Q 0 +B-1 Q-1 +B-2 Q-2 +...B-j Q-j.
Значение X представляет собой дробную часть, т.е. X= {X}.
Умножим Х на основание системы Q:
ХQ=0 Q 1 +B-1 Q0 +B-2 Q-1 +...B-j Q-j+1 =[X]+ {X} .
Подчеркнутая часть представляет собой целое число (возможно 0), т.к. все базисные числа целые, а Q0= 1. Следовательно, целая часть, полученная после умножения, есть первая цифра искомого числа. Далее выделяем дробную часть и снова умножаем ее на основание системы.
Процесс умножения заканчивается в двух случаях:
когда на каком-то шаге получится дробная часть, равная 0. В этом случае дробь переводится в новую систему ТОЧНО;
дроби в новой системе счисления соответствует БЕСКОНЕЧНАЯ дробь. В этом случае процесс заканчивают получением наперед заданного случае количества цифр. Часто выделяется период бесконечной дроби.
Пример.
Перевести число 0.25 из десятичной системы в двоичную.
0.25 0.50
2 2
0.50 1.00
0. 0 1, т.е. число 0.25(10)= 0.01(2).
Перевести число 0.25 из десятичной системы в восьмеричную.
0.25
8
2.0
0.2, т.е. число 0.25(10)= 0.2(8)
Перевести число 0.3 из десятичной системы в шестнадцатеричную.
0.3 0.8 0.8
16 16 16
4.8 12.8 12.8
0. 4 С С ….., т.е. число 0.3(10)= 0.ССС…..(16)